?2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：全等三角形
1.（2022大慶）下列說法不正確的是( )
A. 有兩個(gè)角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形
B. 有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形
C. 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形
D. 底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形
2.（2022云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF若添加下列條件中的某一個(gè)．就能使DOEFOE，你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（ ）

A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
3.（2022貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個(gè)全等的圖形，則的度數(shù)是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
4.（2022百色）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所對(duì)的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. 或 D. 或
5.（2022貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的周長(zhǎng)是（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
6.（2022貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. B. C. D. 最小值為
7.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
8.（2022海南）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．

9.（2022貴陽）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，．若，則的面積是_______，_______度．

10.（2022北部灣）如圖，在正方形ABCD中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作，分別交于點(diǎn)F、G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在BD上，得到若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是_________．

11.（2022安徽）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．若，則________．

12.（2022銅仁）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長(zhǎng)BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢CM，使得∠ECM=30°，過點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長(zhǎng)為______（結(jié)果保留很號(hào)）．

13.（2022遵義）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為__________．

14.（2022大慶）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為____________．

15.（2022銅仁）如圖，點(diǎn)C在上，．求證：．



16.（2022福建）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．



17.（2022廣東）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．



18.（2022百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

（1）求證：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面積．


19.（2022大慶）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線上的兩點(diǎn)，．連接．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，求證：．


20.（2022云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．


21.（2022北部灣）如圖，在中，BD是它的一條對(duì)角線，

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）連接BE，若，求的度數(shù)．


22.（2022梧州）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且．求證：．



23.（2022福建）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．

（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．


24.（2022遵義）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對(duì)角線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．

（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．


25.（2022貴陽）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．

（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．


26.（2022北京）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接

（1）求證：
（2）連接,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，求證：直線為的切線．


27.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．


28.（2022安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．

（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．
（?。┣蟆螩ED的大?。?br /> （ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．


29.（2022畢節(jié)）如圖1，在四邊形中，和相交于點(diǎn)O，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，連接，若，求的周長(zhǎng)．


30.（2022玉林）問題情境：
在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖的圖形及下面三個(gè)等式：① ② ③若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？
解決方案：探究與全等．

問題解決：
（1）當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，與全等嗎？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
（2）當(dāng)任意選擇兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求的概率．


31.（2022梧州）如圖，以AB為直徑的半圓中，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C在圓上，過點(diǎn)C作，且．連接AD，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與交于點(diǎn)G，若．

（1）求證：①；
②CD是的切線．
（2）求的值．


32.（2022北京）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得

（1）如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，若，求證：；
（2）連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．


33.（2022北部灣）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動(dòng)，．

（1）如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：
（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：
（3）如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出面積的最大值．


34.（2022云南）如圖，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一點(diǎn)，連接PA、PC、PD，延長(zhǎng)BC至E，使BD2=BC?BE．

（1）請(qǐng)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC，當(dāng)P與C重合時(shí)，或當(dāng)P與B重合時(shí)，把轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的有關(guān)線段長(zhǎng)的比，可得是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．


35.（2022海南）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長(zhǎng)的最小值；
③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．


36.（2022百色）已知拋物線經(jīng)過A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM ，交BC于點(diǎn)F

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在點(diǎn)M使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)


37.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．
（1）如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．

①在圖中畫出點(diǎn)；
②連接交線段于點(diǎn)求證：
（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）


38.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．


39.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．


40.（2022銅仁）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，記的面積為，的面積為．
（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：
（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且，若，求值．



41.（2022河南）綜合與實(shí)踐
綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

（1）操作判斷
操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．
（2）遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：全等三角形參考答案
1.（2022大慶）下列說法不正確的是( )
A. 有兩個(gè)角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形
B. 有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形
C. 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形
D. 底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形
【答案】解：A、設(shè)∠1、∠2為銳角，
因?yàn)椋骸?+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，
故A選項(xiàng)不正確，符合題意；
B、如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．

∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD與Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，
故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，，
故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，
故D選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：A．
2.（2022云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF若添加下列條件中的某一個(gè)．就能使DOEFOE，你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（ ）

A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
【答案】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
當(dāng)△DOE≌△FOE時(shí)，可得以下結(jié)論：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD與OE不是△DOE≌△FOE的對(duì)應(yīng)邊，A不正確；
B答案中OE與OF不是△DOE≌△FOE的對(duì)應(yīng)邊，B不正確；
C答案中，∠ODE與∠OED不是△DOE≌△FOE的對(duì)應(yīng)角，C不正確；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，

∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正確．
故選：D．
3.（2022貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個(gè)全等的圖形，則的度數(shù)是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
【答案】解：∵紙片是菱形
∴對(duì)邊平行且相等
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
故選：C．
4.（2022百色）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所對(duì)的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. 或 D. 或
【答案】如圖，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，即，

，
；
如圖，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，

過點(diǎn)C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為或，
故選：C．
5.（2022貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的周長(zhǎng)是（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】圖中的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，則中間小正方形的周長(zhǎng)是．
故選B．
6.（2022貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. B. C. D. 最小值為
【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，
∴DF=CE，故A項(xiàng)答案正確，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項(xiàng)答案正確，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C項(xiàng)答案正確，
∵，BC=1，點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，
∴當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，
故應(yīng)選：D
7.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：連結(jié)OA
∵、分別與相切于點(diǎn)A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故選A．

8.（2022海南）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．

【答案】∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
設(shè)
∴
∴



∵的面積等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案為：60；．
9.（2022貴陽）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，．若，則的面積是_______，_______度．

【答案】
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或，
對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
，
，
，
，
過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：，．
10.（2022北部灣）如圖，在正方形ABCD中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)E作，分別交于點(diǎn)F、G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在BD上，得到若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是_________．

【答案】解：過點(diǎn)E作PQAD交AB于點(diǎn)P，交DC于點(diǎn)Q，

∵ADPQ，
∴AP=DQ，，
∴BP=CQ，
∵，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴，
在與中

∴≌，
∴BE=EF，
又∵，F(xiàn)為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵ABFC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴EH=AH-AE=，
∵，
，
∴，
又∵，
∴
∴，
，
∴EG=，OG=1，
過點(diǎn)F作FM⊥AC 于點(diǎn)M，
∴FM=MC==，
∴MH=CH-MC=，
作FN⊥OD于點(diǎn)N，
，
在Rt與Rt中

∴Rt≌Rt
∴，
∴ON=2，NG=1，
∴，
∴，
故答案為：．
11.（2022安徽）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．若，則________．

【答案】解：過點(diǎn)C作CD⊥OA于D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，

∴CD∥BE，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四邊形CDEB為平行四邊形，
∵CD⊥OA，
∴四邊形CDEB為矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案為3．
12.（2022銅仁）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長(zhǎng)BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢CM，使得∠ECM=30°，過點(diǎn)D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長(zhǎng)為______（結(jié)果保留很號(hào)）．

【答案】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)H，

由菱形的性質(zhì)得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=．
故答案為：．
13.（2022遵義）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為__________．

【答案】如圖，過點(diǎn)作，且，連接，如圖1所示，
，
又，
，
，
，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)如圖2所示，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，，
，
，
即取得最小值為，
故答案為：．

圖1 圖2
14.（2022大慶）如圖，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，連接分別與對(duì)角線交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)為____________．

【答案】解：∵正方形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的2倍，
∴，
，
①若，則，故①不正確；
如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使得，

四邊形是正方形，
，，
，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，

即，故②正確；


如圖，作于點(diǎn)，連接，
則，
，，
，
同理可得，
，
關(guān)于對(duì)稱軸，關(guān)于對(duì)稱，
，
，
，
是直角三角形，
③若，
，
，故③不正確，
，
若，
即，
，

，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故④不正確．
故答案為：②．
15.（2022銅仁）如圖，點(diǎn)C在上，．求證：．

【答案】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
16.（2022福建）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．

