2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：圓(含解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：圓

1.（2022貴陽）如圖，已知，點為邊上一點，，點為線段的中點，以點為圓心，線段長為半徑作弧，交于點，連接，則的長是（）

A. 5 B. C. D.
2.（2022銅仁）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.
3.（2022黔東南）如圖，已知正六邊形內(nèi)接于半徑為的，隨機(jī)地往內(nèi)投一粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（）

A. B. C. D. 以上答案都不對
4.（2022銅仁）如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
5.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點、，連接并延長與交于點、，若，，則的值為（）

A. B. C. D.
6.（2022河北）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（）

A. cm B. cm C. cm D. cm
7.（2022哈爾濱）如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.
8.（2022遵義）如圖，在正方形中，和交于點，過點直線交于點（不與，重合），交于點．以點為圓心，為半徑的圓交直線于點，．若，則圖中陰影部分的面積為（）

A. B. C. D.
9.（2022龍東地區(qū)）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F是CD上一點，交BC于點E，連接AE，BF交于點P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（）

A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
10.（2022哈爾濱）一個扇形的面積為，半徑為，則此扇形的圓心角是___________度．
11.（2022龍東地區(qū)）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．

12.（2022恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）________．

13.（2022遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28緯線的長度．
小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：
信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑約為6400千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度；（參考數(shù)據(jù)：，，，）
根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為__________千米．

14.（2022黔東南）如圖，在中，，半徑為3cm的是的內(nèi)切圓，連接、，則圖中陰影部分的面積是__________cm2．（結(jié)果用含的式子表示）

15.（2022綏化）已知：．

（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）如果的周長為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．

16.（2022銅仁）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．

（1）求證：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF長．

17.（2022鄂州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB=∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．

（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．

18.（2022大慶）如圖，已知是外接圓的直徑，．點D為外的一點，．點E為中點，弦過點E．．連接．

（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）當(dāng)時，求弦的長．

19.（2022齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作，且CF=CD，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．

20.（2022河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．

（1）求∠C的大小及AB的長；
（2）請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）

21.（2022黔東南）（1）請在圖中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于點．

①求證：；
②若，，求的半徑．

22.（2022哈爾濱）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個點，連接，點D，點E分別是半徑的中點，連接，且．

（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，延長交于點F，若，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G是上一點，連接，若，，求的長．

23.（2022綏化）如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作于點P，交于另一點B，C是上的一個動點（不與A，M重合），射線交線段的延長線于點D，分別連接和，交于點E．

（1）求證：．
（2）若，，求的長．
（3）在點C運動過程中，當(dāng)時，求的值．

24.（2022鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點P為線段AB上一動點．

（1）請直接寫出點B的坐標(biāo)；
（2）若動點P滿足∠POB=45°，求此時點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點E為線段OB的中點，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點A的對應(yīng)點為A'，當(dāng)PA'⊥OB時，求此時點P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．

25.（2022恩施州）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C．

（1）求證：∠ADE=∠PAE．
（2）若∠ADE=30°，求證：AE=PE．
（3）若PE=4，CD=6，求CE的長．

26.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點P到達(dá)點D后立刻繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．
①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；
②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；
③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．

27.（2022遵義）綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．

探究展示：
如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）

點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）
點，，，四點在同一個圓上
（1）反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．
（2）如圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．

（3）拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關(guān)于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．

①求證：，，，四點共圓；
②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：圓參考答案
1.（2022貴陽）如圖，已知，點為邊上一點，，點為線段的中點，以點為圓心，線段長為半徑作弧，交于點，連接，則的長是（）

A. 5 B. C. D.
【答案】連接OE，如圖所示：

∵，點為線段的中點，
∴，
∵以點為圓心，線段長為半徑作弧，交于點，
∴，
∴,
∴為等邊三角形，
即，
故選：A．
2.（2022銅仁）如圖，是的兩條半徑，點C在上，若，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.
【答案】∵是的兩條半徑，點C在上，
∴∠C= =40°
故選：B
3.（2022黔東南）如圖，已知正六邊形內(nèi)接于半徑為的，隨機(jī)地往內(nèi)投一粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（）

