?2022年中考數(shù)學真題匯編：勾股定理

1.（2022大慶）平面直角坐標系中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在x軸上運動，滿足．點Q為線段的中點，則點Q運動路徑的長為( )
A. B. C. D.
2.（2022河北）題目：“如圖，∠B＝45°，BC＝2，在射線BM上取一點A，設AC＝d，若對于d的一個數(shù)值，只能作出唯一一個△ABC，求d的取值范圍．”對于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，則正確的是（ ）

A. 只有甲答的對 B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
3.（2022大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側面展開圖的面積是( )
A. B. C. D.
4.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點、，連接并延長與交于點、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
5.（2022龍東地區(qū)）如圖，中，，AD平分與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若的面積是24，，則PE的長是（ ）

A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
6.（2022遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點到的距離為（ ）

A. B. C. 1 D. 2
7.（2022牡丹江、雞西）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(　 　)

A. (600－250)米 B. (600－250)米
C. (350＋350)米 D. 500米
8.（2022牡丹江、雞西）已知圓錐的高是12，底面圓的半徑為5，則這個圓錐的側面展開圖的周長為________
9.（2022牡丹江、雞西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．

10.（2022齊齊哈爾）已知圓錐的母線長為高為則該圓錐側面展開圖的圓心角是________________________．
11.（2022齊齊哈爾）在△ABC中，，，，則______________．
12.（2022貴陽）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，．若，則的面積是_______，_______度．

13.（2022龍東地區(qū)）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．

14.（2022黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．

15.（2022龍東地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．

16.（2022河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．

17.（2022銅仁）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．

18.（2022遵義）如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為__________．

19.（2022哈爾濱）如圖，菱形的對角線相交于點O，點E在上，連接，點F為的中點，連接，若，，，則線段的長為___________．

20.（2022大慶）如圖，正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的兩個動點，且正方形的周長是周長的2倍，連接分別與對角線交于點M，N．給出如下幾個結論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結論的序號為____________．

21.（2022河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E，則
（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；
（2）AE＝______．

22.（2022哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，的頂點和線段的端點均在小正方形的頂點上．

（1）在方格紙中面出，使與關于直線對稱（點D在小正方形的頂點上）；
（2）在方格紙中畫出以線段為一邊的平行四邊形（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形的面積為4．連接，請直接寫出線段的長．


23.（2022龍東地區(qū)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．

（1）將先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點的坐標；
（2）畫出繞點順時針旋轉90°后得到，并寫出點的坐標；
（3）在（2）的條件下，求點旋轉到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結果保留）．


24.（2022貴陽）如圖，在正方形中，為上一點，連接，的垂直平分線交于點，交于點，垂足為，點在上，且．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．


25.（2022銅仁）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．

（1）求證：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF長．


26.（2022遵義）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點與頂點重合，菱形的對角線經(jīng)過點，點，分別在，上．

（1）求證：；
（2）若，求的長．


27.（2022大慶）如圖，已知是外接圓的直徑，．點D為外的一點，．點E為中點，弦過點E．．連接．

（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）當時，求弦的長．


28.（2022黔東南）（1）請在圖中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于點．

①求證：；
②若，，求的半徑．


29.（2022河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．

（1）求∠C的大小及AB的長；
（2）請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）


30.（2022貴陽）小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．
如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．

（1）問題解決：
如圖①，當，將沿翻折后，使點與點重合，則______；
（2）問題探究：
如圖②，當，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；
（3）拓展延伸：
當，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．


31.（2022哈爾濱）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個點，連接，點D，點E分別是半徑的中點，連接，且．

（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，延長交于點F，若，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G是上一點，連接，若，，求的長．


32.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．


33.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當點P到達點D后立刻繞點D逆時針旋轉（圖3），當邊PM旋轉50°時停止．
①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉結束，求邊PQ掃過的面積；
②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內的時長；
③如圖3．在△PQM旋轉過程中，設PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．


34.（2022河南）綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．

（1）操作判斷
操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．
（2）遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．
①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）拓展應用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．

