第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式2.3.2 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用【目標(biāo)】1.理解三個二次的關(guān)系，會解與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題；2.能從實際問題中建立-元二次不等式的模型，并會應(yīng)用其解決實際問題.【重點】利用--元二次不等式解訣恒成立問題及實際問題.【難點】從實際問題中建立一元二次不等式的模型. 要點整合夯基礎(chǔ)...知識點一簡單的分式不等式的解法【填一填】若與是關(guān)于的多項式，則不等式（或，或，或）稱為分式不等式.解分式不等式總的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式（組）求解.（1）；（2）；（3）；（4）；【答一答】1.不等式的解集為.答案：解析：原不等式可以化為，即，故原不等式的解集為.2.不等式的解集是.答案：或解析：原不等式于，解得或，故不等式的解集是或.【答一答】3.不等式在上恒成立，你能寫出成立的等價條件嗎？提示：. 知識點三 一元二次不等式的實際應(yīng)用【填一填】對于一元二次不等式的應(yīng)用題，其解題關(guān)鍵在于如何把 文字語言 換成 數(shù)學(xué)語言 從而把實際問題轉(zhuǎn)換成 數(shù)學(xué)問題 .同時注意問題答案的實際意義，還要增強解決問題的自信心，不要被問題的表面形式所迷惑.【答一答】4.解不等式應(yīng)用題的解題步驟是什么？提示：（1）閱讀理解、認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量、找準(zhǔn)不等關(guān)系；（2）引入數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系（或表示成函數(shù)關(guān)系）；（3）解不等式（或求函數(shù)最值）；（4）回扣實際問題. 典例講練破題型...類型一  簡單的分式不等式的解法【例1】解下列不等式.（1）；（2）.【分析】等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組.【解】（1）∵，或，或，∴原不等式的解集為，或.（2）方法一：原不等式可化為，或，或.∴原不等式的解集為.方法二：原不等式可化為.∴原不等式的解集為. 通法提煉（1）對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意分母不為零.（2）對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分（不要去分母），使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解.【變式訓(xùn)練1】（1）下列選項中，使不等式成立的的取值范圍是（  ）A.B.C.D.答案：A（2）不等式：的解集為.答案：解析：（1）由可得，即，解得，所以. （2）因為，所以原不等式可化為，即，解得，所以原不等式的解集為.類型二不等式恒成立問題命題視角1：一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題 【例2】關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍.【分析】【解】（1）若，即時，若，不等式變化為，解集為；若，不等式變?yōu)?/span>，解集為.∴時滿足條件.（2）若，即時，原不等式解集為的條件是.解得，綜上所述，當(dāng)時，圓不等式解集為.通法提煉不等式對任意恒成立，或；不等式對任意恒成立，或.【變式訓(xùn)練2】若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是.答案：解析：當(dāng)，即時，不等式為，恒成立，解集為，∴滿足條件；當(dāng)時，則原不等式解集為時，滿足，解得.綜上所述，的取值范圍是.命題視角2：一元二次不等式在某特定范圍.上恒成立問題【例3】己知，若，恒成立，求的取值范圍.【分析】對于含參數(shù)的函數(shù)在某特定范圍上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題，通常利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化.【解】若，恒成立可轉(zhuǎn)化為：，或或，解得的取值范圍為. 通法提煉或型不等式是恒成立問題中最基本的類型，由在上恒成立，則（，存在最大值）；在.上恒成立，則（，存在最小值）.【變式訓(xùn)練3】若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：，不等式恒成立.①當(dāng)時，不等式為恒成立，此時；②當(dāng)時，.∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），∴.綜上，實數(shù)的取值范圍為. 類型三  一元二次不等式的實際應(yīng)用【例4】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)元的價格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并每元納稅元（又稱征稅率為個百分點），計劃可收購萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低個百分點，預(yù)測收購量可增加個百分點.（1）寫出降稅后稅收（萬元）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計劃稅收的，試確定的取值范圍.【解】（1）降低稅率后的稅率為，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為萬擔(dān)，收購總金額為萬元.依題意得.（2）原計劃稅收為（萬元）.依題意得，化簡得，解得.又因為，所以.故的取值范圍是. 通法提煉解不等式應(yīng)用題的步驟【變式訓(xùn)練4】某商品每件的成本價為元，售價為元，每天售出件.若售價降低成（成），則售出商品的數(shù)量就增加成，要求售價不能低于成本價.（1）設(shè)該商品一天的銷售額為元，試求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）若要求該商品一天的銷售額至少為元，求的取值范圍.解：（1）若售價降低成，則降低后的商品售價為元，售出商品的數(shù)量為件，由題意，得與之間的函數(shù)關(guān)系式為 .因為售價不能低于成本低，所以，解得，所以，的取值范圍為.（2）由題意，的，化簡得，解得，因為，所以的取值范圍是. 課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1.若集合，，則（   ）A. B. C. D. 答案：B解析：∵，，∴.2.已知不等式的解集為空集，則的取值范圍是（  ）A. B. C. 或D. 或答案：A解析：依題意應(yīng)有，解得，故選A.3.不等式的解集為.答案：或解析：且或.4.已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實數(shù)的取值范圍為.答案：解析：根據(jù)題意得，解得.5.已知當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍.答案：見解析解析：∵當(dāng)時，恒成立，∴當(dāng)時，恒成立.令，∵，且對稱軸方程為，∴，∴，∴的取值范圍為.課堂小結(jié)——本課須掌握的四大問題1.對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意分母不為零.對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分（不要去分母），使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解.2.對于有的恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法，這是因為將參數(shù)予以分離后，問題往往會轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決.當(dāng)然這必須以參數(shù)容易分離作為前提.分離參數(shù)時，經(jīng)常要用到下述簡單結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立臺.3.解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為，用來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解.4.一元二次方程根的分布問題要注意數(shù)形結(jié)合，從開口方向，對稱軸位置，判別式等方面考慮.

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