?2022年中考數(shù)學真題綜合練習：平行四邊形
一、選擇題
1.（2022廣東）如圖，在中，一定正確的是（ ）

A. B. C. D.
2.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
3.（2022貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形，則的度數(shù)是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
4.（2022安徽）兩個矩形的位置如圖所示，若，則（ ）

A. B. C. D.
5.（2022黔東南）如圖，在邊長為2的等邊三角形的外側作正方形，過點作，垂足為，則的長為（ ）

A. B. C. D.
6.（2022海南）如圖，菱形中，點E是邊的中點，垂直交的延長線于點F，若，則菱形的邊長是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D.
7.（2022甘肅武威）如圖1，在菱形中，，動點從點出發(fā)，沿折線方向勻速運動，運動到點停止．設點的運動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（ ）

A. B. C. D.
8.（2022銅仁）如圖，在矩形中，，則D的坐標為（ ）

A. B. C. D.
9.（2022銅仁）如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（ ）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
10.（2022貴港）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結論錯誤的是（ ）

A. B. C. D. 最小值為
二、填空題
11.（2022北京）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．

12.（2022甘肅武威）如圖，菱形中，對角線與相交于點，若，，則的長為_________cm．

13.（2022甘肅武威）如圖，在四邊形中，，，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形成為一個矩形，只需添加的一個條件是_______________．

14.（2022銅仁）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢CM，使得∠ECM=30°，過點D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長為______（結果保留很號）．

15.（2022黔東南）如圖，矩形的對角線，相交于點，//，//．若，則四邊形的周長是_______．

16.（2022貴港）如圖，在中，，以點A為圓心、為半徑畫弧交于點E，連接，若，則圖中陰影部分的面積是_______．

17.（2022海南）如圖，正方形中，點E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．

18.（2022畢節(jié)）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．


19.（2022黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．

20.（2022安徽）如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，的圖象經(jīng)過點B．若，則________．

21.（2022安徽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，請完成下列問題：
（1）________°；
（2）若，，則________．

三、解答題
22.（2022北部灣）如圖，在中，BD是它的一條對角線，

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）連接BE，若，求的度數(shù)．


23.（2022梧州）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點，且．求證：．



24.（2022北京）如圖，在中，交于點，點在上，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若求證：四邊形是菱形．


25.（2022賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．


26.（2022福建）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．

（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．


27.（2022云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．


28.（2022海南）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．

（1）當點P是的中點時，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長的最小值；
③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．


29.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉（旋轉角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．


30.（2022畢節(jié)）如圖1，在四邊形中，和相交于點O，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點，連接，若，求的周長．


31.（2022安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．

（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．
（?。┣蟆螩ED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．


32.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．


①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．


33.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．


①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．

2022年中考數(shù)學真題綜合練習：平行四邊形參考答案
一、選擇題
1.（2022廣東）如圖，在中，一定正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，AD=BC
故選C．
2.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到，點對應直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
【答案】解：依題意為平行四邊形，
∵，，AB＝8，．

∴平行四邊形的面積=
故選B
3.（2022貴陽）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形，則的度數(shù)是（ ）

A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
【答案】解：∵紙片是菱形
∴對邊平行且相等
∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
故選：C．
4.（2022安徽）兩個矩形的位置如圖所示，若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：如圖，∠3=∠1-90°=α-90°，
∠2=90°-∠3=180°-α．
故選：C．

5.（2022黔東南）如圖，在邊長為2的等邊三角形的外側作正方形，過點作，垂足為，則的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：如圖，過點A分別作AG⊥BC于點G，AH⊥DF于點H，

∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四邊形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴，
∴，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴，
∴．
故選：D
6.（2022海南）如圖，菱形中，點E是邊的中點，垂直交的延長線于點F，若，則菱形的邊長是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D.
【答案】過C作CM⊥AB延長線于M，

