知識點(diǎn)一
圓周角的概念
◆1、圓周角定義: 頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
【特征】 ① 角的頂點(diǎn)在圓上. ②角的兩邊都與圓相交.
◆2、圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系
知識點(diǎn)二
圓周角定理及其推論
◆1、圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等.
◆2、圓周角與圓心角的位置有三種情況，如圖：

即∠ABC =12∠AOC
◆3、圓周角定理的推論
圓周角和直徑的關(guān)系：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.
知識點(diǎn)三
圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)
◆1、圓內(nèi)接四邊形：一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.
如右圖：四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，⊙O 是四邊形的外接圓.
◆2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).
如右圖：∵四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
題型一 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半的運(yùn)用
【例題1】（2022?揚(yáng)州模擬）如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C在⊙O上，則∠ACB
等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【變式1-1】（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【變式1-2】（2022?長沙縣校級開學(xué)）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，
則∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【變式1-3】（2023?蒲城縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB＝10，BG＝2，則BE的長為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【變式1-4】（2023?綿陽二模）若A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑
是（ ）
A．23B．32C．6D．62
【變式1-5】（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點(diǎn)E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度數(shù)是（ ）
A．150°B．140°C．145°D．130°
【變式1-6】（2023?云巖區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)、連接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．
（1）求證：DF平分∠BFC；
（2）設(shè)AB交DF于點(diǎn)G、且DE＝GE，求∠DCF的度數(shù)．
題型二 同弧或等弧所對圓周角相等的運(yùn)用
【例題2】（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【變式2-1】（2022?枝江市一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，則∠CED的度數(shù)是 °．
【變式2-2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點(diǎn)D是弧BAC上一點(diǎn)，則
∠D的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．20°
題型三 直徑所對的圓周角是90°的運(yùn)用
【例題3】如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點(diǎn)G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度數(shù)．
【變式3-1】（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【變式3-2】（2022?德城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（ ）
A．22B．32C．5D．22+2
【變式3-3】（2023?安徽二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點(diǎn)．
（1）求△ABC的面積；
（2）求CE的長．
題型四 圓周角定理中的多結(jié)論問題
【例題4】下列命題中，正確的有（ ）
①頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角；
②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；
③90°的圓周角所對的弦是直徑；
④圓周角相等，則它們所對弧也相等．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式4-1】如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式4-2】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OD、AD，則以下結(jié)論：①D是BC的中點(diǎn)；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分線；④OD∥AC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式4-3】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，AC=CD=DB，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，M是AB上的一動點(diǎn)，下列結(jié)論：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
題型五 與圓周角定理有關(guān)的證明
【例題5】（2023?海珠區(qū)一模）如圖，⊙O中，AB＝CD，求證：△ABE≌DCE．
【變式5-1】（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．
（1）求證：AC=BD．
（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑，求證：∠BAC+2∠BAD＝90°．
【變式5-2】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點(diǎn)F，且AB=AE，求證：AF＝BF．
【變式5-3】（2023?沂源縣一模）如圖，點(diǎn)B，C為⊙O上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為⊙O上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC，交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，且AC平分∠BAD，連接CE．
（1）求證：AD∥EC；
（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．
【變式5-4】（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CE⊥AB于E，D為弧BC的中點(diǎn)，連接AD，分別交CE、CB于點(diǎn)F和點(diǎn)G．
（1）求證：CF＝CG；
（2）如圖2，若AF＝DG，連接OG，求證：OG⊥AB．
題型六 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度
【例題6】（2022?云巖區(qū)模擬）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【變式6-1】（2022?皇姑區(qū)一模）如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五個(gè)點(diǎn)，圓心O在AD上，∠BCD＝110°，則∠AEB的度數(shù)為（ ）
A．70°B．35°C．40°D．20°
【變式6-2】（2023?山西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【變式6-3】（2022?通榆縣模擬）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點(diǎn)，若CF平分∠DCE，則∠DCF的大小是（ ）
A．52°B．54°C．56°D．60°
【變式6-4】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．
（1）求證：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數(shù)．
題型七 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長
【例題7】（2023?碭山縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，則BC的長為（ ）
A．52B．5C．52D．10
【變式7-1】（2022?青島一模）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點(diǎn)，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝ cm．
【變式7-2】（2023?寶雞二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，連接OA、OC，則OA的長為（ ）
A．4B．22C．3D．2
【變式7-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（ ）
A．4B．722C．532D．92
【變式7-4】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)G．
（1）求證：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的長．
題型八 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積
【例題8】（2023?江岸區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明；
（2）若CP=6，BC=27，求S△APB．
【變式8-1】（2023?和平區(qū)模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC，過點(diǎn)B作BE∥CD交DA的延長線于點(diǎn)E，若AD＝2，DC＝3，則△BDE的面積為 ．
【變式8-2】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）請判斷△ABC的形狀？說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于AB的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．
題型九 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論
【例題9】（2023?安陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形ABOD是平行四邊形，則下列結(jié)論：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2OD，其中正確結(jié)論
有（ ）
?
