?2022年中考數(shù)學真題綜合練習：三角形
一、選擇題
1.（2022甘肅武威）若，，，則（ ）
A. B. C. D.
2.（2022海南）如圖，直線，是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交于點E，交于點F，若，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
3.（2022廣東）如圖，在中，，點D，E分別為，的中點，則（ ）

A. B. C. 1 D. 2
4.（2022海南）如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N，分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P，畫射線，交于點D，若，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
5.（2022云南）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設(shè)ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（ ）


A. B. C. D.
6.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
7.（2022云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF若添加下列條件中的某一個．就能使DOEFOE，你認為要添加的那個條件是（ ）

A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
8.（2022福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
9.（2022百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（ ）

A. B. C. 或 D. 或
10.（2022北部灣）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11.（2022貴港）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（ ）

A. B. C. D.
12.（2022安徽）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（ ）
A. B. C. D.
13.（2022貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（ ）

A. B. C. D.
14.（2022北部灣）如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長交AB于點D，當時，的長是（ ）

A. B. C. D.
二、填空題
15.（2022福建）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．若BC＝12，則DE的長為______．

16.（2022北京）如圖，在中，平分若則____．

17.（2022甘肅武威）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于點G，若G是EF的中點，則BG的長為____________cm．

18.（2022海南）如圖，正方形中，點E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．

19.（2022貴港）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角得到，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是______．

20.（2022百色）數(shù)學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．

21.（2022北部灣）如圖，在正方形ABCD中，，對角線相交于點O．點E是對角線AC上一點，連接BE，過點E作，分別交于點F、G，連接BF，交AC于點H，將沿EF翻折，點H的對應(yīng)點恰好落在BD上，得到若點F為CD的中點，則的周長是_________．

22.（2022安徽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，請完成下列問題：
（1）________°；
（2）若，，則________．

三、解答題
23.（2022安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．

（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到，請畫出．


24.（2022廣東）如圖，已知，點P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．



25.（2022福建）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．



26.（2022百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

（1）求證：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面積．


27.（2022北部灣）如圖，在中，BD是它的一條對角線，

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）連接BE，若，求的度數(shù)．


28.（2022北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，
已知：如圖，,
求證：
方法一
證明：如圖，過點A作

方法二
證明：如圖，過點C作



29.（2022安徽）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．



30.（2022海南）無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．

（1）填空：___________度，___________度；
（2）求樓的高度（結(jié)果保留根號）；
（3）求此時無人機距離地面的高度．


31.（2022甘肅武威）灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水繞長安，繞灞陵，為玉石欄桿灞陵橋”之語，得名灞陵橋（圖1），該橋為全國獨一無二的純木質(zhì)疊梁拱橋．某綜合實踐研究小組開展了測量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實踐活動，過程如下：
方案設(shè)計：如圖2，點C為橋拱梁頂部（最高點），在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAF和∠CBF的度數(shù)（A，B，D，F(xiàn)在同一條直線上），河邊D處測得地面AD到水面EG的距離DE（C，F(xiàn)，G在同一條直線上，DF∥EG，CG⊥AF，F(xiàn)G=DE）．
數(shù)據(jù)收集：實地測量地面上A，B兩點的距離為8.8m，地面到水面的距離DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
問題解決：求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．



32.（2022云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．


33.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．


34.（2022安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．

（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大??；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．


35.（2022北部灣）已知，點A，B分別在射線上運動，．

（1）如圖①，若，取AB中點D，點A，B運動時，點D也隨之運動，點A，B，D的對應(yīng)點分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：
（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點O與點C的最大距離：
（3）如圖③，若，當點A，B運動到什么位置時，的面積最大?請說明理由，并求出面積的最大值．


36.（2022貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．

（1）如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；
（2）若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．
①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；
②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．


37.（2022北京）在中，，D為內(nèi)一點，連接，延長到點，使得

（1）如圖1，延長到點，使得，連接，若，求證：；
（2）連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．


