?2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：平移與旋轉(zhuǎn)

1.（2022百色）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A. 平行四邊形 B. 等腰梯形
C. 正三角形 D. 圓
2.（2022北部灣）2022北京冬殘奧會的會徽是以漢字“飛”為靈感來設(shè)計的，展現(xiàn)了運動員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵世界的冬殘奧精神下列的四個圖中，能由如圖所示的會徽經(jīng)過平移得到的是（ ）

A. B. C. D.
3.（2022畢節(jié)）下列垃圾分類標(biāo)識的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2022廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
5.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
6.（2022海南）如圖，點，將線段平移得到線段，若，則點的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.
7.（2022百色）如圖，在△ABC中，點A（3，1），B（1，2），將△ABC向左平移2個單位，再向上平移1個單位，則點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)為（ ）

A. （3，-3） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3）
8.（2022銅仁）如圖，等邊、等邊的邊長分別為3和2．開始時點A與點D重合，在上，在上，沿向右平移，當(dāng)點D到達點B時停止．在此過程中，設(shè)、重合部分的面積為y，移動的距離為x，則y與x的函數(shù)圖象大致為（ ）


A. B.
C. D.
9.（2022北部灣）如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長交AB于點D，當(dāng)時，的長是（ ）


A. B. C. D.
10.（2022玉林）小嘉說：將二次函數(shù)的圖象平移或翻折后經(jīng)過點有4種方法：
①向右平移2個單位長度 ②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度
③向下平移4個單位長度 ④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度
你認為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
11.（2022河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（ ）

A. B. C. D.
12.（2022貴港）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角得到，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是______．


13.（2022黔東南）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是_______．
14.（2022河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，連接AQ，DQ．當(dāng)∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．

15.（2022河南）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點處，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為______．

16.（2022賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點的坐標(biāo)為__________．


17.（2022畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點；…；按此做法進行下去，則點的坐標(biāo)為_________．


18.（2022安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．

（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到，請畫出．


19.（2022河北）如圖，點在拋物線C：上，且在C的對稱軸右側(cè)．

（1）寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；
（2）坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為，．平移該膠片，使所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為．求點移動的最短路程．


20.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．


21.（2022北部灣）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．


（1）求點A，點B的坐標(biāo)；
（2）如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)時，求m的值；
（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．


22.（2022梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點C的坐標(biāo)是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．
①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；
②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標(biāo)．


23.（2022貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．

（1）如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；
（2）若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．
①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；
②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．


24.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關(guān)于點的對稱點為，稱點為點的“對應(yīng)點”．
（1）如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應(yīng)點”．

①在圖中畫出點；
②連接交線段于點求證：
（2）的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應(yīng)點”，連接當(dāng)點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）


25.（2022畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．

（1）求拋物線的表達式；
（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；
（3）M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


26.（2022黔東南）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為點，交直線于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


27.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點P到達點D后立刻繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．
①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；
②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；
③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：平移與旋轉(zhuǎn)參考答案
1.（2022百色）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A. 平行四邊形 B. 等腰梯形
C. 正三角形 D. 圓
【答案】A．平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
B．等腰梯形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C．正三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D．圓是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項正確．
故選：D．
2.（2022北部灣）2022北京冬殘奧會的會徽是以漢字“飛”為靈感來設(shè)計的，展現(xiàn)了運動員不斷飛躍，超越自我，奮力拼搏，激勵世界的冬殘奧精神下列的四個圖中，能由如圖所示的會徽經(jīng)過平移得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】根據(jù)題意，得
不能由平移得到，
故A不符合題意；
不能由平移得到，
故B不符合題意；
不能由平移得到，
故C不符合題意；
能由平移得到，
故D符合題意；
故選D．
3.（2022畢節(jié)）下列垃圾分類標(biāo)識的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意，
故選：C．
4.（2022廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：點向右平移2個單位長度后得到的點的坐標(biāo)為．
故選A．
5.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
【答案】解：依題意為平行四邊形，
∵，，AB＝8，．

∴平行四邊形的面積=
故選B
6.（2022海南）如圖，點，將線段平移得到線段，若，則點的坐標(biāo)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
7.（2022百色）如圖，在△ABC中，點A（3，1），B（1，2），將△ABC向左平移2個單位，再向上平移1個單位，則點B的對應(yīng)點B′的坐標(biāo)為（ ）

A. （3，-3） B. （3，3） C. （－1，1） D. （－1，3）
【答案】解：根據(jù)圖形平移的性質(zhì)，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；
故選：D．
8.（2022銅仁）如圖，等邊、等邊的邊長分別為3和2．開始時點A與點D重合，在上，在上，沿向右平移，當(dāng)點D到達點B時停止．在此過程中，設(shè)、重合部分的面積為y，移動的距離為x，則y與x的函數(shù)圖象大致為（ ）


A. B.
C. D.
【答案】如下圖所示，當(dāng)E和B重合時，AD=AB-DB=3-2=1，

∴ 當(dāng)移動的距離為時，在內(nèi)，，
當(dāng)E在B的右邊時，如下圖所示，設(shè)移動過程中DF與CB交于點N，過點N坐NM垂直于AE，垂足為M，