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式9-1】（2022秋?永吉縣期中）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個(gè)內(nèi)角分成了8個(gè)角，在結(jié)論①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式9-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列結(jié)論：
①線段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD
其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
題型十 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明
【例題10】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求證：△ABC是等邊三角形．
【變式10-1】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長DC，AB交于點(diǎn)E，且BE＝BC，求證：△ADE是等腰三角形．
【變式10-2】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，OD∥BE，連接AD并延長交BE延長線于C．求證：DC＝DE．
【變式10-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點(diǎn)E．
求證：BD＝BC．
【變式10-4】（2023?南寧二模）如圖，四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD是對角線，過點(diǎn)A作EA⊥AD交DB的延長線于點(diǎn)E，AB＝AC．
（1）求證：∠ABE＝∠ACD；
（2）連接BC，若BC為⊙O的直徑，求證：BE＝CD．
題型十一 利用圓周角定理解決最值問題
【例題11】（2023?六盤水二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN，則線段MN的最小值為 ．
【變式11-1】（2022?淮南一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動點(diǎn)，若OB＝2，則CE+DE長的最小值為 ．
【變式11-2】（2022秋?沈河區(qū)校級期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點(diǎn)，P為弧AC上任意一點(diǎn)，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝6，則CD的最小值為 ．
【變式11-3】（2023?興化市開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，點(diǎn)F是邊AB上一動點(diǎn)（不與A、B重合），以AF為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，連接DB交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上移動時(shí)，則CE的最小值為 ．
?
【變式11-4】（2022秋?紅橋區(qū)校級期末）如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
（1）EF＝ ；
（2）點(diǎn)P在MN上運(yùn)動，則PA+PC的最小值為 ．
題型十二 圓周角定理的綜合應(yīng)用問題
【例題12】（2023?河西區(qū)校級三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D為直徑AB同側(cè)圓上的點(diǎn)，且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長DE，交⊙O于點(diǎn)F，AC與DF交于點(diǎn)G．
（Ⅰ）如圖①，若點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，求∠AGF的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半徑．
【變式12-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，且OC⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD交OC于M，連接BD，CD．
（1）∠DAB的度數(shù)為 度．
（2）求證：DC＝DM；
（3）過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，若BD=2，求ME的長．
【變式12-2】（2023?蚌埠二模）如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)P，AB經(jīng)過點(diǎn)O，E是AC的中點(diǎn)，連接OE，EP，延長EP交BD于點(diǎn)F．
（1）若AB＝10，OE=10，求AC的長；
（2）求證：EF⊥BD．
【變式12-3】已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．
（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC、BD、CD的長；
（2）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．
【變式12-4】（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，CF=CB，BF與CD交于點(diǎn)G．
（1）求證：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長．
（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：2∠EOG+12∠AOF=90°．
（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章 對稱圖形---圓》
2.4 圓 周 角

知識點(diǎn)一
圓周角的概念
◆1、圓周角定義: 頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
【特征】 ① 角的頂點(diǎn)在圓上. ②角的兩邊都與圓相交.
◆2、圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系
知識點(diǎn)二
圓周角定理及其推論
◆1、圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等.
◆2、圓周角與圓心角的位置有三種情況，如圖：

即∠ABC =12∠AOC
◆3、圓周角定理的推論
圓周角和直徑的關(guān)系：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.
知識點(diǎn)三
圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)
◆1、圓內(nèi)接四邊形：一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.
如右圖：四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，⊙O 是四邊形的外接圓.
◆2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).
如右圖：∵四邊形 ABCD 為⊙O 的內(nèi)接四邊形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
題型一 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半的運(yùn)用
【例題1】（2022?揚(yáng)州模擬）如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C在⊙O上，則∠ACB
等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【分析】根據(jù)圓周角定理解答．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
由圓周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝45°，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
【變式1-1】（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【分析】根據(jù)垂徑定理得出BC=BD，根據(jù)弧與圓心角關(guān)系得出∠COB＝∠BOD，利用圓周角定理得出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形兩銳角互余性質(zhì)求解即可．
【解答】解：連接OC，
∵CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，弧與圓心角關(guān)系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，掌握垂徑定理，弧與圓心角關(guān)系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022?長沙縣校級開學(xué)）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，
則∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝54°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023?蒲城縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，若AB＝10，BG＝2，則BE的長為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】連接OD，根據(jù)弧、弦的關(guān)系求出BE＝CD，CD⊥AB，CG＝DG，根據(jù)勾股定理求解即可．
【解答】解：連接OD，如圖，
∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)，
∴CE=BC=BD，CD⊥AB，
∴BE＝CD，CG＝DG，
∵AB＝10，AB是⊙O的直徑，
∴OB＝OD＝5，
∵BG＝2，
∴OG＝OB﹣BG＝3，
在Rt△ODG中，OG＝3，OD＝5，
∴DG=OD2?OG2=4，
∴CD＝2DG＝8，
∴BE＝8，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2023?綿陽二模）若A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑
是（ ）
A．23B．32C．6D．62
【分析】⊙O的優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD、CD，連接OA、OC，∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，根據(jù)圓周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理知△ACO是等邊三角形，所以等邊三角形的三條邊相等，即可求解．
【解答】解：⊙O的優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD、CD，連接OA、OC，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△ACO是等邊三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∴⊙O的半徑是6．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時(shí)，利用圓周角定理要注意圓心角與圓周角的定義，只有三個(gè)點(diǎn)都在圓上所組成的角才稱之為圓周角．