A. B. C. D. 以上答案都不對
【答案】解：如圖：連接OB，過點O作OH⊥AB于點H，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六邊形的面積，
∵⊙O的面積=πr2，
∴米粒落在正六邊形內(nèi)的概率為：，
故選：A．
4.（2022銅仁）如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
【答案】解：設(shè)AC與半圓交于點E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面積=弓形CE的面積，
∴，
故選A．

5.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點、，連接并延長與交于點、，若，，則的值為（）

A. B. C. D.
【答案】解：連結(jié)OA
∵、分別與相切于點A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故選A．

6.（2022河北）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長是（）

A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】解：如圖，

PA，PB分別與所在圓相切于點A，B．
，
∠P＝40°，
，
該圓半徑是9cm，
cm，
故選：A．
7.（2022哈爾濱）如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.
【答案】解：PA與⊙O相切于點A，AD是⊙O的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
8.（2022遵義）如圖，在正方形中，和交于點，過點直線交于點（不與，重合），交于點．以點為圓心，為半徑的圓交直線于點，．若，則圖中陰影部分的面積為（）

A. B. C. D.
【答案】解：在正方形中，，
的半徑為：
過點，根據(jù)中心對稱可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，
又
陰影部分面積為：

故選：B．
9.（2022龍東地區(qū)）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F是CD上一點，交BC于點E，連接AE，BF交于點P，連接OP．則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結(jié)論是（）

A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③④ D. ①③④⑤
【答案】①∵四邊形ABCD是正方形，O是對角線AC、BD的交點，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°
∵
∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°
∴∠DOF=∠EOC
在△DOF與△COE中

∴
∴EC=FD
∵在△EAC與△FBD中
∴
∴∠EAC=∠FBD
又∵∠BQP=∠AQO
∴∠BPQ=∠AOQ=90°
∴AE⊥BF
所以①正確；
②∵∠AOB=∠APB=90°
∴點P、O在以AB為直徑的圓上
∴AO是該圓的弦
∴
所以②正確；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以③正確；
④作EG⊥AC于點G，則EGBO，
∴
設(shè)正方形邊長為5a，則BC=5a，OB=OC=，
若，則，
∴
∴
∴
∵EG⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°
∴CG=EG=
∴
所以④錯誤；
⑤∵，S四邊形OECF=S△COE+S△COF
∴S四邊形OECF= S△DOF+S△COF= S△COD
∵S△COD=
∴S四邊形OECF=
所以⑤正確；
綜上，①②③⑤正確，④錯誤，
故選 B

10.（2022哈爾濱）一個扇形的面積為，半徑為，則此扇形的圓心角是___________度．
【答案】解：設(shè)扇形的圓心角是，根據(jù)扇形的面積公式得：
解得n=70．
故答案：．
11.（2022龍東地區(qū)）如圖，在中，AB是的弦，的半徑為3cm，C為上一點，，則AB的長為________cm．

【答案】解：連接OA、OB，過點O作OD⊥AB于點D，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
12.（2022恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）________．

【答案】解：設(shè)切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，

∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四邊形CDOE為正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
設(shè)⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S陰影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-．
故答案為：-．
13.（2022遵義）數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28緯線的長度．
小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：
信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑約為6400千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度；（參考數(shù)據(jù)：，，，）
根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為__________千米．

【答案】解：如圖，過點O作，垂足為D，

根據(jù)題意，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴由垂徑定理可知：，
∴以為直徑的圓的周長為，
故答案為：33792．
14.（2022黔東南）如圖，在中，，半徑為3cm的是的內(nèi)切圓，連接、，則圖中陰影部分的面積是__________cm2．（結(jié)果用含的式子表示）

【答案】∵內(nèi)切圓圓心是三條角平分線的交點
∴；
設(shè)，
在中：
在中：
由①②得：
扇形面積：（cm2）
故答案為：
15.（2022綏化）已知：．

（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出內(nèi)切圓的圓心O；（只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）如果的周長為14，內(nèi)切圓的半徑為1.3，求的面積．
【答案】
（1）解：如下圖所示，O為所求作點，

（2）解：如圖所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

∵內(nèi)切圓的半徑為1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周長為14，
∴AB+BC+AC=14，
則

故三角形ABC的面積為9.1．
16.（2022銅仁）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D的切線DE交AB的延長線于點E，過點B作BC⊥DE交AD的延長線于點C，垂足為點F．

