1．（2022·浙江麗水·三模）如圖，，，，四個點均在上，，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：連接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四個點均在上，
∴四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故選：B．
2．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵是的兩條半徑，點C在上，
∴∠C= =40°
故選：B
3．（2022·河北保定·三模）如圖，，，為圓上的三點，，點可能是圓心的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：A.若點是圓心，則，此選項不符合；B. 若點是圓心，則，此選項不符合；C. 若點是圓心，則，此選項符合；
D. 若點是圓心，則，此選項不符合；因此C滿足該條件．故選：C．
4．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
【答案】A
【解析】解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故選：A．
5．（2022·貴州貴陽·三模）如圖，的內(nèi)接四邊形中，，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
6．如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】解：如圖，連接BD，
∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=50°，
∴∠ABD=90°-50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°．
故選：B．
7．如圖，AB是的直徑，點C，D，E是上的點，其中點C，D在AB下方，點E在AB上方．則的度數(shù)為（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【答案】D
【解析】解：如圖，連接，
由圓周角定理得：，
，
故選：D．
8．（2022·山東淄博·二模）輪船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定輪船是否會遇到暗礁．如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點的內(nèi)C表示一個危險臨界點，，輪船P與兩個燈塔的夾角為，保證輪船航行不觸礁的可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：根據(jù)圓的性質(zhì)
∵
∴
∴
故選：A
9．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點．若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為 _____．
【答案】25°
【解析】解：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故答案為：25°．
10．（2022·北京東城·一模）如圖，點A，B，C是⊙O上的三點．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，則∠AOB的度數(shù)為________．
【答案】30°
【解析】解：∵∠BAC與∠BOC所對弧為，
由圓周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案為：30°．
11．如圖，AB是半圓O的直徑，∠ABD＝35°，點C是上的一點，則∠C=_______ 度．
【答案】125
【解析】解：∵AB是半圓O的直徑
∴
∵∠ABD＝35°
∴
∴
故答案為：125．
12．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．
【答案】45
【解析】解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴ AB垂直平分CD
∴AC＝AD
∴△ACD是等腰三角形
∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°
∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，
故答案為：45．
13．等腰△ABC中，，以AB為直徑作圓交BC于點D，請僅用無刻度的直尺．根據(jù)下列條件分別在圖1、圖2中畫一條弦，使這條弦的長度等于弦BD．（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）
（1）如圖1，；
（2）如圖2，
【答案】見解析
【解析】解：（1）如圖1，DE為所作：
（2）如圖2，DE為所作：
14．如圖，A，C，B．D四點都在⊙O上，AB是⊙O的直徑，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的長．
【答案】
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴。
15．如圖，AB是的直徑，CD是的弦，如果，求的度數(shù)．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
又∵AB是直徑，
∴，
則．
16．如圖，是的外接圓⊙O的直徑，若∠ACB=50°，求∠BAD的度數(shù)．
【答案】40°
【解析】解：如圖，連接BD，
∵AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練
1．（2022·福建泉州·二模）如圖，點、分別是上直徑異側(cè)的兩點，且，連接、、，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】連接BC，如圖，
∵，
∴∠CBA=2∠CAB，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=60°，
∵∠APC=∠ABC，
∴∠APC=60°，
故選：D．
2．如圖，是的直徑，點在上，且的長是長的2倍，的平分線交于點，則的度數(shù)為（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵的長是長的2倍，的度數(shù)＋的度數(shù)＝180°，
∴的度數(shù)為120°，的度數(shù)為60°
∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，
故選：D．
3．如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，且，連接BD，若的半徑為4，則BD的長為（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】D
【解析】解：連接OB，OD，如圖：
∵四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故選：D
4．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，是的外接圓，且，在弧AB上取點D（不與點A，B重合），連接，則的度數(shù)是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
【答案】C
【解析】解：連接CD，
則∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故選：C．
5．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】解：∵BC＝CD，
∴，
∵∠ABD和∠ACD所對的弧都是，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°?∠BAD?∠ABD＝180°?72°?44°＝64°，
故選：B．
6．如圖，菱形OABC的頂點A、B、C在圓O上，且，若點P是圓周上任意一點且不與A、B、C重合，則∠APC的度數(shù)為（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
【答案】C
【解析】解： 菱形OABC的頂點A、B、C在圓O上，且，