【變式1-5】（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點(diǎn)E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度數(shù)是（ ）
A．150°B．140°C．145°D．130°
【分析】根據(jù)等腰三角形等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解即可．
【解答】解：∵BD＝BE，∠E＝35°，
∴∠BDE＝∠E＝35°，
∴∠ABD＝∠BDE+∠E＝70°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝140°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-6】（2023?云巖區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)、連接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．
（1）求證：DF平分∠BFC；
（2）設(shè)AB交DF于點(diǎn)G、且DE＝GE，求∠DCF的度數(shù)．
【分析】（1）連接OC、OD，先由∠BAD＝∠BFD＝60°證明△AOB是等邊三角形，再證明∠COD＝120°，則∠CFD=12∠COD＝60°，即可證明DF平分∠BFC；
（2）根據(jù)DE＝GE可以得到∠CDG＝45°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC、OD，
∵OA＝OD，∠BAD＝∠BFD＝60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∵OC＝OD，OA⊥CD，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴∠CFD=12∠COD＝60°，
∴∠BFD＝∠CFD，
∴DF平分∠BFC．
（2）解：∵AB⊥CD于E，
∴∠DEB＝90°，
∵DE＝GE，
∴∠CDG＝45°，
根據(jù)（1）∠CFD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
【點(diǎn)評】此題考查圓周角定理，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型二 同弧或等弧所對圓周角相等的運(yùn)用
【例題2】（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到∠D的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出∠B的度數(shù)．
【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠D的度數(shù)．
【變式2-1】（2022?枝江市一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，則∠CED的度數(shù)是 °．
【分析】連接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圓周角定理即可得∠CED=12∠COD＝21°．
【解答】解：連接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED=12∠COD＝21°．
故答案為：21．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關(guān)系以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
【變式2-2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點(diǎn)D是弧BAC上一點(diǎn)，則
∠D的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．20°
【分析】欲求∠D的度數(shù)，需先求出同弧所對的∠A的度數(shù)；Rt△ABC中，已知∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A，由此得解．
【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°；
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°；
∴∠D＝∠A＝40°．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握直徑所對的圓周角是直角與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．
題型三 直徑所對的圓周角是90°的運(yùn)用
【例題3】如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點(diǎn)G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度數(shù)．
【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD得到∠B＝∠D＝45°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠AGB的度數(shù)．
【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∵AB=AD，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC=12∠COD=12×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度數(shù)為108°．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【變式3-1】（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠CAD＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠B的度數(shù)．
【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式3-2】（2022?德城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的直徑為（ ）
A．22B．32C．5D．22+2
【分析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)AB是⊙O的直徑，得∠C＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE＝CD＝1，再證明Rt△BDE≌Rt△BDC，得BE＝BC，根據(jù)勾股定理就可以求出直徑了．
【解答】解：如圖，作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵BD平分∠CDE，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，
AE=AD2?DE2=32?12=22，
設(shè)BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，
AB2＝AC2+BC2，
即（22+x）2＝42+x2，
∴x=2，
∴⊙O的直徑AB為32．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．
【變式3-3】（2023?安徽二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點(diǎn)．
（1）求△ABC的面積；
（2）求CE的長．
【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用勾股定理可計(jì)算出BC＝8，然后利用三角形的面積可計(jì)算出△ABC的面積；
（2）連接OE、AE，過A點(diǎn)作AH⊥CE于H點(diǎn)，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到OE⊥AB，則AE=BE，AE=2OA＝52，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE＝∠BCE＝45°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CH＝AH＝32，然后利用勾股定理計(jì)算出HE＝42，最后計(jì)算CH+HE即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC=102?62=8，
∴S△ABC=12×6×8＝24；
（2）連接OE、AE，過A點(diǎn)作AH⊥CE于H點(diǎn)，如圖，
∵E為半圓AB的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，
∴AE=BE，AE=2OA＝52，
∴∠ACE＝∠BCE=12∠ACB＝45°，
在Rt△ACH中，CH＝AH=22AC=22×6＝32，
在Rt△AEH中，HE=AE2?AH2=(52)2?(32)2=42，
∴CE＝CH+HE＝32+42=72．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．
題型四 圓周角定理中的多結(jié)論問題
【例題4】下列命題中，正確的有（ ）
①頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角；
②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；
③90°的圓周角所對的弦是直徑；
④圓周角相等，則它們所對弧也相等．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】利用圓周角的定義、圓周角定理等知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角是圓周角，故原命題錯誤，不符合題意；
②同弧所對的圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半，故原命題錯誤，不符合題意；
③90°的圓周角所對的弦是直徑，正確，符合題意；
④在同圓或等圓中，圓周角相等，則它們所對弧也相等，故原命題錯誤，不符合題意
正確的有1個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解周角的定義、圓周角定理等知識，難度不大．
【變式4-1】如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，AB=BC，BC=CD，然后即可判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴AB=BC，BC=CD，
∴AC=2CD，故①正確；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②錯誤；
OC⊥BD，故③正確；
∠AOD＝3∠BOC，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式4-2】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OD、AD，則以下結(jié)論：①D是BC的中點(diǎn)；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分線；④OD∥AC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由AB＝AC，得到∠B＝∠C，由于AB為⊙O的直徑，得到AD⊥BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①②③正確，由于OB＝OD，于是得到∠B＝∠ODB，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得到④正確．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∴D是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，