（1）求證：AB=CB；
（2）若AB=18，sinA=，求EF長．
【答案】
（1）證明：連接OD，如圖1，

∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA=∠C．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
∴∠A=∠C．
∴AB=BC；
（2）解：連接BD，則∠ADB=90°，如圖2，

在Rt△ABD中，
∵sinA==，AB=18，
∴BD=6．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB．
∴sin∠A=sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF==，
∴BF=2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴=．即：=．
解得：BE=．
∴EF=．
17.（2022鄂州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB=∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．

（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．
【答案】
（1）解：PC與⊙O相切，理由如下：
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC與⊙O相切；
（2）解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC∽△POD，
∴，即，
∴，
∴CD=6，
∴．
18.（2022大慶）如圖，已知是外接圓的直徑，．點D為外的一點，．點E為中點，弦過點E．．連接．

（1）求證：是的切線；
（2）求證：；
（3）當(dāng)時，求弦的長．
【答案】
（1）解：∵BC是△ABC外接圓⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵ OC 是 OO 的半徑，
∴CD 是 OO 的切線；
（2）如下圖，連接AF、CG，

∴∠AFE=∠ECG，
∵∠AEF=∠CEG，
∴△FEA∽△CEG，
∴，
∵點E為AC中點，
∴AE=CE，
∵EF=2EG，
∴，
∴CE2=2EG2，
∵∠BAC=90°，點E為AC中點，
∴EOAB，
∴∠OEC=90°，
∴OC2-OE2=EC2，
∴OC2-OE2=2EG2，
∴（OC+OE）（OC?OE）=EG?EF；
（3）作ON⊥FG，延長FG交線段于點W，

∵BC=16，
∴OC=8，
∵FGBC，
∴四邊形ONWC為矩形，
∵EF=2EG，
∴FG=3EG，
∴NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG，
由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，
∴CE2=2EG2，
∴OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-EG2，EW2=（8-0.5EG）2，
∴（8-0.5EG）2+64-2EG2-EG2=2EG2，
解得EG=，
∴FG=3EG=．
19.（2022齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作，且CF=CD，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．
【答案】
（1）連接BD

∵AB是的直徑
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴BF是的切線
（2）連接OE，與BD相交于M點

∵，，
∴為等腰直角三角形
∴，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴為等腰直角三角形
∴
∴
20.（2022河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．

（1）求∠C的大小及AB的長；
（2）請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）
【答案】
（1）解：∵水面截線
，
，
，
在中，，，
，
解得．
（2）過點作，交MN于D點，交半圓于H點，連接OM，過點M作MG⊥OB于G，如圖所示：

水面截線，，
，，
為最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深約為米．
21.（2022黔東南）（1）請在圖中作出的外接圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖，是的外接圓，是的直徑，點是的中點，過點的切線與的延長線交于點．

①求證：；
②若，，求的半徑．
【答案】（1）如下圖所示

∵的外接圓的圓心為任意兩邊的垂直平分線的交點，半徑為交點到任意頂點的距離，
∴做AB、AC垂直平分線交于點O，以O(shè)B為半徑，以O(shè)為圓心做圓即可得到的外接圓；
（2）
①如下圖所示，連接OC、OB

∵BD是的切線
∴
∵是對應(yīng)的圓周角，是對應(yīng)的圓心角
∴
∵點是的中點
∴
∴
∴
∴
∴
②如下圖所示，連接CE

∵與是對應(yīng)的圓周角
∴
∵是的直徑
∴
∴
∴
∵
∴
∴的半徑為．
22.（2022哈爾濱）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個點，連接，點D，點E分別是半徑的中點，連接，且．

（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，延長交于點F，若，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G是上一點，連接，若，，求的長．
【答案】
（1）如圖1．∵點D，點E分別是半徑的中點

∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）如圖2．∵，
∴

由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）如圖3．∵，
∴
∴

連接．∵
∴，
∴，
∵
設(shè)，
∴
在上取點M，使得，連接
∵，
∴
∴，
∴為等邊三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
過點H作于點N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
23.（2022綏化）如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作于點P，交于另一點B，C是上的一個動點（不與A，M重合），射線交線段的延長線于點D，分別連接和，交于點E．