如圖，分兩種情況：
①當(dāng)點P在優(yōu)弧APC上時， 由圓周角定理得：∠APC=∠AOC=×120°=60°；
②當(dāng)點P在劣弧AC上時， 由圓周角定理得：∠APC==120°；
綜上所述，∠APC為60°或120°，
故選：C．
7．在中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】解：設(shè)，則
∵四邊形OABC為菱形，
∴，
∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，
∴，即，
∴，即．
故選：C
8．如圖，若是的直徑，是的弦，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：為的直徑，
，
，
根據(jù)同弧對應(yīng)的圓周角相等，
，
，
故選：D．
9．如圖，，，是半徑為的⊙上的三個點，若，，則的大小為________（度）．
【答案】105
【解析】解：如圖，連接OA，OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故答案為105
10．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．
【答案】
【解析】解：連接OA、OB，過點O作OD⊥AB于點D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
11．如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，BE是的直徑，連接AE、BD．若∠BCD＝115°，則∠EBD的大小為_______．
【答案】25°
【解析】解：四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝115°，
連接DE，
BE是的直徑，
故答案為：．
12．如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點H，AB＝CD，連接AD、BC．求證：AH＝CH．
【答案】見解析
【解析】證明：∵AB＝CD，
∴，即，
∴，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH．
13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點E，延長AD，BC交于點F，且CF=AC．
(1)求證∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的長．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】(1)證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)如圖，過點C作CG⊥AF于點G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt?ACG中，根據(jù)勾股定理可得：
，
在Rt?DCG中，根據(jù)勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的長為．
14．在四邊形ABCD中，P為CD邊上一點，且△ADP∽△PCB，分別在圖①和圖②中用尺規(guī)作出所有滿足條件的點P．（保留作圖軌跡，不寫作法）
(1)如圖①，四邊形ABCD是矩形；
(2)如圖②，在四邊形ABCD中，∠D＝∠C＝60°．
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】(1)解：如圖①中，
△ADP∽△PCB，△AD∽△CB，
點P、即為所求；
(2)（2）如圖②中，
△ADP∽△PCB，△AD∽△CB，
點P、即為所求．
15．（2022·浙江紹興·二模）如圖，D是的邊上一點，連結(jié)，作的外接圓O，將沿直線折疊，點C的對應(yīng)點E落在上．
(1)若，如圖1．
①求的度數(shù)．
②若，求的度數(shù)．
(2)若，如圖2．求的長．
【答案】(1)①30，②60；
(2)
【分析】(1)①，，
，
將沿直線折疊，點C的對應(yīng)點E落在上，
；
②，
，
，
，
將沿直線折疊，點C的對應(yīng)點E落在上，
，
中，，則，
，
，
，
(2)
折疊
培優(yōu)第三階——中考沙場點兵
1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若，則______°
【答案】62
【解析】解：連接，
∵AB是的直徑，
∴，
，
，
故答案為：62
2．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．
【答案】1
【解析】解：連接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案為：1．
3．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，則∠D的度數(shù)是___．
【答案】35°
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案為：35°．
4．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，若，則_________°．
【答案】
【解析】∵，
∴，
又∵AB是直徑，
∴，
∴．
故答案為：．
5．（2021·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，點B、C在上，邊AB、AC分別交于D、E兩點﹐點B是的中點，則∠ABE=__________．
【答案】
【解析】解：如圖，連接
是的中點，






故答案為：
6．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形中，若，則________．
【答案】80
【解析】解：∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴．
故答案為．

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