【答案】證明：∵BF＝EC，
∴，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴∠A＝∠D．
17.（2022廣東）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．

【答案】證明：∵，
∴為的角平分線，
又∵點(diǎn)P在上，，，
∴，，
又∵（公共邊），
∴．
18.（2022百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝

（1）求證：△ABC≌△CDA ；
（2）求草坪造型的面積．
【答案】
（1）在和中，

，
；
（2）
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面積，
所以，草坪造型的面積為．
19.（2022大慶）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線上的兩點(diǎn)，．連接．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，求證：．
【答案】
（1）證明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）證明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
20.（2022云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，∠BDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．
【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E為線段AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
21.（2022北部灣）如圖，在中，BD是它的一條對(duì)角線，

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）連接BE，若，求的度數(shù)．
【答案】
（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，

（2）如圖，EF即為所求；

（3） BD的垂直平分線為EF，
，
，
，
，
．
22.（2022梧州）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且．求證：．

【答案】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
23.（2022福建）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．

（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．
【答案】
（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：

（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：

設(shè)，⊙A的半徑為r，
∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四邊形AEFG是矩形，
又，
∴四邊形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值為．
24.（2022遵義）將正方形和菱形按照如圖所示擺放，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，菱形的對(duì)角線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上．

（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】
（1）證明：正方形和菱形，
，
在與中

（）
（2）如圖，連接交于點(diǎn)，


，
，
在中，
，
，
中，，
，
在中，，
，
，
．
25.（2022貴陽）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．

（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】
（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，
，
∵，∠A=∠D=90°，，
∴四邊形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵，
∴△ABE≌△FMN；
（2）連接ME，如圖，


∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，，
∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，
∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，
∴BO=OE==5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，，
∴，解得：，
∴，
∴在Rt△BMO中，，
∴，
∴ON=MN-MO=．
即NO的長(zhǎng)為：．
26.（2022北京）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接

（1）求證：
（2）連接,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，求證：直線為的切線．
【答案】
（1）證明：設(shè)交于點(diǎn)，連接，

由題可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：

連接，
，
，
同理可得：,，
∵點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，
，
直線為的切線．
27.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．
【答案】
（1）∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
又∵AB＝AC，
∴四邊形ABDC是菱形；
（2）結(jié)論：．
證明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，則，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
28.（2022安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．

（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大?。?br /> （ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
【答案】
（1）證明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴四邊形BCDE為菱形．
（2）
（?。└鶕?jù)解析（1）可知，BO=DO，

∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）連接EF，

∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵




∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
29.（2022畢節(jié)）如圖1，在四邊形中，和相交于點(diǎn)O，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)，連接，若，求的周長(zhǎng)．
【答案】
（1）證明：∵，
∴BC∥AD，
在△AOD和△COB中：，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴BC=AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
（2）解：∵點(diǎn)E、F分別為BO和CO的中點(diǎn)，
∴EF是△OBC的中位線，
∴；
∵ABCD為平行四邊形，
∴BD=2BO，
又已知BD=2BA，
∴BO=BA=CD=OD，
∴△DOF與△BOA均為等腰三角形，
又F為OC的中點(diǎn)，連接DF，
∴DF⊥OC，
∴∠AFD=90°，
又G為AD的中點(diǎn)，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：；

過B點(diǎn)作BH⊥AO于H，連接HG，如上圖所示：
由等腰三角形的“三線合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，
∴HC=HO+OC=4+8=12，
在Rt△BHC中，由勾股定理可知,
∵H為AO中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，
∴HG為△AOD的中位線，
∴HG∥BD，即HG∥BE，
且，
∴四邊形BHGE為平行四邊形，
∴GE=BH=9，
∴．
30.（2022玉林）問題情境：
在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖的圖形及下面三個(gè)等式：① ② ③若以其中兩個(gè)等式作為已知條件，能否得到余下一個(gè)等式成立？
解決方案：探究與全等．