2022年中考數(shù)學真題匯編：勾股定理參考答案
1.（2022大慶）平面直角坐標系中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在x軸上運動，滿足．點Q為線段的中點，則點Q運動路徑的長為( )
A. B. C. D.
【答案】解：設點M的坐標為（0，m），點N的坐標為（n，0），則點Q的坐標為，
∵，
∴，（，） ，
∵當時，，
∴，即，
∴此時點Q在一條線段上運動，線段的一個端點在x軸的負半軸上，坐標為（-4，0），另一端在y軸的負半軸上，坐標為（0，-4），
∴此時點Q的運動路徑長為；
∵當時，，
∴，即，
∴此時點Q在一條線段上運動，線段的一個端點在x軸的正半軸上，坐標為（4，0），另一端在y軸的負半軸上，坐標為（0，-4），
∴此時點Q的運動路徑長為；
綜上分析可知，點Q運動路徑的長為，故B正確．
故選：B．
2.（2022河北）題目：“如圖，∠B＝45°，BC＝2，在射線BM上取一點A，設AC＝d，若對于d的一個數(shù)值，只能作出唯一一個△ABC，求d的取值范圍．”對于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，則正確的是（ ）

A. 只有甲答的對 B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
【答案】過點C作于，在上取

∵∠B＝45°，BC＝2，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若對于d的一個數(shù)值，只能作出唯一一個△ABC
通過觀察得知：
點A在點時，只能作出唯一一個△ABC（點A在對稱軸上），此時，即丙的答案；
點A在射線上時，只能作出唯一一個△ABC（關于對稱的AC不存在），此時，即甲的答案，
點A在線段（不包括點和點）上時，有兩個△ABC（二者的AC邊關于對稱）；
故選：B
3.（2022大慶）已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側面展開圖的面積是( )
A. B. C. D.
【答案】解：由題意知，圓錐側面展開圖的半徑即圓錐的母線長為，
∴圓錐側面展開圖的面積為，
故選B．
4.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點、，連接并延長與交于點、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：連結OA
∵、分別與相切于點A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故選A．

5.（2022龍東地區(qū)）如圖，中，，AD平分與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若的面積是24，，則PE的長是（ ）

A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3
【答案】解：如圖，連接DE，取AD的中點G，連接EG，
∵AB=AC，AD平分與BC相交于點D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中點，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中點，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中點，G是AD的中點，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中點，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故選：A．

6.（2022遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點到的距離為（ ）

A. B. C. 1 D. 2
【答案】解：在中，
，，
，
，
設到的距離為，
，
，
故選B．
7.（2022牡丹江、雞西）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5∶12的山坡上走1300米，此時小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，求山高(　 　)

A. (600－250)米 B. (600－250)米
C. (350＋350)米 D. 500米
【答案】解：如答圖，∵BE：AE=5：12，∴可設BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．
∴AE=1200米，BE=500米．
設EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD為（600﹣250）米．
故選B．

8.（2022牡丹江、雞西）已知圓錐的高是12，底面圓的半徑為5，則這個圓錐的側面展開圖的周長為________
【答案】∵圓錐的底面半徑是5，高是12，
根據(jù)勾股定理得：圓錐的母線長為13，
∴這個圓錐的側面展開圖的周長＝2×13＋2π×5＝26＋10π．
故答案為26＋10π．
9.（2022牡丹江、雞西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______．

【答案】如圖，過點D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC，
即×6?CD+×10?CD=×6×8，
解得CD=3．
10.（2022齊齊哈爾）已知圓錐的母線長為高為則該圓錐側面展開圖的圓心角是________________________．
【答案】解：根據(jù)母線和高，用勾股定理可以算出圓錐底面圓的半徑，
則展開之后扇形的弧長就等于底面圓的周長，
再根據(jù)弧長公式，得到，算出．
故答案是：．
11.（2022齊齊哈爾）在△ABC中，，，，則______________．
【答案】解：情況一：當△ABC為銳角三角形時，如圖1所示：

過A點作AH⊥BC于H，
∵∠B=45°，
∴△ABH為等腰直角三角形，
∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，
∴．
情況二：當△ABC為鈍角三角形時，如圖2所示：
由情況一知：，，
∴．
故答案為：或．
12.（2022貴陽）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，．若，則的面積是_______，_______度．

【答案】
，
，
，
，
設，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或，
對角線，相交于點，
，
，
，
，
過點E作EF⊥AB，垂足為F，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：，．
13.（2022龍東地區(qū)）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．

【答案】解：連接OA、OB，過點O作OD⊥AB于點D，


，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
14.（2022黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．

【答案】解：連接如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴
∵點M為BC的中點，
∴
由折疊得，∠
∴∠，
設則有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案為：
15.（2022龍東地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．

【答案】解：如圖，作點O關于AB的對稱點F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時，PO+PE最小，最小值=EF，

∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=，
∴OA=，
∴點O關于AB的對稱點F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案為：．
16.（2022河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．

【答案】如圖，連接，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根據(jù)題意可得，當∠ADQ＝90°時，點在上，且，
，
在中，，
故答案為：．
17.（2022銅仁）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．

【答案】解：作點P關于CE的對稱點P′，

由折疊的性質知CE是∠DCM的平分線，
∴點P′在CD上，
過點M作MF⊥CD于F，交CE于點G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，
∴MN+NP的最小值為MF的長，
連接DG，DM，
由折疊的性質知CE為線段 DM的垂直平分線，
∵AD=CD=2，DE=1，
∴CE==，
∵CE×DO=CD×DE，
∴DO=，
∴EO=，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO=∠GMO，
∵CE為線段DM的垂直平分線，
∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE=GM，
∴四邊形DEMG為平行四邊形，
∵∠MOG=90°，
∴四邊形DEMG為菱形，
∴EG=2OE=，GM= DE=1，
∴CG=，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG=，
∴MF=1+=，
∴MN+NP的最小值為．
故答案為：．
18.（2022遵義）如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為__________．

【答案】如圖，過點作，且，連接，如圖1所示，
，
又，
，
，
，
當三點共線時，取得最小值，
此時如圖2所示，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
設，
，
，
，
，，
，
，
即取得最小值為，
故答案為：．

19.（2022哈爾濱）如圖，菱形的對角線相交于點O，點E在上，連接，點F為的中點，連接，若，，，則線段的長為___________．

【答案】已知菱形ABCD，對角線互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根據(jù)勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的邊長為，
∵點F為的中點，點O為DB中點，
∴ ．
故答案為
20.（2022大慶）如圖，正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的兩個動點，且正方形的周長是周長的2倍，連接分別與對角線交于點M，N．給出如下幾個結論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結論的序號為____________．

【答案】解：∵正方形的周長是周長的2倍，
∴，
，
①若，則，故①不正確；
如圖，在的延長線上取點，使得，

四邊形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，

即，故②正確；


如圖，作于點，連接，
則，
，，
，
同理可得，
，
關于對稱軸，關于對稱，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正確，
，
若，
即，
，

，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正確．
故答案為：②．
21.（2022河北）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點E，則
（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；
（2）AE＝______．

【答案】 解：（1）如圖：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，
∴△ACG≌△CFD，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠ACE+∠FCD=90°，
∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AB與CD是垂直的，
故答案為：是；
（2）AB=2，
∵AC∥BD，
∴△AEC∽△BED，
∴，即，
∴，
∴AE=BE=．
故答案為：．

22.（2022哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，的頂點和線段的端點均在小正方形的頂點上．

（1）在方格紙中面出，使與關于直線對稱（點D在小正方形的頂點上）；
（2）在方格紙中畫出以線段為一邊的平行四邊形（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形的面積為4．連接，請直接寫出線段的長．
【答案】
（1）如圖
（2）如圖，

23.（2022龍東地區(qū)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．

（1）將先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點的坐標；
（2）畫出繞點順時針旋轉90°后得到，并寫出點的坐標；
（3）在（2）的條件下，求點旋轉到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結果保留）．
【答案】
（1）解：如圖所示△A1B1C1即為所求，


；
（2）如圖所示△A2B2C2即為所求，；
（3）∵
∴點旋轉到點所經(jīng)過的路徑長為．
24.（2022貴陽）如圖，在正方形中，為上一點，連接，的垂直平分線交于點，交于點，垂足為，點在上，且．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】
（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四邊形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分線，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）連接ME，如圖，


∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根據(jù)（1）中全等的結論可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分線，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的長為：．
25.（2022銅仁）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．

（1）求證：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF長．
【答案】
（1）證明：連接OD，如圖1，

∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA=∠C．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
∴∠A=∠C．
∴AB=BC；
（2）解：連接BD，則∠ADB=90°，如圖2，

在Rt△ABD中，
∵sinA==，AB=18，
∴BD=6．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB．
∴sin∠A=sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF==，
∴BF=2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴=．即：=．
解得：BE=．
∴EF=．
26.（2022遵義）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點與頂點重合，菱形的對角線經(jīng)過點，點，分別在，上．