∴①②③正確，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴④正確，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)﹣三線合一是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，AC=CD=DB，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，M是AB上的一動點(diǎn)，下列結(jié)論：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①錯誤，證明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；
②正確．證明∠CED＝30°，可得結(jié)論；
③錯誤，M是動點(diǎn)，DM不一定垂直CE；
④正確，連接EM，證明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得結(jié)論．
【解答】解：∵AC=CD=DB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵E，D關(guān)于AB對稱，
∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①錯誤，
∵∠CED=12∠COD＝30°，
∴∠DOB＝2∠CED，故②正確，
∵M(jìn)是動點(diǎn)，
∴DM不一定垂直CE，故③錯誤，
連接EM．
則ME＝MD，
∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正確，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
題型五 與圓周角定理有關(guān)的證明
【例題5】（2023?海珠區(qū)一模）如圖，⊙O中，AB＝CD，求證：△ABE≌DCE．
【分析】首先利用圓周角定理得到∠B＝∠C，然后利用AAS判定兩三角形全等即可．
【解答】解：由題意得：∠B＝∠C，
在△ABE與△DCE中，
∠AEB=∠DEC∠B=∠CAB=CD
∴△ABE≌△DCE（AAS）．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理及全等三角形的判定的知識，解題的關(guān)鍵是了解同弧所對的圓周角相等，難度較?。?br>【變式5-1】（2022秋?濟(jì)寧期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．
（1）求證：AC=BD．
（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑，求證：∠BAC+2∠BAD＝90°．
【分析】（1）利用圓心角，弧，弦之間的關(guān)系解決問題即可；
（2）利用圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)解決問題．
【解答】（1）證明：如圖，∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AC+CB=CB+DB，
∴AC=BD．
（2）證明：連接AD．
∵AC=BD，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，
∵AD是直徑，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAB+∠AMC＝90°，
∴∠CAB+2∠BAD＝90°．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
【變式5-2】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點(diǎn)F，且AB=AE，求證：AF＝BF．
【分析】延長AD交⊙O于M，根據(jù)垂徑定理求出AB=BM，求出BM=AE，根據(jù)圓周角定理得出∠BAF＝∠ABF，再根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．
【解答】證明：延長AD交⊙O于M，
∵BC⊥AD，BC過圓心O，
∴AB=BM，
∵AB=AE，
∴BM=AE，
∴∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理等知識點(diǎn)，能根據(jù)垂徑定理得出AB=BM是解此題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2023?沂源縣一模）如圖，點(diǎn)B，C為⊙O上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為⊙O上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE∥AC，交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，且AC平分∠BAD，連接CE．
（1）求證：AD∥EC；
（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．
【分析】（1）欲證明AD∥EC，只要證明∠ACE＝∠DAC即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和矩形的判定即可解決問題；
【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
∵∠E＝∠BAC
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AC
∴∠E＝∠ECA
∴∠ECA＝∠DAC
∴EC‖AD；
（2）四邊形EBCA是矩形．理由如下，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
又∵BC＝CD
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AB為⊙O的直徑．
∴∠AEB＝90°，
又∵BE∥AC
∴∠EBC＝∠ACD＝90°
∴四邊形EBCA是矩形．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
【變式5-4】（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CE⊥AB于E，D為弧BC的中點(diǎn)，連接AD，分別交CE、CB于點(diǎn)F和點(diǎn)G．
（1）求證：CF＝CG；
（2）如圖2，若AF＝DG，連接OG，求證：OG⊥AB．
【分析】（1）連接AC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠CEA＝90°，從而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根據(jù)已知可得DC=DB，從而可得∠CAG＝∠FAE，進(jìn)而可得∠AGC＝∠AFE，最后根據(jù)對頂角相等可得∠AFE＝∠CFG，從而可得∠AGC＝∠CFG，進(jìn)而根據(jù)等角對等邊即可解答；
（2）連接AC，CD，利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根據(jù)SAS證明△AFC≌△DGC，從而可得AC＝CD，進(jìn)而可得AC=CD=DB，最后根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠ABC＝∠DAB，從而可得GA＝GB，進(jìn)而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答，
【解答】證明：（1）連接AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAG+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵D為弧BC的中點(diǎn)，
∴DC=DB，
∴∠CAG＝∠FAE，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠AGC＝∠CFG，
∴CF＝CG；
（2）連接AC，CD，
∵∠CFG＝∠CGF，
∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，
∴∠AFC＝∠CGD，
∵CF＝CG，AF＝CD，
∴△AFC≌△DGC（SAS），
∴AC＝CD，
∴AC=CD，
∵CD=DB，
∴AC=DB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴GA＝GB，
∵OA＝OB，
∴GO⊥AB．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
題型六 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度
【例題6】（2022?云巖區(qū)模擬）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)計(jì)算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022?皇姑區(qū)一模）如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五個(gè)點(diǎn)，圓心O在AD上，∠BCD＝110°，則∠AEB的度數(shù)為（ ）
A．70°B．35°C．40°D．20°
【分析】連接DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角互補(bǔ)和直徑所對的圓周角是直角即可求得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接DE，
∵四邊形BCDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BED＝70°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2023?山西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形求出∠D，根據(jù)圓周角定理即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022?通榆縣模擬）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點(diǎn)，若CF平分∠DCE，則∠DCF的大小是（ ）
A．52°B．54°C．56°D．60°
【分析】由“圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根據(jù)角平分線的定義來求∠DCF的大?。?br>【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點(diǎn)，
∴∠DCE＝∠BAD＝108°．
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF=12∠DCE＝54°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)．
【變式6-4】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．
（1）求證：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數(shù)．
【分析】（1）連接BF，根據(jù)圓周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DF＝CD＝BD，求出∠C＝∠CFD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠E＝∠CFD即可；