∵
∴設
∵點E是邊的中點
∴
∵菱形
∴，CE∥AB
∵⊥，CM⊥AB
∴四邊形EFMC是矩形
∴，
∴BM=3x
在Rt△BCM中，
∴，解得或（舍去）
∴
故選：B．
7.（2022甘肅武威）如圖1，在菱形中，，動點從點出發(fā)，沿折線方向勻速運動，運動到點停止．設點的運動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，

∴△ABD為等邊三角形，
設AB=a，由圖2可知，△ABD的面積為，
∴△ABD的面積
解得：a=
故選B
8.（2022銅仁）如圖，在矩形中，，則D的坐標為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6，軸，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，軸，
同理可得軸，
∵點C（3，-1），
∴點D的坐標為（-3，-1），
故選D．
9.（2022銅仁）如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（ ）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
【答案】解：設AC與半圓交于點E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面積=弓形CE的面積，
∴，
故選A．

10.（2022貴港）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結論錯誤的是（ ）

A. B. C. D. 最小值為
【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，
∴DF=CE，故A項答案正確，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C項答案正確，
∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，
∴當點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D項錯誤，
故應選：D
二、填空題
11.（2022北京）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．

【答案】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：1．
12.（2022甘肅武威）如圖，菱形中，對角線與相交于點，若，，則的長為_________cm．

【答案】解： 菱形中，對角線，相交于點，AC=4，
，，AO=OC=AC=2
，
，
，
故答案為：8．
13.（2022甘肅武威）如圖，在四邊形中，，，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形成為一個矩形，只需添加的一個條件是_______________．

【答案】解：需添加的一個條件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠A=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為：∠A=90°（答案不唯一）．
14.（2022銅仁）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢CM，使得∠ECM=30°，過點D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長為______（結果保留很號）．

【答案】解：如圖，連接AC交BD于點H，

由菱形的性質得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=．
故答案為：．
15.（2022黔東南）如圖，矩形的對角線，相交于點，//，//．若，則四邊形的周長是_______．

【答案】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD=BD=5，
∵//，//．，
∴四邊形CODE是平行四邊形，
∵OC=OD =5，
∴四邊形CODE是菱形，
∴四邊形CODE的周長為：4OC=4×5=20．
故答案為20．
16.（2022貴港）如圖，在中，，以點A為圓心、為半徑畫弧交于點E，連接，若，則圖中陰影部分的面積是_______．

【答案】解：過點D作DF⊥AB于點F，

∵，

∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB?AE= ，
∴S陰影=S?ABCD?S扇形ADE?S△EBC

=
故答案為：．
17.（2022海南）如圖，正方形中，點E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．

【答案】∵正方形
∴，
∵
∴（HL）
∴，
∵，
∴
∴
設
∴
∴



∵的面積等于1
∴，解得，（舍去）
∴
故答案為：60；．
18.（2022畢節(jié)）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．

【答案】解：∵，
∴，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線，

∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴則PQ的最小值為，
故答案為：．
19.（2022黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．

【答案】解：連接如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴
∵點M為BC的中點，
∴
由折疊得，∠
∴∠，
設則有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案為：
20.（2022安徽）如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，的圖象經(jīng)過點B．若，則________．

【答案】解：過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，


∴CD∥BE，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四邊形CDEB為平行四邊形，
∵CD⊥OA，
∴四邊形CDEB為矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案為3．
21.（2022安徽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M，N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G．連接DF，請完成下列問題：
（1）________°；
（2）若，，則________．

【答案】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD

∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如圖，作FH⊥CD于H，

∴∠FHD=90°
∴四邊形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴AGFH,
∴，
∴DM=，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+=．
故填： ．
三、解答題
22.（2022北部灣）如圖，在中，BD是它的一條對角線，

（1）求證：；
（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）連接BE，若，求的度數(shù)．
【答案】
（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，

（2）如圖，EF即為所求；

（3） BD的垂直平分線為EF，
，
，
，
，
．
23.（2022梧州）如圖，在中，E，G，H，F(xiàn)分別是上的點，且．求證：．

【答案】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
24.（2022北京）如圖，在中，交于點，點在上，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若求證：四邊形是菱形．
【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴，
即，
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形．
25.（2022賀州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點O．

