第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解不等式(組)的實(shí)際背景，會(huì)用不等式(組)表示不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)建模)3．掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．(邏輯推理)4．會(huì)用作差法(或作商法)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式值的大?。?數(shù)學(xué)運(yùn)算)5．能運(yùn)用等式的性質(zhì)或不等式的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】在相等關(guān)系與不等關(guān)系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)類(lèi)比學(xué)過(guò)的等式與不等式的性質(zhì)，進(jìn)一步探索等式與不等式的共性與差異．第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1 不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)．(1)不等符號(hào)，，______，______或.(2)所表示的關(guān)系是____________.思考1：不等式“”的含義是什么？只有當(dāng)“”與“”同時(shí)成立時(shí)，該不等式才成立，是嗎？提示：不等式應(yīng)讀作“小于或者等于”，其含義是指“或者”，等價(jià)于“不大于”，即若或之中有一個(gè)正確，則正確．知識(shí)點(diǎn)2 比較兩實(shí)數(shù)，大小的依據(jù)思考2：(1)在比較兩實(shí)數(shù)，大小的依據(jù)中，，兩數(shù)是任意實(shí)數(shù)嗎？(2)若“”，則，的大小關(guān)系是怎樣的？提示：(1)是　(2)基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)不等式的含義是指不小于.(　　)(2)若，則.(　　)(3)若，則.(　　)(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)，之間，有且只有，，三種關(guān)系中的一種．(　　)[解析]　(1)不等式表示或，即不小于.(2)若，則，所以成立．(3)若，則或者，即.(4)任意兩數(shù)之間，有且只有，，三種關(guān)系中的一種，沒(méi)有其他大小關(guān)系．2．大橋橋頭立著的“限重噸”的警示牌，是提示司機(jī)要安全通過(guò)該橋，應(yīng)使車(chē)和貨物的總質(zhì)量滿(mǎn)足關(guān)系(　　)A．　　　　　　 B．C．  D．3．已知，則與的大小關(guān)系為_(kāi)____________.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一　用不等式(組)表示不等關(guān)系例1 某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為元的商品按每件元銷(xiāo)售，每天可銷(xiāo)售件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)．已知這種商品的售價(jià)每提高元，銷(xiāo)售量就相應(yīng)減少件．若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于元？[分析]　由“這種商品的售價(jià)每提高元，銷(xiāo)售量就相應(yīng)減少件”確定售價(jià)變化時(shí)相應(yīng)每天的利潤(rùn)，由“每天的利潤(rùn)不低于元”確定不等關(guān)系，即可列出不等式．[解析]　若提價(jià)后商品的售價(jià)為元，則銷(xiāo)售量減少件，因此，每天的利潤(rùn)為元，則“每天的利潤(rùn)不低于元”可以用不等式表示為.[歸納提升]　將不等關(guān)系表示成不等式的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．例2 某礦山車(chē)隊(duì)有輛載重為的甲型卡車(chē)和輛載重為的乙型卡車(chē)，且有名駕駛員，此車(chē)隊(duì)每天至少要運(yùn)礦石至冶煉廠．已知甲型卡車(chē)每輛每天可往返次，乙型卡車(chē)每輛每天可往返次，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式．[分析]　首先用變量，分別表示甲型卡車(chē)和乙型卡車(chē)的車(chē)輛數(shù)，然后分析已知量和未知量間的不等關(guān)系：(1)卡車(chē)數(shù)量與駕駛員人數(shù)的關(guān)系；(2)車(chē)隊(duì)每天運(yùn)礦石的數(shù)量；(3)甲型卡車(chē)的數(shù)量；(4)乙型卡車(chē)的數(shù)量．再將不等關(guān)系用含未知數(shù)的不等式表示出來(lái)，要注意變量的取值范圍．[解析]　設(shè)每天派出甲型卡車(chē)輛，乙型卡車(chē)輛，則即[歸納提升]　用不等式組表示不等關(guān)系的方法首先要先弄清題意，分清是常量與常量、變量與變量、函數(shù)與函數(shù)還是一組變量之間的不等關(guān)系；然后類(lèi)比等式的建立過(guò)程找到不等詞，選準(zhǔn)不等號(hào)，將量與量之間用不等號(hào)連接；最后注意不等式與不等關(guān)系的對(duì)應(yīng)，不重不漏，尤其要檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)，要求菜園的面積不小于，靠墻的一邊長(zhǎng)為，試用不等式表示其中的不等關(guān)系．[解析]　由于矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為，而墻長(zhǎng)為，所以，這時(shí)菜園的另一條邊長(zhǎng)為．因此菜園面積，依題意有，即，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為題型二　比較實(shí)數(shù)的大小例3 已知，為正實(shí)數(shù)，試比較與的大?。?/span>[解析]　方法一(作差法)：.∵，為正實(shí)數(shù)，∴，，，∴，∴.方法二(作商法)：.∵，，∴.方法三(平方后作差)：∵，，∴.∵，，∴.又，，故.[歸納提升]　比較大小的方法1．作差法的依據(jù)：；；.步驟：作差—變形—判斷差的符號(hào)—得出結(jié)論．注意：只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或多個(gè)因式的積的形式．2．作商法的依據(jù)：時(shí)，；；.步驟：作商——變形——判斷商與的大小——得出結(jié)論．注意：作商法的適用范圍較小，且限制條件較多，用的較少．3．介值比較法：(1)介值比較法的理論根據(jù)：若，，則，其中是與的中介值．(2)介值比較法的關(guān)鍵是通過(guò)不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個(gè)比較合適的中介值．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?當(dāng)時(shí)，比較與的大?。?/span>[解析]　．因?yàn)?/span>，所以，而.所以，所以.