38.（2022甘肅武威）已知正方形，為對角線上一點．

（1）【建立模型】如圖1，連接，．求證：；
（2）【模型應(yīng)用】如圖2，是延長線上一點，，交于點．
①判斷的形狀并說明理由；
②若為的中點，且，求的長．
（3）【模型遷移】如圖3，是延長線上一點，，交于點，．求證：．


39.（2022海南）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．

（1）當點P是的中點時，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長的最小值；
③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2022年中考數(shù)學真題綜合練習：三角形參考答案
一、選擇題
1.（2022甘肅武威）若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：∵
∴
，，

故選D
2.（2022海南）如圖，直線，是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交于點E，交于點F，若，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：∵是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵，
∴∠2=∠BEF=100°．
故選：B
3.（2022廣東）如圖，在中，，點D，E分別為，的中點，則（ ）

A. B. C. 1 D. 2
【答案】∵D、E分比為AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故選：D．
4.（2022海南）如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N，分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P，畫射線，交于點D，若，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】由作法得BD平分∠ABC，
∴
設(shè)
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故選：A
5.（2022云南）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設(shè)ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（ ）


A. B. C. D.
【答案】解：∵D、E分別為線段BC、BA的中點，
∴，
又∵，
∴，相似比為，
∴，
故選：B．
6.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
【答案】解：依題意為平行四邊形，
∵，，AB＝8，．

∴平行四邊形的面積=
故選B
7.（2022云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點，D、E、F與O點都不重合，連接ED、EF若添加下列條件中的某一個．就能使DOEFOE，你認為要添加的那個條件是（ ）

A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
【答案】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
當△DOE≌△FOE時，可得以下結(jié)論：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD與OE不是△DOE≌△FOE的對應(yīng)邊，A不正確；
B答案中OE與OF不是△DOE≌△FOE的對應(yīng)邊，B不正確；
C答案中，∠ODE與∠OED不是△DOE≌△FOE的對應(yīng)角，C不正確；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，

∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正確．
故選：D．
8.（2022福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
【答案】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，
∴．
∵AD為BC邊上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm．
故選：B．
9.（2022百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（ ）

A. B. C. 或 D. 或
【答案】如圖，當△ABC是一個直角三角形時，即，

，
；
如圖，當△AB1C是一個鈍角三角形時，

過點C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為或，
故選：C．
10.（2022北部灣）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故選：A．
11.（2022貴港）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹高度，在點A處測得樹頂C的仰角為，在點B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故選A．
12.（2022安徽）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：如圖，

，，
∴
=
=
=
==，
∴，
設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，
則，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等邊三角形，
∴，
，
∴點P在平行于AB，且到AB的距離等于的直線上，
∴當點P在CO的延長線上時，OP取得最小值，
過O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故選B．
13.（2022貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，

∵每個小正方形的邊長為1，
∴，
設(shè)，則，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故選：C．
14.（2022北部灣）如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長交AB于點D，當時，的長是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：，
，
是繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的長=，
故選：B．
二、填空題
15.（2022福建）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．若BC＝12，則DE的長為______．

【答案】∵D，E分別是AB，AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
又BC=12，
∴，
故答案：6．
16.（2022北京）如圖，在中，平分若則____．

【答案】解：如圖，作于點F，

∵平分，，，
∴，
∴．
故答案為：1．
17.（2022甘肅武威）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于點G，若G是EF的中點，則BG的長為____________cm．

【答案】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），
∵G是EF的中點，
∴EG=BG=EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴，
∴，
∴BF=6，
∴EF=（cm），
∴BG=EF=（cm），
故答案為：．
18.（2022海南）如圖，正方形中，點E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．

【答案】∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
設(shè)
∴
∴



∵的面積等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案為：60；．
19.（2022貴港）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角得到，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是______．

【答案】解：根據(jù)題意，
∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，
∴，
∴；
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是50°；
故答案為：50°．
20.（2022百色）數(shù)學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．

