?2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：動(dòng)態(tài)問(wèn)題

1.（2022大慶）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，滿足．點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
2.（2022十堰）如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
3.（2022齊齊哈爾）如圖①所示（圖中各角均為直角)，動(dòng)點(diǎn)Р從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C→D→E路線勻速運(yùn)動(dòng)，△AFP的面積y隨點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. AF=5 B. AB=4 C. DE=3 D. EF=8
4.（2022恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 當(dāng)時(shí)，四邊形ABMP為矩形
B. 當(dāng)時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 當(dāng)時(shí)，或6s
5.（2022鄂州）如圖，定直線MNPQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ=60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+CD的最小值為（ ）

A. 24 B. 24 C. 12 D. 12
6.（2022江漢油田、潛江、天門(mén)、仙桃）如圖，邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形，其中有一條邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過(guò)大正方形，設(shè)穿過(guò)的時(shí)間為t，大正方形的面積為，小正方形與大正方形重疊部分的面積為，若，則S隨t變化的函數(shù)圖象大致為（ ）

A. B.
C. D.
7.（2022綏化）如圖，在矩形中，P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)B作射線，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊于點(diǎn)M，且使得，如果，，，，其中．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，．

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
8.（2022大慶）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)___________．

9.（2022龍東地區(qū)）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在邊CD上，且，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
10.（2022黃岡、孝感、咸寧）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止．若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），AP的長(zhǎng)度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，t的值為_(kāi)_______．

11.（2022龍東地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．

12.（2022河北）如圖，點(diǎn)在拋物線C：上，且在C的對(duì)稱軸右側(cè)．

（1）寫(xiě)出C的對(duì)稱軸和y的最大值，并求a的值；
（2）坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫(huà)出點(diǎn)P及C的一段，分別記為，．平移該膠片，使所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為．求點(diǎn)移動(dòng)的最短路程．


13.（2022河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過(guò)切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．

（1）求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測(cè)得．已知鐵環(huán)⊙O的半經(jīng)為25cm，推桿AB的長(zhǎng)為75cm，求此時(shí)AD的長(zhǎng)．


14.（2022綏化）如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作于點(diǎn)P，交于另一點(diǎn)B，C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，M重合），射線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，分別連接和，交于點(diǎn)E．

（1）求證：．
（2）若，，求的長(zhǎng)．
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求的值．


15.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著B(niǎo)C方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時(shí)停止．
①邊PQ從平移開(kāi)始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；
②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；
③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)（用含d的式子表示）．


16.（2022哈爾濱）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求a，b的值；
（2）如圖1，點(diǎn)D在該拋物線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)D向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)F在上，過(guò)點(diǎn)F向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)H，連接交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線與過(guò)點(diǎn)P所作的x軸的平行線相交于點(diǎn)N，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，點(diǎn)R在上，連接，若，，求直線的解析式．


17.（2022綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接，的面積為．

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；
（3）若C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．


18.（2022龍東地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，M為BC的中點(diǎn)，OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


19.（2022齊齊哈爾）綜合與探究
如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
（3）點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長(zhǎng)度最大值；
（4）在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．


20.（2022綏化）如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，，.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過(guò)點(diǎn)E作于F，以為對(duì)角線作正方形．
　　
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


21.（2022十堰）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，重合），作軸，垂足為，連接．
①如圖1，若點(diǎn)在第三象限，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②直線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在軸上時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng)．


22.（2022鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠POB=45°，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，當(dāng)PA'⊥OB時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出OG的最小值和此時(shí)線段FP掃過(guò)的面積．


23.（2022江漢油田、潛江、天門(mén)、仙桃）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，線段軸，交該拋物線于另一點(diǎn)B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的解析式：
（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量x滿足時(shí)，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且．求m的值：
（3）平移拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值范圍．


24.（2022荊州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)O是邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OD，將△OAD沿OD折疊，得到△OED；再以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線AB于G，連接AE并延長(zhǎng)交射線BC于F，連接EG，設(shè)OA＝x．

（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E落在BD下方時(shí)，設(shè)△AGE與△AFB面積的比值為y，確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫(xiě)出：當(dāng)半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x的取值范圍．


25.（2022隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸分則點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，且，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．