（2）求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．
【解答】（1）證明：連接BF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°，
∵BD＝CD，
∴CD＝DF＝BD，
∴∠C＝∠CFD，
∵四邊形AEDB是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠CFD＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：由（1）知：∠E＝∠C＝∠CFD，
∵∠E＝50°，
∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
題型七 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長
【例題7】（2023?碭山縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，則BC的長為（ ）
A．52B．5C．52D．10
【分析】根據(jù)勾股定理求得BD＝10，根據(jù)圓內(nèi)接四邊對角互補(bǔ)，得出∠BCD＝90°，繼而根據(jù)勾股定理即可求解．
【解答】解：如圖所示，連接BD，
∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵BC=CD．
∴BC＝CD=22BD=52，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，勾股定理，同弧所對弦相等，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022?青島一模）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點(diǎn)，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝ cm．
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠A及∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求出AB．
【解答】解：∵∠D＝45°，
∴∠A＝45°，
∵AC是直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2×4÷2=42（cm）．
故答案為：42．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓周角定理，涉及到勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練使用圓周角定理．
【變式7-2】（2023?寶雞二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，連接OA、OC，則OA的長為（ ）
A．4B．22C．3D．2
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ADC＝45°，則有∠AOC＝90°，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝2，
∴OA=2，
∴⊙O的半徑為：2．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（ ）
A．4B．722C．532D．92
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×22=522，BH＝CH＝4×22=22，
∴DH=CD2?CH2=322，
∴BD＝BH+DH=722，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-4】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)G．
（1）求證：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的長．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理以及圓周角定理可得BC=BE=CD，進(jìn)而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根據(jù)等腰三角形的判定可得BG＝CG；
（2）利用圓心角、弦、弧、圓心距之間的關(guān)系以及垂徑定理、三角形中位線定理可得答案．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，
∴BC=CD，
又∵弦CE⊥AB，AB是直徑，
∴BC=BE，
∴BC=BE=CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，
∴BG＝CG；
（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BD，垂足為M，
∵BC=BE=CD，
∴BC+CD=BC+BE，
即BD=CE，
∴BD＝CE，
又∵OM⊥BD，OF⊥CE，
∴OM＝OF＝1，DM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABD的中位線，
∴OM=12AD，
∴AD＝2OM＝2．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理、圓周角定理以及圓心角、弦、弧、圓心距之間的關(guān)系定理，掌握垂徑定理、圓周角定理，圓心角、弦、弧、圓心距之間的關(guān)系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位線定理是正確解答的前提．
題型八 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積
【例題8】（2023?江岸區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明；
（2）若CP=6，BC=27，求S△APB．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明；
（2）過點(diǎn)A作AK⊥BP交BP的延長線于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AJ⊥PC于點(diǎn)J．證明△ABK≌△ACJ（AAS），推出AK＝AJ，BK＝CJ，證明Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），推出PK＝PJ，設(shè)PK＝PJ＝x，則AK＝AJ=3x，構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：（1）△ABC是等邊三角形，
理由如下：由圓周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）過點(diǎn)A作AK⊥BP交BP的延長線于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AJ⊥PC于點(diǎn)J．
∵∠K＝∠AJC＝90°，AB＝AC，∠ABK＝∠ACJ，
∴△ABK≌△ACJ（AAS），
∴AK＝AJ，BK＝CJ，
∵AP＝AP，
∴Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），
∴PK＝PJ，
設(shè)PK＝PJ＝x，則AK＝AJ=3x，
∵AK2+BK2＝AB2，
∴（3x）2+（6﹣x）2＝（27）2，
解得，x＝1或2，
∴PJ＝1或2，AK＝AJ=3或23，
∴PB＝2或4，
∴△APB的面積=12×2×23=23或12×4×3=23，
綜上所述，△APB的面積為23．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的判定，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2023?和平區(qū)模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC，過點(diǎn)B作BE∥CD交DA的延長線于點(diǎn)E，若AD＝2，DC＝3，則△BDE的面積為 ．
【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝120°，則∠ADB＝∠CDB＝60°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠EBD＝∠CDB＝60°，于是可判斷△BDE為等邊三角形，在DB上截取DF＝DA，如圖，則△ADF為等邊三角形，所以AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，接著證明△ABC為等邊三角形得到AB＝AC，然后證明△ABF≌△ACD得到BF＝CD＝3，所以BD＝5，最后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算△BDE的面積．
【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠CDB＝60°，
∴△BDE為等邊三角形，
在DB上截取DF＝DA，如圖，
∵∠ADF＝60°，DA＝DF，
∴△ADF為等邊三角形，
∴AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，
在△ABF和△ACD中，
∠ABF=∠ACD∠AFB=∠ADCAB=AC，
∴△ABF≌△ACD（AAS），
∴BF＝CD＝3，
∴BD＝BF+DF＝3+2＝5，
即等邊△EBD的邊長為5，
∴△BDE的面積=34×52=2534．
故答案為：2534．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．也考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)．
【變式8-2】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）請判斷△ABC的形狀？說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于AB的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．
【分析】（1）利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF＝PC從而得出最大面積．
【解答】解：（1）△ABC是等邊三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是BC所對的圓周角，∠ABC與∠APC是AC所對的圓周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APBC的面積最大．理由如下：
如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E．過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．
∵S△APB=12AB?PE，S△ABC=12AB?CF，
∴S四邊形APBC=12AB?（PE+CF），
當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF＝PC，PC為⊙O的直徑，
∴此時(shí)四邊形APBC的面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=3，
∴S四邊形APBC=12×2×3=3．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
題型九 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論
【例題9】（2023?安陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形ABOD是平行四邊形，則下列結(jié)論：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2OD，其中正確結(jié)論
有（ ）
?