第2課時(shí)　不等式性質(zhì)必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)不等式的性質(zhì)性質(zhì)　 ________；(對(duì)稱(chēng)性)性質(zhì)　， ________；(傳遞性)性質(zhì)　 ______________；(同加保序性)推論：___________；(移項(xiàng)法則)性質(zhì)　， __________，(乘正保序性)，；(乘負(fù)反序性)性質(zhì)　， ______________；(同向相加保序性)性質(zhì)　， __________；(正數(shù)同向相乘保序性)性質(zhì)　 __________．(非負(fù)乘方保序性)思考：(1)性質(zhì)的推論實(shí)際就是解不等式中的什么法則？(2)性質(zhì)就是在不等式的兩邊同乘以一個(gè)不為零的數(shù)，不改變不等號(hào)的方向，對(duì)嗎？為什么？(3)使用性質(zhì),時(shí)，要注意什么條件？提示：(1)移項(xiàng)法則．(2)不對(duì)．要看兩邊同乘以的數(shù)的符號(hào)，同乘以正數(shù)，不改變不等號(hào)的方向，但是同乘以負(fù)數(shù)時(shí)，要改變不等號(hào)的方向．(3)各個(gè)數(shù)均為正數(shù)．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若，則.(　　)(2)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．(　　)(3)設(shè)，，且，則.(　　)(4)若，則，.(　　)[解析]　(1)由不等式的性質(zhì)，；反之，時(shí)，.(2)相乘需要看是否，而相加與正、負(fù)和零均無(wú)關(guān)系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取，，，，滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故此說(shuō)法錯(cuò)誤．2．設(shè)，，則下列不等式中一定成立的是(　　)A．　　　　 B．C． D．3．已知，，那么下列不等式成立的是(　　)A． B．C． D．[解析]　由，可得，又，∴，故選D．4．用不等號(hào)“>”或“<”填空：(1)如果，，那么______；(2)如果，，那么______；(3)如果，那么______；(4)如果，那么______.[解析]　(1)∵，∴，∵，∴.(2)∵，∴.∵，∴，∴.(3)∵，∴，，∴，∴，∴，即.(4)∵，所以，.于是，即，即.∵，∴.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究例1 若，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．　　　 B．C． D．[分析]　通過(guò)賦值可以排除A，D，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B，C正誤．[解析]　若，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，等價(jià)于，故不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不正確．[歸納提升]　判斷關(guān)于不等式的命題真假的兩種方法(1)直接運(yùn)用不等式的性質(zhì)：把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，然后進(jìn)行推理判斷．(2)特殊值驗(yàn)證法：給要判斷的幾個(gè)式子中涉及的變量取一些特殊值，然后進(jìn)行比較、判斷．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)，是非零實(shí)數(shù)，若，則下列不等式成立的是(　　)A． B．C． D．[解析]　當(dāng)，時(shí)，不一定成立，故A錯(cuò)．因?yàn)?/span>，，符號(hào)不確定，故B錯(cuò).，所以，故C正確．D中與的大小不能確定．題型二　利用不等式的性質(zhì)證明不等式例2設(shè)，求證：.[分析]　不等式證明，就是利用不等式性質(zhì)或已知條件，推出不等式成立．[證明]　因?yàn)?/span>，所以.所以，所以.所以.又，所以.所以.[歸納提升]　利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類(lèi)問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?若，，，求證：.[證明]　因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)?/span>，所以.所以.所以.又因?yàn)?/span>，所以.題型三　利用不等式的性質(zhì)求范圍例3 已知,.(1)求的取值范圍．(2)求的取值范圍．[解析]　(1)因?yàn)?/span>,，所以，所以.(2)由,，得,，所以.[歸納提升]　利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知，，求與的取值范圍．[解析]　因?yàn)?/span>，所以，所以，即.因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，即.所以.誤區(qū)警示錯(cuò)用同向不等式性質(zhì)例4 已知,，的取值范圍是_____________.[錯(cuò)解]　∵,，∴，∴.故填.[錯(cuò)因分析]　把不等式的同向不等式(正項(xiàng))相乘的性質(zhì)用到了除法，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．[正解]　∵，∴，又，∴，∴，故填.[方法點(diǎn)撥]　若題目中指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時(shí)必須利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍．學(xué)科素養(yǎng)不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的部分關(guān)系之一，在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．例5 有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：)分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/)分別為，，，且.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是(　　)A． B．C． D．[分析]　本題考查實(shí)際問(wèn)題中不等關(guān)系的建立及利用不等式的性質(zhì)比較大?。?/span>[解析]　方法一：因?yàn)?/span>，，所以，故；同理，，故.又，故.綜上可得，最低的總費(fèi)用為.方法二：采用特殊值法進(jìn)行求解驗(yàn)證即可，若，，，，，，則，，，.由此可知最低的總費(fèi)用是.[歸納提升]　對(duì)于不等關(guān)系判斷問(wèn)題的求解，一般需要通過(guò)作差進(jìn)行推理論證，對(duì)運(yùn)算能力要求較高，但對(duì)于具有明確不等關(guān)系的式子進(jìn)行判斷時(shí)，特殊值法是一種非常值得推廣的簡(jiǎn)便方法．

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2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

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