26.（2022黃岡、孝感、咸寧）拋物線y＝x2－4x與直線y＝x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點(diǎn)E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：動(dòng)態(tài)問(wèn)題參考答案
1.（2022大慶）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，滿足．點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
【答案】解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∵，
∴，（，） ，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
∴此時(shí)點(diǎn)Q在一條線段上運(yùn)動(dòng)，線段的一個(gè)端點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（-4，0），另一端在y軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0，-4），
∴此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
∴此時(shí)點(diǎn)Q在一條線段上運(yùn)動(dòng)，線段的一個(gè)端點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)為（4，0），另一端在y軸的負(fù)半軸上，坐標(biāo)為（0，-4），
∴此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；
綜上分析可知，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，故B正確．
故選：B．
2.（2022十堰）如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
【答案】解：∵△ABC等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正確；
∵點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，DB為圓O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正確；
如圖，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使AE=DC，

∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正確；
∴正確的有3個(gè)．
故選：C．
3.（2022齊齊哈爾）如圖①所示（圖中各角均為直角)，動(dòng)點(diǎn)Р從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C→D→E路線勻速運(yùn)動(dòng)，△AFP的面積y隨點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. AF=5 B. AB=4 C. DE=3 D. EF=8
【答案】解：坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)


B選項(xiàng)正確

即：
解得：
A選項(xiàng)錯(cuò)誤
12~16s對(duì)應(yīng)的DE段

C選項(xiàng)錯(cuò)誤
6~12s對(duì)應(yīng)的CD段


D選項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：B．
4.（2022恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 當(dāng)時(shí)，四邊形ABMP為矩形
B. 當(dāng)時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 當(dāng)時(shí)，或6s
【答案】解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、當(dāng)時(shí)，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項(xiàng)不符合題意；
作CE⊥AD于點(diǎn)E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
PM=CD，且PQ與CD不平行，作MF⊥AD于點(diǎn)F，CE⊥AD于點(diǎn)E，

∴四邊形CEFM矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
PM=CD，且PM∥CD，

∴四邊形CDPM是平行四邊形，
∴DP=CM，
∴t=8-t，
解得t=4 s；
綜上，當(dāng)PM=CD時(shí)，t=4s或6s；選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
5.（2022鄂州）如圖，定直線MNPQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ=60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+CD的最小值為（ ）

A. 24 B. 24 C. 12 D. 12
【答案】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作交BC于H，連接EH，
∵，
∴四邊形CDFH是平行四邊形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，
又∵，
∴四邊形ABHE是平行四邊形，
∴AB=HE，
∵，
∴當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延長(zhǎng)AE交PQ于G，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過(guò)點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，
∵，
∴四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴，
同理可求得，，
∴，
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴，
∴△ALO∽△DKO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選C．

6.（2022江漢油田、潛江、天門(mén)、仙桃）如圖，邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形，其中有一條邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過(guò)大正方形，設(shè)穿過(guò)的時(shí)間為t，大正方形的面積為，小正方形與大正方形重疊部分的面積為，若，則S隨t變化的函數(shù)圖象大致為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】解：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運(yùn)動(dòng)的速度為v，由于v分三個(gè)階段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）；
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3；
③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）．
分析選項(xiàng)可得，A符合，C中面積減少太多，不符合．
故選：A．
7.（2022綏化）如圖，在矩形中，P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)B作射線，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊于點(diǎn)M，且使得，如果，，，，其中．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，．

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
【答案】解：（1）∵在矩形中，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故（1）正確；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
又∵，
∴，
故（2）正確；
（3）過(guò)點(diǎn)M作垂足為F，

∴，
∵當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
故（3）不正確；
故選：C．
8.（2022大慶）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)___________．

【答案】解：∵正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，
∴，
，
①若，則，故①不正確；
如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，

四邊形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，

即，故②正確；


如圖，作于點(diǎn)，連接，
則，
，，
，
同理可得，
，
關(guān)于對(duì)稱軸，關(guān)于對(duì)稱，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正確，
，
若，
即，
，

，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正確．
故答案為：②．
9.（2022龍東地區(qū)）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在邊CD上，且，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若是直角三角形，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】解：在矩形ABCD中，，，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如圖，當(dāng)∠APE=90°時(shí)，


∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
解得：BP=6；
如圖，當(dāng)∠AEP=90°時(shí)，


∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴，即，
解得：，
∴；
如圖，當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，


根據(jù)題意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四邊形ABPF為矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴，即，
解得：，即；
綜上所述，BP的長(zhǎng)為或或6．
故答案為：或或6
10.（2022黃岡、孝感、咸寧）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止．若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），AP的長(zhǎng)度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)，t的值為_(kāi)_______．

【答案】根據(jù)函數(shù)圖像可得AB=4，AB+BC=8，
∴BC=AB=4，
∵∠B＝36°，
∴，
作∠BAC的平分線AD，

∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，
∴AD=BD，，
∴AD=BD=CD，
設(shè)，
∵∠DAC＝∠B＝36°，
∴，
∴，
∴，
解得： ，（舍去），
∴，
此時(shí)(s)，
故答案為：.
11.（2022龍東地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．

【答案】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF，

∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB=，
∴OA=，
∴點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，
∴OF⊥AB，OF=2OG=OA=，
∴∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEC=∠CAE=15°，
∴∠DOE=∠AEC+∠CAE=30°，
∴∠DOE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案為：．
12.（2022河北）如圖，點(diǎn)在拋物線C：上，且在C的對(duì)稱軸右側(cè)．

（1）寫(xiě)出C的對(duì)稱軸和y的最大值，并求a的值；
（2）坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫(huà)出點(diǎn)P及C的一段，分別記為，．平移該膠片，使所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為．求點(diǎn)移動(dòng)的最短路程．
【答案】
（1），
∴對(duì)稱軸為直線，
∵，
∴拋物線開(kāi)口向下，有最大值，即的最大值為4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵點(diǎn)在C的對(duì)稱軸右側(cè)，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到，
平移距離為，
∴移動(dòng)的最短路程為5．
13.（2022河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過(guò)切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．

（1）求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測(cè)得．已知鐵環(huán)⊙O的半經(jīng)為25cm，推桿AB的長(zhǎng)為75cm，求此時(shí)AD的長(zhǎng)．
【答案】
（1）證明：⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，
，
，
，
AB與⊙O相切于點(diǎn)B，
，
，
過(guò)點(diǎn)作，

，
，
，
，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，則四邊形是矩形，
， ，
，
在中，，，
（cm)，
在中，，cm，
(cm)，
(cm)，
(cm)，
cm，
(cm)．
14.（2022綏化）如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作于點(diǎn)P，交于另一點(diǎn)B，C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，M重合），射線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，分別連接和，交于點(diǎn)E．

（1）求證：．
（2）若，，求的長(zhǎng)．
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】
（1）解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）連接OC，
∵，
∴MN是直徑，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．

（3）過(guò)C點(diǎn)作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，
∵M(jìn)N是直徑，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM，
∵，
∴，
設(shè)
∴
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴值為．

15.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著B(niǎo)C方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時(shí)停止．
①邊PQ從平移開(kāi)始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；
②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；
③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
則在四邊形中

故四邊形為矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①過(guò)點(diǎn)Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移掃過(guò)面積：
旋轉(zhuǎn)掃過(guò)面積：
故邊PQ掃過(guò)的面積：
②運(yùn)動(dòng)分兩個(gè)階段：平移和旋轉(zhuǎn)
平移階段：


旋轉(zhuǎn)階段：
由線段長(zhǎng)度得：
取剛開(kāi)始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長(zhǎng)DK與圓相交于點(diǎn)G，連接GH，GM，過(guò)點(diǎn)G作于T

設(shè)，則
在中：


設(shè)，則，，
，，
∵DM為直徑
∴
在中 ：
在中：
在中：
∴，
PQ轉(zhuǎn)過(guò)的角度：
s
總時(shí)間：
③設(shè)CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時(shí)，DE在DH的左側(cè)，如圖：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時(shí)，DE在DH上或右側(cè)，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得


綜上所述：．
16.（2022哈爾濱）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求a，b的值；
（2）如圖1，點(diǎn)D在該拋物線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)D向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)F在上，過(guò)點(diǎn)F向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)H，連接交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線與過(guò)點(diǎn)P所作的x軸的平行線相交于點(diǎn)N，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，點(diǎn)R在上，連接，若，，求直線的解析式．
【答案】
（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，，
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為
∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為
∴，
∵軸
∴，
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，交NR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作軸于點(diǎn)T，