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由四邊形ABOD是平行四邊形，OD＝OB，判定四邊形ABOD是菱形，得到OB＝AB，由△ABO是等邊三角形得到∠AOB＝60°，由四邊形ABOD是菱形，得到∠BOD＝2∠AOB＝120°，由圓周角定理得到∠BCD=12∠BOD＝60°，由菱形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠BOD＝120°，CD和OD沒有確定的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：連接OA，
∵四邊形ABOD是平行四邊形，OD＝OB，
∴四邊形ABOD是菱形，
∴OB＝AB，
故①正確；
∵OA＝OB＝AB，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵四邊形ABOD是菱形，
∴∠BOD＝2∠AOB＝120°，
∴∠BCD=12∠BOD＝60°，
故②正確；
∵四邊形ABOD是菱形，
∴∠BAD＝∠BOD＝120°，
故③正確；
∵C的位置不確定，CD長在變化，半徑OD的長不變，
∴CD和OD沒有確定的數(shù)量關(guān)系，
∴④錯誤．
∴正確的結(jié)論是①②③，共有3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定四邊形ABOD是菱形，得到∠BOD＝120°．
【變式9-1】（2022秋?永吉縣期中）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個(gè)內(nèi)角分成了8個(gè)角，在結(jié)論①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：∵∠1，∠4所對的弧都是弧CD，
∴∠1=∠4，故①正確，符合題意；
∵∠2，∠7所對的弧都是弧BC，
∴∠2=∠7，故②正確，符合題意；
∵∠3，∠6所對的弧都是弧AD，
∴∠3=∠6，故③正確，符合題意；
∵∠5，∠8所對的弧都是弧AB．
∴∠5=∠8，故④正確，符合題意．
∴正確的有4個(gè)，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，熟練運(yùn)用圓周角的定理解決問題是本題的關(guān)鍵．
【變式9-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列結(jié)論：
①線段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD
其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，作出輔助線，根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理對每一結(jié)論進(jìn)行證明即可得出答案．
【解答】解：①∵AB＝AD，
∴弧AB＝弧AD，∠ADB＝∠ABD．
∵∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠ABD＝∠ACD．
∴∠ADB＝（180°﹣∠BAD）÷2＝90°﹣∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC＝90°，即∠ACD+∠DFC＝90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC＝90°，
∴∠ADC＞90°，
∴線段AC不為⊙O的直徑，
∴①錯誤，②正確；
③過F作FG⊥BC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∠BFC＝∠BAD，
∴∠FBC＝∠ABD，
∴∠FBC＝∠ADB，
∴∠FBC＝∠ACB．
∴FB＝FC．
∴FG平分BC，G為BC中點(diǎn)，∠GFC=12∠BAD＝∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC＝∠DFC，F(xiàn)C＝FC，∠ACB＝∠ACD）．
∴CD＝GC=12BC．
∴BC＝2CD，
∴③正確；
④∵∠BFC＝∠BAD，
∠AFB＝180°﹣∠BFC，
∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴∠AFB＝∠BCD
∴④正確；
其中正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理；用到的知識點(diǎn)為圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作出輔助線根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理對每一結(jié)論進(jìn)行證明．
題型十 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明
【例題10】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求證：△ABC是等邊三角形．
【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，由AB=AC得到AB＝AC，根據(jù)等邊三角形的判定可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB=AC，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧和弦的關(guān)系，等邊三角形的判定，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．
【變式10-1】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長DC，AB交于點(diǎn)E，且BE＝BC，求證：△ADE是等腰三角形．
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理證明．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A＝∠BCE，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠A＝∠BEC，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形；
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意方程思想的靈活運(yùn)用．
【變式10-2】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E在⊙O上，OD∥BE，連接AD并延長交BE延長線于C．求證：DC＝DE．
【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADO，再利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)以及平角定義可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行線的性質(zhì)可得∠ADO＝∠C，從而利用等量代換可得∠DEC＝∠C，最后利用等角對等邊即可解答．
【解答】證明：∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠A，
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DC＝DE．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點(diǎn)E．
求證：BD＝BC．
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD+∠BAD＝180°，進(jìn)而證明∠BCD＝∠EAD，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代換得到∠BCD＝∠BDC，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-4】（2023?南寧二模）如圖，四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD是對角線，過點(diǎn)A作EA⊥AD交DB的延長線于點(diǎn)E，AB＝AC．
（1）求證：∠ABE＝∠ACD；
（2）連接BC，若BC為⊙O的直徑，求證：BE＝CD．
【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EAB＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABDC是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）連接BC，
∵BC為圓O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△ABE與△ACD中，
∠EAB=∠DACAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴BE＝CD．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
題型十一 利用圓周角定理解決最值問題
【例題11】（2023?六盤水二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN，則線段MN的最小值為 ．
【分析】連接OM、ON，過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，先根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出AH＝43，再根據(jù)圓周角定理得到∠MON＝90°，所以MN=2OM，則MN=22AD，然后根據(jù)垂線段最短得到AD的最小值為43，從而得到MN的最小值．
【解答】解：連接OM、ON，過A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，
在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，
∴BH=12AB＝4，
∴AH=3BH＝43，
∵∠MON＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
而OM＝ON，
∴MN=2OM，
∵OM=12AD，
∴MN=22AD，
∴當(dāng)AD的值最小時(shí)，MN的值最小，
∵點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)時(shí)，AD的值最小，
即AD的最小值為43，
∴MN的最小值為22×43=26．
故答案為：26．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂線段最短．
【變式11-1】（2022?淮南一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動點(diǎn)，若OB＝2，則CE+DE長的最小值為 ．
【分析】作D點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)F，連接CF交OB于E，如圖，先利用角平分線定義得到∠COD＝∠BOD＝30°，再利用對稱的性質(zhì)得到∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，ED＝EF，所以CE+DE＝CF，接著根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)CE+DE的值最小，然后計(jì)算出CF即可．
【解答】解：作D點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)F，連接CF交OB于E，如圖，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD=12∠BOC＝30°，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于OB對稱，
∴∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，OB垂直平分DF，
∴ED＝EF，
∴CE+DE＝CE+FE＝CF，
∴此時(shí)CE+DE的值最小，
∵∠COF＝90°，OC＝OF，
∴CF=2OC＝22，
∴CE+DE長的最小值為22．
故答案為：22．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了最短路徑問題．
【變式11-2】（2022秋?沈河區(qū)校級期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點(diǎn)，P為弧AC上任意一點(diǎn)，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝6，則CD的最小值為 ．
【分析】以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO′，連接DO′、CO′，易得△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC=32，由圓周角定理可得∠APD＝∠ACB＝45°，進(jìn)而可得∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，于是可知點(diǎn)D在點(diǎn)O′為圓心，AO′為半徑的AB上運(yùn)動，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得O′B=AB2=3，由勾股定理求得CO′=35，利用三角形三邊關(guān)系可知CD≥CO′﹣O′D，因此當(dāng)C、D、O′三點(diǎn)共線時(shí)，CD取的最小值，最小值為CO′﹣O′D，代入計(jì)算即可求解．
【解答】解：如圖，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO′，連接DO′、CO′，
則∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∵以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點(diǎn)，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC=BC2=62=32，
∵AB=AB，
∴∠APD＝∠ACB＝45°，
∵AD⊥AP，
∴∠DAP＝90°，
∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，
∴點(diǎn)D在點(diǎn)O′為圓心，AO′為半徑的AB上運(yùn)動，
在等腰直角△ABO′中，O′B=AB2=322=3，
在Rt△BO′C中，CO′=O′B2+BC2=32+62=35，
∴O′D＝O′B＝3，
∵CD≥CO′﹣O′D
∴當(dāng)C、D、O′三點(diǎn)共線時(shí)，CD取的最小值，最小值為CO′﹣O′D=35?3．
故答案為：35?3．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓中的最值問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求最值．
【變式11-3】（2023?興化市開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，點(diǎn)F是邊AB上一動點(diǎn)（不與A、B重合），以AF為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，連接DB交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上移動時(shí)，則CE的最小值為 ．
?