問題解決：
（1）當(dāng)選擇①②作為已知條件時(shí)，與全等嗎？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；
（2）當(dāng)任意選擇兩個(gè)等式作為已知條件時(shí)，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求的概率．
【答案】
（1）全等，
理由：∵AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)；
（2）根據(jù)全等的判定方法可知①、②組合(SSS)或者①、③組合(SAS)可證明△ABD≌△ACD，
根據(jù)題意列表如下：

由表可知總的可能情況有6種，其中能判定△ABD≌△ACD的組合有4種，
能判定△ABD≌△ACD的概率為：4÷6=，
故所求概率．
31.（2022梧州）如圖，以AB為直徑的半圓中，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C在圓上，過點(diǎn)C作，且．連接AD，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與交于點(diǎn)G，若．

（1）求證：①；
②CD是的切線．
（2）求的值．
【答案】
（1）證明：①∵，
∴∠D=∠A，
且對(duì)頂角∠CFD=∠BFA，
∴；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圓O的切線．
（2）解：連接DB，連接BG交CD于M點(diǎn)，如下圖所示：

∵且CD=BO，
∴四邊形COBD為平行四邊形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四邊形COBD為正方形，
由(1)知：，
∴，
∵CE∥DB，
∴，
∴，即E為CO的中點(diǎn)，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M為CD的中點(diǎn)，
設(shè)CM=x，則DB=CD=2x，，
由勾股定理知：，
在Rt△MBD中由等面積法知：，
代入數(shù)據(jù)得到：，解得，
在Rt△DGB中由勾股定理可知：，
又且其相似比為，
∴，
在Rt△BFG中由勾股定理可知：，
∴，
∴．
32.（2022北京）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得

（1）如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，若，求證：；
（2）連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】
（1）證明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：

延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
33.（2022北部灣）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動(dòng)，．

（1）如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：
（2）如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：
（3）如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出面積的最大值．
【答案】
（1），證明如下：
，AB中點(diǎn)為D，
，
為的中點(diǎn)，，
，
，
；
（2）如圖，取AB中點(diǎn)T，連接OT、CT、OC，

以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)T在線段OC上時(shí)，等號(hào)成立），
當(dāng)O、T、C在同一直線上時(shí)，CO最大，
在和中，
，
，
，
，即，
，
，
；
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到時(shí)，的面積最大，證明如下：
以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點(diǎn)T，在OT上取點(diǎn)E，使OE=BE，連接BE，

由（2）可知，當(dāng)時(shí)，OC最大，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)OT最大，
的面積最大，
，
，




，


綜上，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到時(shí)，的面積最大，面積的最大值為．
34.（2022云南）如圖，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一點(diǎn)，連接PA、PC、PD，延長(zhǎng)BC至E，使BD2=BC?BE．

（1）請(qǐng)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC，當(dāng)P與C重合時(shí)，或當(dāng)P與B重合時(shí)，把轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的有關(guān)線段長(zhǎng)的比，可得是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【答案】
（1）解：DE是⊙O的切線；理由如下：
∵BD2=BC?BE，
∴，
∵∠CBD=∠DBE，
∴△BDC∽△BED，
∴∠BCD=∠BDE，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴∠BDE=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：成立，理由如下：
延長(zhǎng)PA至Q，使AQ=CP，則PA+PC= PA+AQ=PQ，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵四邊形APCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PAD+∠PCD=180°，
∵∠QAD+∠PAD=180°，
∴∠QAD=∠PCD，
∴△QAD≌△PCD(SAS)，
∴∠QDA=∠PDC，QD=PD，
∴∠QDA+∠PDA =∠PDC+∠PDA=90°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PQ=PD，即PA+PC=PD，
∴成立．
35.（2022海南）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長(zhǎng)的最小值；
③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】
（1）解：如圖9-1，在矩形中，，

即，
∴．
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴．
∴．
（2）①證明：如圖9-2，在矩形中，，

∴．
由折疊可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴．
由折疊可知，．
設(shè)，則．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如圖9-3，由折疊可知，．