（1）求證：；
（2）若，求的長．
【答案】
（1）證明：正方形和菱形，
，
在與中

（）
（2）如圖，連接交于點，


，
，
在中，
，
，
中，，
，
在中，，
，
，
．
27.（2022大慶）如圖，已知是外接圓的直徑，．點D為外的一點，．點E為中點，弦過點E．．連接．

（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）當時，求弦的長．
【答案】
（1）解：∵BC是△ABC外接圓⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵ OC 是 OO 的半徑，
∴CD 是 OO 的切線；
（2）如下圖，連接AF、CG，

∴∠AFE=∠ECG，
∵∠AEF=∠CEG，
∴△FEA∽△CEG，
∴，
∵點E為AC中點，
∴AE=CE，
∵EF=2EG，
∴，
∴CE2=2EG2，
∵∠BAC=90°，點E為AC中點，
∴EOAB，
∴∠OEC=90°，
∴OC2-OE2=EC2，
∴OC2-OE2=2EG2，
∴（OC+OE）（OC?OE）=EG?EF；
（3）作ON⊥FG，延長FG交線段于點W，


∵BC=16，
∴OC=8，
∵FGBC，
∴四邊形ONWC為矩形，
∵EF=2EG，
∴FG=3EG，
∴NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG，
由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，
∴CE2=2EG2，
∴OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-EG2，EW2=（8-0.5EG）2，
∴（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，
解得EG=，
∴FG=3EG=．
28.（2022黔東南）（1）請在圖中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于點．

①求證：；
②若，，求的半徑．
【答案】（1）如下圖所示

∵的外接圓的圓心為任意兩邊的垂直平分線的交點，半徑為交點到任意頂點的距離，
∴做AB、AC垂直平分線交于點O，以OB為半徑，以O為圓心做圓即可得到的外接圓；
（2）
①如下圖所示，連接OC、OB

∵BD是的切線
∴
∵是對應的圓周角，是對應的圓心角
∴
∵點是的中點
∴
∴
∴
∴
∴
②如下圖所示，連接CE

∵與是對應的圓周角
∴
∵是的直徑
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半徑為．
29.（2022河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．

（1）求∠C的大小及AB的長；
（2）請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）
【答案】
（1）解：∵水面截線
，
，
，
在中，，，
，
解得．
（2）過點作，交MN于D點，交半圓于H點，連接OM，過點M作MG⊥OB于G，如圖所示：

水面截線，，
，，
為最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深約為米．
30.（2022貴陽）小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．
如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．

（1）問題解決：
如圖①，當，將沿翻折后，使點與點重合，則______；
（2）問題探究：
如圖②，當，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；
（3）拓展延伸：
當，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．
【答案】
（1），
是等邊三角形，

四邊形平行四邊形，
，
，
為邊上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則
點在邊上，
當時，取得最小值，最小值為；
（3）如圖，連接，

，則，
設， 則，，
折疊，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延長交于點，如圖，

，
，
，
，
，
在中，，
，
．
31.（2022哈爾濱）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個點，連接，點D，點E分別是半徑的中點，連接，且．

（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，延長交于點F，若，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G是上一點，連接，若，，求的長．
【答案】
（1）如圖1．∵點D，點E分別是半徑的中點

∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）如圖2．∵，
∴

由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）如圖3．∵，
∴
∴

連接．∵
∴，
∴，
∵
設，
∴
在上取點M，使得，連接
∵，
∴
∴，
∴為等邊三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
過點H作于點N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
32.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
【答案】
（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．

（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；

②連結BD，
∵△AGC為直角三角形，，
∴AC=，
∴四邊形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．

33.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當點P到達點D后立刻繞點D逆時針旋轉（圖3），當邊PM旋轉50°時停止．
①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉結束，求邊PQ掃過的面積；
②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內的時長；
③如圖3．在△PQM旋轉過程中，設PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
則在四邊形中

故四邊形為矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①過點Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移掃過面積：
旋轉掃過面積：
故邊PQ掃過的面積：
②運動分兩個階段：平移和旋轉
平移階段：


旋轉階段：
由線段長度得：
取剛開始旋轉狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長DK與圓相交于點G，連接GH，GM，過點G作于T

設，則
在中：


設，則，，
，，
∵DM為直徑
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ轉過的角度：
s
總時間：
③設CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
當旋轉角＜30°時，DE在DH的左側，如圖：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
當旋轉角≥30°時，DE在DH上或右側，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得


綜上所述：．
34.（2022河南）綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．

（1）操作判斷
操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．
（2）遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．
①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關系，并說明理由．
（3）拓展應用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．
【答案】
（1）解：






（2）∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折疊性質得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴



②


（3）
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
設
，
即
解得：
∴



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