【分析】連DF，AE，EF，得∠AEB＝180°﹣30°＝150°為定角，由此可得E在以AB為弦所對圓心角為60°的圓弧上運(yùn)動，設(shè)該圓圓心為N，連NE，CN，AN，BN，由兩點(diǎn)之間線段最短知：CE+NE≥CN，進(jìn)而可求CE的最小值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，BC=AB2?AC2=42?22=23，∠BAC＝60°，
連DF，AE，EF，
∵AF為的直徑，
∴∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴∠AFD＝∠AED＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEB＝180°﹣30°＝150°為定角，
∴E在以AB為弦所對圓心角為60°的圓弧上運(yùn)動，
設(shè)該圓圓心為N，連NE，CN，AN，BN，則∠ANB＝60°，AN＝BN，
∴△AB為等邊三角形，
∴AB＝BN＝AN＝4，∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝90°，
∴CN=BC2+BN2=12+16=27，
又EN＝BN＝4，
由兩點(diǎn)之間線段最短知：CE+NE≥CN，
∴CE≥CN﹣EN＝27?4，
∴當(dāng)C、E、N在一直線時(shí)．CE有最小值為：27?4．
故答案為：27?4．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理、含30°角的直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
【變式11-4】（2022秋?紅橋區(qū)校級期末）如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
（1）EF＝ ；
（2）點(diǎn)P在MN上運(yùn)動，則PA+PC的最小值為 ．
【分析】（1）連接OA，OC，利用垂徑定理求出AE與CF的長，根據(jù)勾股定理求出OE與OF的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對稱，因而PA+PC＝PB+PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．
【解答】解：（1）連接OA，OC，
∵∵AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，
∴BE=12AB＝4，CF=12CD＝3，
∴OE=OB2?BE2=52?42=3，
OF=OC2?CF2=52?32=4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7；
（2）連接OB，作CH垂直于AB于H．
∵EF＝OE+OF＝3+4＝7，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在Rt△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=BH2+CH2=72+72=72，即PA+PC的最小值為72．
故答案為：7，72．
【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．
題型十二 圓周角定理的綜合應(yīng)用問題
【例題12】（2023?河西區(qū)校級三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D為直徑AB同側(cè)圓上的點(diǎn)，且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長DE，交⊙O于點(diǎn)F，AC與DF交于點(diǎn)G．
（Ⅰ）如圖①，若點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，求∠AGF的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半徑．
【分析】（I）根據(jù)AB為⊙O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，C為DB的中點(diǎn)，可得出∠BAC＝30°，再由DE⊥AB可知∠AEG＝90°，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（II）連接OF，首先證明AC＝DF＝12，設(shè)OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】解：（I）∵AB為⊙O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，C為DB的中點(diǎn)，
∴AD=CD=BC，
∴∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEG＝90°，
∴∠AGF＝90°﹣30°＝60°；
（II）如圖，連接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，AD=AF，
∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∴AC=DF，
∴AC＝DF＝12，
∴EF=12DF＝6，設(shè)OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，則有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝7.5，
∴⊙O的半徑是7.5．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．
【變式12-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，且OC⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD交OC于M，連接BD，CD．
（1）∠DAB的度數(shù)為 度．
（2）求證：DC＝DM；
（3）過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，若BD=2，求ME的長．
【分析】（1）由圓周角定理及弧中點(diǎn)性質(zhì)可得答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定，判斷∠MCD＝∠CMD，即可證明；
（3）利用（1）、（2）的結(jié)論，再證明出△CDE是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如圖，連接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴∠COD＝∠BOD＝45°，
∵BD=BD，
∴∠BAD=12∠BOD＝22.5°，
故答案為：22.5．
（2）∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AMO＝∠ABD，
∵BD=BD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OD＝OB，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD，
∵∠AMO＝∠CMD，
∴∠MCD＝∠CMD，
∴DC＝DM．
（3）∵CD＝BD=2，
∴DM＝DC=2，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°，
∵∠COD＝45°，OC＝OD，
∴∠ODC＝67.5°，
∴∠CDE＝45，
∵CE⊥AD，
∴DE=22?CD，
∴DE＝1，
∴ME=2?1．
【點(diǎn)評】本題考查了圓的相關(guān)概念性質(zhì)的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的計(jì)算是解題關(guān)鍵．
【變式12-2】（2023?蚌埠二模）如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)P，AB經(jīng)過點(diǎn)O，E是AC的中點(diǎn)，連接OE，EP，延長EP交BD于點(diǎn)F．
（1）若AB＝10，OE=10，求AC的長；
（2）求證：EF⊥BD．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得OE垂直平分AC，從而可得OE⊥AC，AC＝2AE，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）根據(jù)垂直定義可得∠APC＝∠BPD＝90°，從而可得∠DPF+∠BPF＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得EP＝EC，從而可得∠EPC＝∠C，再利用對頂角相等，以及同弧所對的圓周角相等可得∠DPF＝∠B，最后利用等量代換可得∠B+∠BPF＝90°，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算可得∠BFP＝90°，即可解答．
【解答】（1）解：∵E是AC的中點(diǎn)，
∴OE垂直平分AC，
∴OE⊥AC，AC＝2AE，
∵AB＝10，
∴OA=12AB＝5，
在Rt△AOE中，OE=10，
∴AE=OA2?OE2=52?(10)2=15，
∴AC=2AE=215，
∴AC的長為215；
（2）證明：∵AB⊥CD，
∴∠APC＝∠BPD＝90°，
∴∠DPF+∠BPF＝90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴EP＝EC=12AC，
∴∠EPC＝∠C，
∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C，
∴∠DPF＝∠B，
∴∠B+∠BPF＝90°，
∴∠BFP＝180°﹣（∠B+∠BPF）＝90°，
∴EF⊥BD．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握圓周角定理，以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
【變式12-3】已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．
（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC、BD、CD的長；
（2）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．
【分析】（1）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD＝CD＝52；
（2）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（1）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC=BC2?AB2=102?62=8．
∵AD平分∠CAB，
∴CD=BD，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝52；
（2）如圖②，連接OB，OD，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB=12∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直徑為10，則OB＝5，
∴BD＝5．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．
【變式12-4】（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，CF=CB，BF與CD交于點(diǎn)G．
（1）求證：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長．
（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：2∠EOG+12∠AOF=90°．
【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E得BC=BD，又由CF=CB，得到CF=BC=BD，從而得到BD+BC=BC+CF，即BF=CD，即可得證；
（2）連接BC，由（1）得：CF=BD，CD＝BF＝4，從而得到∠FBC＝∠BCD，則BG＝CG，設(shè)EG＝x，則BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）連接OC交BF于I，則OC⊥BF，通過證明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，可得到12∠AOF=∠OBF，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴BC=BD，
∵CF=CB，
∴CF=BC=BD，
∴BD+BC=BC+CF，即BF=CD，
∴BF＝CD；
（2）解：如圖所示：連接BC，
由（1）得：CF=BD，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴DE=CE=12CD=2，
設(shè)EG＝x，則BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：x=34，
∴GE的長為34；
（3）解：如圖所示：連接OC交BF于I，
∵AF=AF，
∴12∠AOF=∠OBF，
在△OCG和△OBG中，
OC=OBOG=OGCG=BG，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC為半徑，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴2∠EOG+12∠AOF=90°．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
圓心角
圓周角
區(qū) 別
頂點(diǎn)在圓心
頂點(diǎn)在圓上
在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的.
在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個(gè).
聯(lián) 系
兩邊都與圓相交
解題技巧提煉
利用“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”結(jié)合其它知識來求角的度數(shù)或線段長.
解題技巧提煉
利用“同弧或等弧所對的圓周角相等”，以及其它的知識來求解.
解題技巧提煉
當(dāng)有直徑時(shí)，常用直徑所對的圓周角是90°，構(gòu)造直角三角形來進(jìn)行解題.
解題技巧提煉
主要利用的是圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一的判斷即可．
解題技巧提煉
主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理等知識點(diǎn)，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，還結(jié)合圖形的其它性質(zhì)求角的度數(shù).
解題技巧提煉
主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，結(jié)合圖形的其它性質(zhì)轉(zhuǎn)化角之間的關(guān)系，同時(shí)還要利用勾股定理等知識進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.
解題技巧提煉
主要是利用圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
多結(jié)論的判斷主要利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、等腰三角形的判定等知識對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
求最值問題時(shí)利用圓周角定理，以及“垂線段最短”，“兩點(diǎn)之間線段最短”，“三角形的三邊關(guān)系”等知識，圓中的最值問題，關(guān)鍵是找到運(yùn)動軌跡.
解題技巧提煉
圓周角定理的綜合應(yīng)用問題主要里利用圓周角定理、弧、線、圓心角定理、垂徑定理、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．
圓心角
圓周角
區(qū) 別
頂點(diǎn)在圓心
頂點(diǎn)在圓上
在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的.
在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個(gè).
聯(lián) 系
兩邊都與圓相交
解題技巧提煉
利用“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”結(jié)合其它知識來求角的度數(shù)或線段長.
解題技巧提煉
利用“同弧或等弧所對的圓周角相等”，以及其它的知識來求解.
解題技巧提煉
當(dāng)有直徑時(shí)，常用直徑所對的圓周角是90°，構(gòu)造直角三角形來進(jìn)行解題.
解題技巧提煉
主要利用的是圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一的判斷即可．
解題技巧提煉
主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，垂徑定理等知識點(diǎn)，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角定理，還結(jié)合圖形的其它性質(zhì)求角的度數(shù).
解題技巧提煉
主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，結(jié)合圖形的其它性質(zhì)轉(zhuǎn)化角之間的關(guān)系，同時(shí)還要利用勾股定理等知識進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.
解題技巧提煉
主要是利用圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
多結(jié)論的判斷主要利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、等腰三角形的判定等知識對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉
求最值問題時(shí)利用圓周角定理，以及“垂線段最短”，“兩點(diǎn)之間線段最短”，“三角形的三邊關(guān)系”等知識，圓中的最值問題，關(guān)鍵是找到運(yùn)動軌跡.
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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級上冊電子課本 舊教材

2.4 圓周角

版本： 蘇科版（2024）

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