∵，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
設(shè)直線OA的解析式為：，將點(diǎn)代入得，
，
解得，，
∴直線OA的解析式：，
當(dāng)x=2時(shí)，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)直線BP的解析式為，則
，
解得，，
∴直線BP的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴CK=CN，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴（AAS），
∴，，
∴，
∴，
設(shè)直線RN的解析式為：，將點(diǎn)，得，
，
解得，，
∴直線RN的解析式為：．
17.（2022綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接，的面積為．

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；
（3）若C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．
【答案】
（1）解：∵一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函數(shù)解析式為
過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，

∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在雙曲線上，
∴
∴
（2）解：聯(lián)立方程組得，
解得， ，
∴
根據(jù)函數(shù)圖象可得，反比例函數(shù)圖象直線上方時(shí)，有或，
∴當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍為或，
（3）解：作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，則（1，-2），OM=1，
連接交x軸于點(diǎn)C，連接KC，則PC+KC的值最小，
設(shè)直線的解析式為
把代入得，
解得，
∴直線的解析式為
當(dāng)時(shí)，，解得，，
∴
∴
∴

，
∴



18.（2022龍東地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，M為BC的中點(diǎn)，OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】
（1）解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，
，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在點(diǎn)P，使是等腰三角形，理由如下：
根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能是等腰三角形，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴，
當(dāng)CP=PM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥PC于點(diǎn)F，

∴，
設(shè)PC=PM=a，則PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此時(shí)點(diǎn)P；
當(dāng)時(shí)，

∴，
∴此時(shí)點(diǎn)P；
當(dāng)PM=CM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥PC于點(diǎn)G，則，

∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此時(shí)點(diǎn)P；
綜上所述，存在點(diǎn)P或或，使是等腰三角形
19.（2022齊齊哈爾）綜合與探究
如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
（3）點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長(zhǎng)度最大值；
（4）在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】
（1）解：將A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解這個(gè)方程組得，
拋物線的解析式為：；
（2）解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為：，
把點(diǎn) A（-1，0），B（4，5）代入，
得，
解得 ，
直線AB的解析式為： ，
由（1）知拋物線的對(duì)稱軸為，
點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，，
當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，最小，
把x=1代入，得y=2，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）解：如圖，由（2）知 直線AB的解析式為y=x+1
設(shè)，則，
則，
當(dāng)時(shí)，DE有最大值為，

（4）解：如圖，直線AB的解析式為：y=x+1，
直線與y軸的交點(diǎn)為D（0，1），
，
，
若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，分情況討論：
①過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)C作 ，則四邊形 為正方形，
依題意，知D與F重合，點(diǎn) 的坐標(biāo)為（1，1）；


②以為中心分別作點(diǎn)F，點(diǎn)C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) ，連接，則四邊形是正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）；


③延長(zhǎng)到使，作于點(diǎn)，則四邊形是正方形，則的坐標(biāo)為（1，4）；


④取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則為正方形，則的坐標(biāo)為，


綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：
20.（2022綏化）如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，，.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過(guò)點(diǎn)E作于F，以為對(duì)角線作正方形．
　　
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】
（1）將點(diǎn)A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直線對(duì)稱軸，可得 ，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）∵A（0，-4），D，
∴△AOD為等腰直角三角形，
∵軸交拋物線于點(diǎn)B，
∴B（4，-4），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
將B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直線BC解析式為y=2x-12，
由題意可得，△ADB為等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形EGFH正方形，
∴△EGF為等腰直角三角形，
∴，
點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)上時(shí)，滿足直線BC解析式y(tǒng)=2x-12，
∴，
∴，此時(shí)；
（3）B（4，-4），C（6，0），，
∴,，,
要使以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
需滿足：
當(dāng)△BGC是直角三角形時(shí)，，
，
解得，，，
此時(shí)G或（3，-3）；
當(dāng)△BCG為直角三角形時(shí)，，
，
解得，，
此時(shí)G；
當(dāng)△CBG為直角三角形時(shí)，，
，
解得，，
此時(shí)G；
綜上所述：點(diǎn)G坐標(biāo)為或（3，-3）或．
21.（2022十堰）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，重合），作軸，垂足為，連接．
①如圖1，若點(diǎn)在第三象限，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②直線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在軸上時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng)．
【答案】
（1）解：把點(diǎn)，代入得：
，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥DP于點(diǎn)Q，