∴．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，
當(dāng)點(diǎn)恰好位于對(duì)角線上時(shí)，最?。?br /> 連接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：與的數(shù)量關(guān)系是．
理由是：如圖9-4，由折疊可知．

過點(diǎn)作，交于點(diǎn)M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴點(diǎn)H是中點(diǎn)．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵點(diǎn)G為中點(diǎn)，點(diǎn)H是中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
∴．
36.（2022百色）已知拋物線經(jīng)過A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM ，交BC于點(diǎn)F

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在點(diǎn)M使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)
【答案】
（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）四邊形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)M在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，
，
設(shè)，
設(shè)直線OM的解析式為，
，
解得，
直線OM的解析式為，
設(shè)直線BC的解析式為，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直線BC的解析式為，
令，解得，則，
，
四邊形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
點(diǎn)M射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，解得或，
，
．
當(dāng)點(diǎn)M在線段BD上時(shí)，此時(shí)，，

，
，
，
由（2）得，
四邊形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
綜上，ME的長(zhǎng)為或．
37.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．
（1）如圖，點(diǎn)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．

①在圖中畫出點(diǎn)；
②連接交線段于點(diǎn)求證：
（2）的半徑為1，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若為外一點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出長(zhǎng)的最大值與最小值的差（用含的式子表示）
【答案】
（1）解：①點(diǎn)Q如下圖所示．
∵點(diǎn)，
∴點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，
∴點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)找出該點(diǎn)即可；

②證明：如圖延長(zhǎng)ON至點(diǎn)，連接AQ，
∵ ，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示，

連接PO并延長(zhǎng)至S，使，延長(zhǎng)SQ至T，使，
∵，點(diǎn)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
∴，
又∵，
∴OM∥ST，
∴NM為的中位線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
結(jié)合題意，，，
∴，
即長(zhǎng)的最大值與最小值的差為．
38.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
【答案】
（1）解：∵在拋物線上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①連接交于點(diǎn)，如圖1所示：

∵與關(guān)于軸對(duì)稱，
∴，，
設(shè)，則，
，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，連接，，如圖2所示：

∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，
過作，垂足為，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴

，
即的最小值為．
39.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．

①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
【答案】
（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．

（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結(jié)CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對(duì)角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；

②連結(jié)BD，
∵△AGC為直角三角形，，
∴AC=，
∴四邊形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．

40.（2022銅仁）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，記的面積為，的面積為．
（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：
（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且，若，求值．

【答案】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：
如圖所示，過點(diǎn)D作AE⊥AC于E，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（3）如圖所示，過點(diǎn)A作交OB于M，取BM中點(diǎn)N，連接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
設(shè)，則，
∵H是AB中點(diǎn)，N是BM的中點(diǎn)，
∴HN是△ABM的中位線，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知．

41.（2022河南）綜合與實(shí)踐
綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

（1）操作判斷
操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．
根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．
（2）遷移探究
小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．
【答案】
（1）解：






（2）∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴



②


（3）
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
設(shè)
，
即
解得：
∴



相關(guān)試卷

2023年全國各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形及全等三角形(含解析)：

這是一份2023年全國各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之三角形及全等三角形(含解析)，共28頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：統(tǒng)計(jì)與概率2(含解析)：

這是一份2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：統(tǒng)計(jì)與概率2(含解析)，共33頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：全等三角形1(含解析)：

這是一份2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：全等三角形1(含解析)，共83頁。試卷主要包含了5B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：最值問題2(含解析)

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：最值問題2(含解析)
2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：圓(含解析)

2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編：圓(含解析)
【真題匯編】中考數(shù)學(xué)備考真題模擬測(cè)評(píng) 卷（Ⅰ）（含詳解）

【真題匯編】中考數(shù)學(xué)備考真題模擬測(cè)評(píng) 卷（Ⅰ）（含詳解）
【真題匯編】中考數(shù)學(xué)模擬真題 （B）卷（含詳解）

【真題匯編】中考數(shù)學(xué)模擬真題 （B）卷（含詳解）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部