【答案】解：設(shè)旗桿為AB，如圖所示：

根據(jù)題意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案：12．
21.（2022北部灣）如圖，在正方形ABCD中，，對角線相交于點O．點E是對角線AC上一點，連接BE，過點E作，分別交于點F、G，連接BF，交AC于點H，將沿EF翻折，點H的對應(yīng)點恰好落在BD上，得到若點F為CD的中點，則的周長是_________．

【答案】解：過點E作PQAD交AB于點P，交DC于點Q，

∵ADPQ，
∴AP=DQ，，
∴BP=CQ，
∵，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴，
在與中

∴≌，
∴BE=EF，
又∵，F(xiàn)為中點，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵ABFC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴EH=AH-AE=，
∵，
，
∴，
又∵，
∴
∴，
，
∴EG=，OG=1，
過點F作FM⊥AC 于點M，
∴FM=MC==，
∴MH=CH-MC=，
作FN⊥OD于點N，
，
在Rt與Rt中

∴Rt≌Rt
∴，
∴ON=2，NG=1，
∴，
∴，
故答案為：．
22.（2022安徽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，請完成下列問題：
（1）________°；
（2）若，，則________．

【答案】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD

∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如圖，作FH⊥CD于H，

∴∠FHD=90°
∴四邊形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴AGFH,
∴，
∴DM=，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+=．
故填： ．
三、解答題
23.（2022安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．

（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到，請畫出．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平移的方式確定出點A1，B1，C1的位置，再順次連接即可得到；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得出確定出點A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到．
（1）如圖，即為所作；

（2）如圖，即為所作；

24.（2022廣東）如圖，已知，點P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．

【答案】證明：∵，
∴為的角平分線，
又∵點P在上，，，
∴，，
又∵（公共邊），
∴．
25.（2022福建）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．

【答案】證明：∵BF＝EC，
∴，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴∠A＝∠D．
26.（2022百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

（1）求證：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面積．
【答案】
（1）在和中，

，
；
（2）
過點A作AE⊥BC于點E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面積，
所以，草坪造型的面積為．
27.（2022北部灣）如圖，在中，BD是它的一條對角線，

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）連接BE，若，求的度數(shù)．
【答案】
（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，

（2）如圖，EF即為所求；

（3） BD的垂直平分線為EF，
，
，
，
，
．
28.（2022北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，
已知：如圖，,
求證：
方法一
證明：如圖，過點A作

方法二
證明：如圖，過點C作

【答案】證明：過點作，
則，． 兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
點，，在同一條直線上，
．（平角的定義）
．
即三角形的內(nèi)角和為．
29.（2022安徽）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．

【答案】解：∵A，B均在C的北偏東37°方向上，A在D的正北方向，且點D在點C的正東方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B兩點間的距離為96米．
30.（2022海南）無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．

（1）填空：___________度，___________度；
（2）求樓的高度（結(jié)果保留根號）；
（3）求此時無人機距離地面的高度．
【答案】
（1）過點A作于點E，

由題意得：
∴

（2）由題意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴樓的高度為米．
（3）作于點G，交于點F，

則
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴無人機距離地面的高度為110米．
31.（2022甘肅武威）灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水繞長安，繞灞陵，為玉石欄桿灞陵橋”之語，得名灞陵橋（圖1），該橋為全國獨一無二的純木質(zhì)疊梁拱橋．某綜合實踐研究小組開展了測量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實踐活動，過程如下：
方案設(shè)計：如圖2，點C為橋拱梁頂部（最高點），在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAF和∠CBF的度數(shù)（A，B，D，F(xiàn)在同一條直線上），河邊D處測得地面AD到水面EG的距離DE（C，F(xiàn)，G在同一條直線上，DF∥EG，CG⊥AF，F(xiàn)G=DE）．
數(shù)據(jù)收集：實地測量地面上A，B兩點的距離為8.8m，地面到水面的距離DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
問題解決：求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．