∵點(diǎn)C（0，-3），
∴OC=3，
∵，
∴△CPQ為等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
設(shè)點(diǎn)，則OD=-m，，
∵軸，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四邊形OCQD為矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴點(diǎn)；
②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸于點(diǎn)M，

令y=0，，
解得：（舍去），
∴點(diǎn)B（-4，0），
∴OB=4，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點(diǎn)B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得：，
∴直線BC解析式為，
∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在軸上時(shí)，
∴，，，
∵DP⊥x軸，
∴PD∥CE′，
∴，
∴，
∴CE=PE，
∴，
∴四邊形為菱形，
∵EM∥x軸，
∴△CEM∽△CBO，
∴，
設(shè)點(diǎn)， 則點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，EM=-t，
當(dāng)-4＜t＜0時(shí)，，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)為；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，EM=-t，
當(dāng)t≤-4時(shí)，，
∴，解得：或0（舍去），
此時(shí)，
∴四邊形的周長(zhǎng)為；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即t＞0時(shí)，EM=t，，
∴，解得：或0，
不符合題意，舍去；
綜上所述，四邊形的周長(zhǎng)為或．
22.（2022鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠POB=45°，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，當(dāng)PA'⊥OB時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出OG的最小值和此時(shí)線段FP掃過(guò)的面積．
【答案】
（1）解：在Rt△OAB中，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6）；
（2）解：連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OB于點(diǎn)Q，如圖，


∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
設(shè)PQ=OQ=x，則BQ=10-x，
在Rt△OAB中，，
在Rt△BPQ中，，
解得，
∴，
在Rt△POQ中，，
在Rt△AOP中，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）；
（3）解：令PA'交OB于點(diǎn)D，如圖，

∵點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，
∴，，
∵，
設(shè)，則，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)，可得，，
∴，
在Rt△中，，即，
解得，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）；
（4）解：以點(diǎn)F為圓心，OF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，再將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，此時(shí)OG最小，如圖，


由題可知，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴OG的最小值為4，
∴線段FP掃過(guò)的面積=．
23.（2022江漢油田、潛江、天門(mén)、仙桃）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，線段軸，交該拋物線于另一點(diǎn)B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的解析式：
（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量x滿足時(shí)，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且．求m的值：
（3）平移拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值范圍．
【答案】
（1）解：，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，-4），對(duì)稱軸x=1，
當(dāng)x=0時(shí)y=-3，即C（0，-3），
點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，則B（2，-3），
設(shè)直線AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得
，解得：
∴直線AC為：y=-x-3；
（2）解：①當(dāng)m+2≤1時(shí)，即m≤-1時(shí)，
x=m時(shí)取最大值，x=m+2時(shí)取最小值，
∴，
解得：，不符合題意；
②當(dāng)m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1時(shí)，即-1＜m＜0時(shí)，
x=m時(shí)取最大值，x=1時(shí)取最小值，
∴，
解得：m=，或m=（舍去），
③當(dāng)m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1時(shí)，即0＜m＜1時(shí)，
x=m+2時(shí)取最大值，x=1時(shí)取最小值，
∴，
解得：m=，m=（舍去），
④當(dāng)m≥1時(shí)，
x=m+2時(shí)取最大值，x=m時(shí)取最小值，
∴，
解得：，不符合題意；
m=0時(shí)，二次函數(shù)在0≤x≤2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合題意；
綜上所述：m=或m=；
（3）解：由題意作圖如下，過(guò)點(diǎn)A作直線AE⊥BC于E，作直線AF⊥y軸于F，