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若AC平分，，求四邊形AFCE的面積．
【答案】
（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形


，即．
四邊形AFCE是平行四邊形．
（2）解：，
．
平分，
．
．
，由（1）知四邊形AFCE是平行四邊形，
平行四邊形AFCE是菱形．
，
在中，，
．

．
26.（2022福建）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．

（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．
【答案】
（1）∵，，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
（2）連接AO，CO．

由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的長．
27.（2022云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°

（1）求證：四邊形ABDF是矩形；
（2）若AD=5，DF=3，求四邊形ABCF的面積S．
【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠BAE=∠FDE，
∵E為線段AD的中點，
∴AE=DE，
又∵∠AEB=∠DEF，
∴≌（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∵∠BDF=90°，
∴四邊形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，
∴AB=DF=3，∠AFD=90°，
∴在中，，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=3，
∴CF=CD+DF=3+3=6，
∴．
28.（2022海南）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．

（1）當點P是的中點時，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長的最小值；
③如圖2，交于點H，點G是的中點，當時，請判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．
【答案】
（1）解：如圖9-1，在矩形中，，


即，
∴．
∵點P是的中點，
∴．
∴．
（2）①證明：如圖9-2，在矩形中，，


∴．
由折疊可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵點P是的中點，
∴．
由折疊可知，．
設，則．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如圖9-3，由折疊可知，．


∴．
由兩點之間線段最短可知，
當點恰好位于對角線上時，最?。?br /> 連接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：與的數(shù)量關系是．
理由是：如圖9-4，由折疊可知．


過點作，交于點M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴點H是中點．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵點G為中點，點H是中點，
∴．
∴．
∴．
∴．
29.（2022福建）已知，AB＝AC，AB＞BC．

（1）如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；
（2）如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關系，并證明；
（3）如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉（旋轉角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．
【答案】
（1）∵，
∴AC＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，
∵CB平分∠ACD，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
又∵AB＝AC，
∴四邊形ABDC是菱形；
（2）結論：．
證明：∵，
∴，
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，

∵AB＝CD，，
∴，
∴BM＝BD，，
∴，
∵，
∴，
設，，則，
∵CA＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即∠ADB＝30°．
30.（2022畢節(jié)）如圖1，在四邊形中，和相交于點O，．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是的中點，連接，若，求的周長．
【答案】
（1）證明：∵，
∴BC∥AD，
在△AOD和△COB中：，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴BC=AD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
（2）解：∵點E、F分別為BO和CO的中點，
∴EF是△OBC的中位線，
∴；
∵ABCD為平行四邊形，
∴BD=2BO，
又已知BD=2BA，
∴BO=BA=CD=OD，
∴△DOF與△BOA均為等腰三角形，
又F為OC的中點，連接DF，
∴DF⊥OC，
∴∠AFD=90°，
又G為AD的中點，
由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：；

過B點作BH⊥AO于H，連接HG，如上圖所示：
由等腰三角形的“三線合一”可知：AH=HO=AO=AC=4，
∴HC=HO+OC=4+8=12，
在Rt△BHC中，由勾股定理可知,
∵H為AO中點，G為AD中點，
∴HG為△AOD的中位線，
∴HG∥BD，即HG∥BE，
且，
∴四邊形BHGE為平行四邊形，
∴GE=BH=9，
∴．
31.（2022安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．

（1）如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．
（ⅰ）求∠CED的大??；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
【答案】
（1）證明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵CE⊥BD，
∴四邊形BCDE為菱形．
（2）
（?。└鶕?jù)解析（1）可知，BO=DO，


∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）連接EF，


∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵




∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
32.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．


①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
【答案】
（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．

（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；

②連結BD，
∵△AGC為直角三角形，，
∴AC=，
∴四邊形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．

33.（2022黔東南）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點在上．

求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（1）【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
（2）【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．


①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
【答案】
（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．

（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；

②連結BD，
∵△AGC為直角三角形，，
∴AC=，
∴四邊形ABCD正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．




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