根據(jù)題意得AD=x，AB=3,
∴DB=AB-AD=3-x，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，是一個關(guān)于的二次函數(shù)，且開口向上，
∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故選：C．
9.（2022北部灣）如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長交AB于點D，當(dāng)時，的長是（ ）


A. B. C. D.
【答案】解：，
，
是繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的長=，
故選：B．
10.（2022玉林）小嘉說：將二次函數(shù)的圖象平移或翻折后經(jīng)過點有4種方法：
①向右平移2個單位長度 ②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度
③向下平移4個單位長度 ④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度
你認為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】解：①將二次函數(shù)向右平移2個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
②將二次函數(shù)向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
③將二次函數(shù)向下平移4個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
④將二次函數(shù)沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度得到：，把點代入得：，所以該平移方式符合題意；
綜上所述：正確的個數(shù)為4個；
故選D．
11.（2022河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：正六邊形ABCDEF邊長為2，中心與原點O重合，軸，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（，-1）；
第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（-1，）；
第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（，1）；
第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A坐標(biāo)為（1，）；
∵將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴4次一個循環(huán)，
∵2022÷4＝505……2，
∴經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，點A的坐標(biāo)為（-1，），
故選：B
12.（2022貴港）如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角得到，點B的對應(yīng)點D恰好落在邊上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是______．


【答案】解：根據(jù)題意，
∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，
∴，
∴；
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是50°；
故答案為：50°．
13.（2022黔東南）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是_______．
【答案】解：∵，
∴拋物線的頂點為（-1，-2），
將拋物線先繞原點旋轉(zhuǎn)180°拋物線頂點為（1，2），
旋轉(zhuǎn)后的拋物線為，
再向下平移5個單位，即．
∴新拋物線的頂點（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
14.（2022河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，連接AQ，DQ．當(dāng)∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．

【答案】如圖，連接，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根據(jù)題意可得，當(dāng)∠ADQ＝90°時，點在上，且，
，
在中，，
故答案為：．
15.（2022河南）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點處，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為______．

【答案】如圖，設(shè)與扇形交于點，連接，如圖

是OB的中點
, OA＝2，
＝90°，將扇形AOB沿OB方向平移，




陰影部分的面積為



故答案為：
16.（2022賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點的坐標(biāo)為__________．


【答案】過B作于，過作軸于，


∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
17.（2022畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點；…；按此做法進行下去，則點的坐標(biāo)為_________．

【答案】解：∵把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點，
∴第n次變換時，相當(dāng)于把點的坐標(biāo)向右或向左平移n個單位長度，再向右或向上平移n個單位長度得到下一個點，
∵O到A1是向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度，A1到A2是向左2個單位長度，向上平移2個單位長度，A2到A3是向左平移3個單位長度，向下平移3個單位長度，A3到A4是向右平移4個單位長度，向下平移4個單位長度，A4到A5是向右平移5個單位長度，向上平移5個單位長度，
∴可以看作每四次坐標(biāo)變換為一個循環(huán)，每一個循環(huán)里面橫坐標(biāo)不發(fā)生變化，縱坐標(biāo)向下平移4個單位長度，
∴點A8的坐標(biāo)為（0，-8），
∴點A8到A9的平移方式與O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9個單位，向上平移9個單位，
∴A9的坐標(biāo)為（9，1），
同理A9到A10的平移方式與A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10個單位，向上平移10個單位，
∴A10的坐標(biāo)為（-1，11），
故答案為：（-1，11）．
18.（2022安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．

（1）將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔
（2）以邊AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到，請畫出．
【答案】
（1）如圖，即為所作；
（2）如圖，即為所作；

19.（2022河北）如圖，點在拋物線C：上，且在C的對稱軸右側(cè)．

（1）寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；
（2）坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為，．平移該膠片，使所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為．求點移動的最短路程．
【答案】
（1），
∴對稱軸為直線，
∵，
∴拋物線開口向下，有最大值，即的最大值為4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵點在C的對稱軸右側(cè)，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3個單位，再向下平移4個單位得到，
平移距離為，
∴移動的最短路程為5．
20.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．
【答案】
（1）∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
又∵AB＝AC，
∴四邊形ABDC是菱形；
（2）結(jié)論：．
證明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，則，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
21.（2022北部灣）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．


（1）求點A，點B的坐標(biāo)；
（2）如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)時，求m的值；
（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】
（1）解：拋物線解析式，令，
可得，
解得，，
故點A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0）；
（2）對于拋物線，其對稱軸為，
∵點P為拋物線對稱軸上的一點，且點P的縱坐標(biāo)為m，
∴P（1，m），
將直線l與拋物線解析式聯(lián)立，可得
，可解得 或，
故點C坐標(biāo)為（4，-5），
∴，
，
當(dāng)時，可得，
解得；
（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，
結(jié)合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令，整理可得，
其判別式為，
①當(dāng)時，解得，此時拋物線與線段MN只有一個交點；
②當(dāng)即時，解方程，
可得，
即，，
若時，如圖1，
由，可解得，