由A（1，-4）、B（2，-3）可得
直線AB解析式為：y=x-5，
∵C（0，-3），
∴F（0，-4），E（1，-3），
∵AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是正方形，
∴∠CAE=∠CAF=45°，
根據(jù)對(duì)頂角相等，可得當(dāng)點(diǎn)A沿直線AC平移m長(zhǎng)度時(shí)，橫坐標(biāo)平移m?cos45°，縱坐標(biāo)平移m?cos45°，
即點(diǎn)A沿直線AC平移時(shí)，橫縱坐標(biāo)平移距離相等，
設(shè)拋物線向左平移m單位后，與直線AB只有1個(gè)交點(diǎn)，則


令△=0，解得：m=，
∴n=1-=，
由圖象可得當(dāng)拋物線由點(diǎn)A向右平移至左半部分過(guò)點(diǎn)B時(shí)，與射線BA只有一個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)拋物線向右平移m單位后，左半部分過(guò)點(diǎn)B，則
B（2，-3）在拋物線上，
，
解得：m=0（舍去）或m=3，
∴1＜n≤4，
綜上所述n=或1＜n≤4；
24.（2022荊州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)O是邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接OD，將△OAD沿OD折疊，得到△OED；再以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓，交射線AB于G，連接AE并延長(zhǎng)交射線BC于F，連接EG，設(shè)OA＝x．

（1）求證：DE是半圓O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E落在BD下方時(shí)，設(shè)△AGE與△AFB面積的比值為y，確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫(xiě)出：當(dāng)半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x的取值范圍．
【答案】
（1）證明：在矩形ABCD中，，
△OED是△OAD沿OD折疊得到的，
，即，
DE是半圓O的切線；
（2）解：△OED是△OAD沿OD折疊得到的，
，
，
在中，，
，
在中，，
，解得，
答：x的值為．
（3）解：在中，，
△OED是△OAD沿OD折疊得到的，
，
是的直徑，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（）

（4）解：由（2）知，當(dāng)E在DB上時(shí)， ，
如圖，當(dāng)點(diǎn)E在DC上時(shí)， ，

∴當(dāng)時(shí)，半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)半圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，
連接OC，在中，，
，
，解得，
∴當(dāng)時(shí)，半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)半圓O與△BCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x的取值范圍為：或．
25.（2022隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸分則點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，且，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】
（1）解：∵，
∴，，
∵，對(duì)稱軸為直線，，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：方法一：連接OP，


設(shè)，易知，，
∵，，
∴四邊形PABC的面積，
∴

又∵，
∴
∴當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為；
方法二：易知，，故直線AC的方程為


設(shè)，
∵過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AC于點(diǎn)Q，
∴，
∵點(diǎn)P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四邊形PABC面積，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）存在點(diǎn)N．
①當(dāng)N在y軸上時(shí)，


∵四邊形PMCN為矩形，
此時(shí)，，；
②當(dāng)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖所示，四邊形PMCN為矩形，過(guò)M作y軸的垂線，垂足為D，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為E，設(shè)，則，


∴，
∵四邊形PMCN為矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③當(dāng)N在x軸正半軸上時(shí)，如圖所示，四邊形PMCN為矩形，過(guò)M作y軸的垂線，垂足為D，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為E，設(shè)，則，


∴，
∵四邊形PMCN為矩形時(shí)，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴
解得（舍），，
∴，，
綜上：，；，；，
26.（2022黃岡、孝感、咸寧）拋物線y＝x2－4x與直線y＝x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點(diǎn)E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．
【答案】
（1）解：將y＝x2－4x與y＝x聯(lián)立得：x＝x2－4x，
解得：x=5或x=0（舍去），
將x=5代入y＝x得y=5，
故B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,5），
將函數(shù)y＝x2－4x轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式得，故頂點(diǎn)D為（2,-4），
故B（5,5），D為（2,-4）；
（2）如圖所示，過(guò)D作DE⊥x軸與點(diǎn)E，

則E（2,0），則tan∠EDO=，當(dāng)P在E上時(shí)，則滿足tan∠PDO＝，
則，
如圖所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)O作于點(diǎn)G，

∵，
∴OG=OE=2，DG=DE=4，
設(shè)，則，
則，
則或n=0（舍去），
則，則
綜上所述，；
（3）解：由題易得：M（-15），，
則直線MQ的解析式為：，
令，解得，
∴，
∵BM=6，
∴，
且，，
∴，
∵，函數(shù)開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，取最大值為．



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