【答案】解：設(shè)BF=x m，
由題意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF?tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°= ≈0.5，
∴x=22，
經(jīng)檢驗：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG約為16.9m．
32.（2022云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．
【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E為線段AD的中點，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
33.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．
【答案】
（1）∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
又∵AB＝AC，
∴四邊形ABDC是菱形；
（2）結(jié)論：．
證明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，則，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
34.（2022安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．

（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．
（?。┣蟆螩ED的大??；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
【答案】
（1）證明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴四邊形BCDE為菱形．

（2）根據(jù)解析（1）可知，BO=DO，


∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）連接EF，


∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵




∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
35.（2022北部灣）已知，點A，B分別在射線上運動，．

（1）如圖①，若，取AB中點D，點A，B運動時，點D也隨之運動，點A，B，D的對應(yīng)點分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：
（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點O與點C的最大距離：
（3）如圖③，若，當點A，B運動到什么位置時，的面積最大?請說明理由，并求出面積的最大值．
【答案】
（1），證明如下：
，AB中點為D，
，
為的中點，，
，
，
；
（2）如圖，取AB中點T，連接OT、CT、OC，

以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，
，
（當且僅當點T在線段OC上時，等號成立），
當O、T、C在同一直線上時，CO最大，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
；
（3）如圖，當點A，B運動到時，的面積最大，證明如下：
以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點T，在OT上取點E，使OE=BE，連接BE，

由（2）可知，當時，OC最大，，
當時，，
此時OT最大，
的面積最大，
，
，




，


綜上，當點A，B運動到時，的面積最大，面積的最大值為．
36.（2022貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．

（1）如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；
（2）若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．
①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；
②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．
【答案】
（1）解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四邊形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形狀為等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案為：等腰三角形，．
（2）①過點E作于點H，如圖所示：

∵AC，BD均是直線l的垂線段，
∴，
∵是等邊三角形，且與重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，則，
∴在中，由勾股定理得：．
②連接，如圖3所示：

∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等邊三角形，
又∵是等邊三角形，
∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
37.（2022北京）在中，，D為內(nèi)一點，連接，延長到點，使得

（1）如圖1，延長到點，使得，連接，若，求證：；
（2）連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】
（1）證明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：補全后的圖形如圖所示，，證明如下：

延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
38.（2022甘肅武威）已知正方形，為對角線上一點．

（1）【建立模型】如圖1，連接，．求證：；
（2）【模型應(yīng)用】如圖2，是延長線上一點，，交于點．
①判斷的形狀并說明理由；
②若為的中點，且，求的長．
（3）【模型遷移】如圖3，是延長線上一點，，交于點，．求證：．
【答案】
（1））證明：∵四邊形為正方形，為對角線，
∴，.
∵，
∴，
∴.
（2）①為等腰三角形.理由如下：
∵四邊形為正方形，
∴，
∴.
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴為等腰三角形.
②如圖1，過點作，垂足為.
∵四邊形為正方形，點為的中點，，
∴，.
由①知，
∴，
∴.
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴.
在中，.

（3）如圖2，∵，
∴.
在中，，
∴.
由（1）得，
由（2）得，
∴.

39.（2022海南）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．

（1）當點P是的中點時，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長的最小值；
③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】
（1）解：如圖9-1，在矩形中，，


即，
∴．
∵點P是的中點，
∴．
∴．
（2）①證明：如圖9-2，在矩形中，，


∴．
由折疊可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵點P是的中點，
∴．
由折疊可知，．
設(shè)，則．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如圖9-3，由折疊可知，．


∴．
由兩點之間線段最短可知，
當點恰好位于對角線上時，最?。?br /> 連接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：與的數(shù)量關(guān)系是．
理由是：如圖9-4，由折疊可知．


過點作，交于點M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴點H是中點．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵點G為中點，點H是中點，
∴．
∴．
∴．
∴．



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