此時有，且，
解得；
②當(dāng)時，如圖2，
由，可解得，



此時有，且，
解得；
綜上所述，當(dāng)拋物線與線段MN只有一個交點時，a的取值范圍為或或．
22.（2022梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點C的坐標(biāo)是，將繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點A的對應(yīng)點是點E．
①寫出點E的坐標(biāo)，并判斷點E是否在此拋物線上；
②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標(biāo)．
【答案】
（1）解：當(dāng)x=0時，y=-4，
當(dāng)y=0時，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入拋物線，
得，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x軸的距離為6-3=3，
∴點E的坐標(biāo)為（6，3），
當(dāng)x=3時，，
∴點E在拋物線上；
②過點P作PQ⊥AB于Q，

又∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠PQB，
在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，
∴△ABO∽△PBQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)P，E，Q三點共線，且EP⊥AB時，取最小值，
∵EP⊥AB，
∴設(shè)直線EP解析式為，
又E（6，0），
∴，
∴，
∴直線EP解析式為，
當(dāng)x=0時，y=，
∴點P坐標(biāo)為（0，）．
23.（2022貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．

（1）如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；
（2）若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．
①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；
②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．
【答案】
（1）解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四邊形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形狀為等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案為：等腰三角形，．
（2）①過點E作于點H，如圖所示：

∵AC，BD均是直線l的垂線段，
∴，
∵是等邊三角形，且與重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，則，
∴在中，由勾股定理得：．
②連接，如圖3所示：

∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等邊三角形，
又∵是等邊三角形，
∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
24.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點對于點給出如下定義：將點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，點關(guān)于點的對稱點為，稱點為點的“對應(yīng)點”．
（1）如圖，點點在線段的延長線上，若點點為點的“對應(yīng)點”．

①在圖中畫出點；
②連接交線段于點求證：
（2）的半徑為1，是上一點，點在線段上，且，若為外一點，點為點的“對應(yīng)點”，連接當(dāng)點在上運動時直接寫出長的最大值與最小值的差（用含的式子表示）
【答案】
（1）解：①點Q如下圖所示．
∵點，
∴點向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，
∴，
∵點關(guān)于點的對稱點為，，
∴點的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，
∴點，在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點即可；

②證明：如圖延長ON至點，連接AQ，
∵ ，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示，

連接PO并延長至S，使，延長SQ至T，使，
∵，點向右或向左平移個單位長度，再向上或向下平移個單位長度，得到點，
∴，
∵點關(guān)于點的對稱點為，
∴，
又∵，
∴OM∥ST，
∴NM為的中位線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
結(jié)合題意，，，
∴，
即長的最大值與最小值的差為．
25.（2022畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．

（1）求拋物線的表達式；
（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；
（3）M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】
（1）解：由可知，
解得：，
∴
（2）分別令中，得，，；
設(shè)BC的表達式為：，
將，代入得，
解得：；
∴BC的表達式為：；
拋物線平移后的表達式為：，
根據(jù)題意得，，即，
∵該拋物線與直線始終有交點，
∴，
∴，
∴h的最大值為；
（3）存在，理由如下：
將代入中得，
∵四邊形DEMN是平行四邊形，
∴
設(shè)，
當(dāng)時，解得：（舍去），
∴
當(dāng)時，解得：，
∴或，
綜上，點N的坐標(biāo)為：或或．
26.（2022黔東南）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為點，交直線于點，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】
（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，解得：a=-1，
∵拋物線過點，
∴，解得：c=3，
∴拋物線解析式為；
（2）解：存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，則，
解得：，
∴點A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OA=1，
當(dāng)x=0時，y=3，
∴點C的坐標(biāo)為（0，3），即OC=3，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
當(dāng)AC=AN時，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此時點N（2，1）；
當(dāng)AC=CN時，，
解得：或（舍去），
∴此時點N；
當(dāng)AN=CN時，，
解得：，
∴此時點N；
綜上所述，存在這樣的點（2，1）或或，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵點B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
設(shè)點E（1，n），點F（s，t），
當(dāng)BC為邊時，點C向右平移3個單位向下平移3個單位得到點B，同樣E（F）向右平移3個單位向下平移3個單位得到點F（E），且BE=CF（CE=BF），如圖，


∴或，
解得：或，
∴此時點F的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）；
當(dāng)BC為對角線時，BC=EF，且EF與BC的中點重合，如圖，


，解得：或，
∴此時點F的坐標(biāo)為或；
綜上所述，存在點坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或．
27.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點P到達點D后立刻繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．
①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；
②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；
③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
則在四邊形中

故四邊形為矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①過點Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移掃過面積：
旋轉(zhuǎn)掃過面積：
故邊PQ掃過的面積：
②運動分兩個階段：平移和旋轉(zhuǎn)
平移階段：


旋轉(zhuǎn)階段：
由線段長度得：
取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長DK與圓相交于點G，連接GH，GM，過點G作于T

設(shè)，則
在中：


設(shè)，則，，
，，
∵DM為直徑
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ轉(zhuǎn)過的角度：
s
總時間：
③設(shè)CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時，DE在DH的左側(cè)，如圖：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時，DE在DH上或右側(cè)，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得


綜上所述：．



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