（1）求證：．
（2）若，，求的長．
（3）在點C運動過程中，當(dāng)時，求的值．
【答案】
（1）解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴．
（2）連接OC，
∵，
∴MN是直徑，
∵，
∴OM=ON=OC=5，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．

（3）過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，
∵M(jìn)N是直徑，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM，
∵，
∴，
設(shè)
∴
∴
∴
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴值為．

24.（2022鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA=6，斜邊OB=10，點P為線段AB上一動點．

（1）請直接寫出點B的坐標(biāo)；
（2）若動點P滿足∠POB=45°，求此時點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點E為線段OB的中點，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點A的對應(yīng)點為A'，當(dāng)PA'⊥OB時，求此時點P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點，且AF=2，連接FP，將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．
【答案】
（1）解：在Rt△OAB中，，
∴點B的坐標(biāo)為（8，6）；
（2）解：連接OP，過點P作PQ⊥OB于點Q，如圖，

∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
設(shè)PQ=OQ=x，則BQ=10-x，
在Rt△OAB中，，
在Rt△BPQ中，，
解得，
∴，
在Rt△POQ中，，
在Rt△AOP中，，
∴點P的坐標(biāo)為（，6）；
（3）解：令PA'交OB于點D，如圖，

∵點E為線段OB的中點，
∴，，
∵，
設(shè)，則，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)，可得，，
∴，
在Rt△中，，即，
解得，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴點P的坐標(biāo)為（，6）；
（4）解：以點F為圓心，OF的長為半徑畫圓，與AB的交點即為點P，再將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，此時OG最小，如圖，

由題可知，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴OG的最小值為4，
∴線段FP掃過的面積=．
25.（2022恩施州）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C．

（1）求證：∠ADE=∠PAE．
（2）若∠ADE=30°，求證：AE=PE．
（3）若PE=4，CD=6，求CE的長．
【答案】
（1）證明：連接OA，

∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE為⊙O的直徑，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）證明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交AB于點C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
設(shè)CE=x，則DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(負(fù)值已舍)．
∴CE的長為2．
26.（2022河北）如圖，四邊形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于點H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．

（1）求證：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點P到達(dá)點D后立刻繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．
①邊PQ從平移開始，到繞點D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；
②如圖2，點K在BH上，且．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；
③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．
【答案】
（1）∵，
∴
則在四邊形中

故四邊形為矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
（2）①過點Q作于S

由（1）得：
在中，
∴
平移掃過面積：
旋轉(zhuǎn)掃過面積：
故邊PQ掃過的面積：
②運動分兩個階段：平移和旋轉(zhuǎn)
平移階段：

旋轉(zhuǎn)階段：
由線段長度得：
取剛開始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，則H為圓心，延長DK與圓相交于點G，連接GH，GM，過點G作于T

設(shè)，則
在中：

設(shè)，則，，
，，
∵DM為直徑
∴
在中：
在中：
在中：
∴，
PQ轉(zhuǎn)過的角度：
s
總時間：
③設(shè)CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角＜30°時，DE在DH的左側(cè)，如圖：

∵∠EDF=30°，∠C=30°，
∴∠EDF=∠C，
又∵∠DEF=∠CED，
∴，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角≥30°時，DE在DH上或右側(cè)，如圖：CF=m，則EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得

綜上所述：．
27.（2022遵義）綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．
提出問題：
如圖1，在線段同側(cè)有兩點，，連接，，，，如果，那么，，，四點在同一個圓上．

探究展示：
如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（依據(jù)1）

點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
點，在點，，所確定的上（依據(jù)2）
點，，，四點在同一個圓上
（1）反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？
依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．
（2）如圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為__________．

（3）拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點在上（不與的中點重合），連接．作點關(guān)于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，．

①求證：，，，四點共圓；
②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．
【答案】
（1）如圖2，作經(jīng)過點，，的，在劣弧上取一點（不與，重合），連接，則（圓內(nèi)接四邊形對角互補）

點，，，四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）
點，在點，，所確定的上（同圓中，同弧所對的圓周角相等）
點，，，四點在同一個圓上
故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等
（2）在線段同側(cè)有兩點，，
四點共圓，

故答案為：
（3）①，
，
點與點關(guān)于對稱，
，
，
四點共圓；
②，理由如下，
如圖，四點共圓，
，
關(guān)于對稱，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．

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