?2022年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)練習(xí)：銳角三角函數(shù)
一、選擇題
1.（2022福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
2.（2022云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（ ）

A. B. C. D.
3.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
4.（2022北部灣）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（ ）

A. B. C. D.
5.（2022貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹(shù)的高度是（ ）

A. B. C. D.
6.（2022安徽）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A. B. 4 C. D. 5
7.（2022北部灣）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8（2022畢節(jié)）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長(zhǎng)度為（　?。?br />
A. B. C. D.
9.（2022貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（ ）

A. B. C. D.
10.（2022畢節(jié)）矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A. 3 B. C. D.
11.（2022黔東南）如圖，已知正六邊形內(nèi)接于半徑為的，隨機(jī)地往內(nèi)投一粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不對(duì)
12.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
二、填空題
13.（2022廣東）sin30°的值為_(kāi)____．
14.（2022玉林）計(jì)算：=_____．
15.（2022甘肅武威）如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．

16.（2022安徽）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．A，B兩點(diǎn)間的距離為 ．參考數(shù)據(jù)：，，．

17.（2022黔東南）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)，距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)的俯角為30°，小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①米；②米；③若直接從點(diǎn)處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫(xiě)序號(hào)，參考數(shù)值：，）

三、解答題
18.（2022北京）計(jì)算：


19.（2022貴港）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：


20.（2022黔東南）（1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．


21.（2022賀州）如圖，內(nèi)接于，AB是直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使得，連接EC，且，點(diǎn)D是上的點(diǎn)，連接AD，CD，且CD交AB于點(diǎn)F．

（1）求證：EC是的切線；
（2）若BC平分，求AD的長(zhǎng)．


22.（2022福建）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．

（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．


23.（2022貴港）圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊上，⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊相切于點(diǎn)E，．


（1）求證：是⊙的切線；
（2）若，，求⊙的半徑及的長(zhǎng)．


24.（2022畢節(jié)）如圖，在中，，D是邊上一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：；
（2）若，求直徑．


25.（2022安徽）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD．

（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．


26.（2022賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府計(jì)劃把這片區(qū)域改造為公園．現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測(cè)量煙囪的高度AB，因?yàn)椴荒苤苯拥竭_(dá)煙囪底部B處，測(cè)量人員用高為的測(cè)角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測(cè)得煙囪頂部A的仰角，同時(shí)量得CD為．問(wèn)煙囪AB的高度為多少米？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）



27.（2022梧州）今年，我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站，還通過(guò)釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測(cè)．某學(xué)校興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算氣球升空的高度AB．如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，垂足為點(diǎn)B，，， ，求AB的高度．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：﹐﹐，）



28.（2022海南）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓樓頂D處的俯角為，測(cè)得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測(cè)得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．

（1）填空：___________度，___________度；
（2）求樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；
（3）求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度．


29.（2022貴陽(yáng)）交通安全心系千萬(wàn)家．高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀和測(cè)速儀到路面之間的距離，測(cè)速儀和之間的距離，一輛小汽車(chē)在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀處測(cè)得小汽車(chē)在隧道入口點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀處測(cè)得小汽車(chē)在點(diǎn)的俯角為60°，小汽車(chē)在隧道中從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）．


（1）求，兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）；
（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）


30.（2022甘肅武威）灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水繞長(zhǎng)安，繞灞陵，為玉石欄桿灞陵橋”之語(yǔ)，得名灞陵橋（圖1），該橋?yàn)槿珖?guó)獨(dú)一無(wú)二的純木質(zhì)疊梁拱橋．某綜合實(shí)踐研究小組開(kāi)展了測(cè)量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動(dòng)，過(guò)程如下：
方案設(shè)計(jì)：如圖2，點(diǎn)C為橋拱梁頂部（最高點(diǎn)），在地面上選取A，B兩處分別測(cè)得∠CAF和∠CBF的度數(shù)（A，B，D，F(xiàn)在同一條直線上），河邊D處測(cè)得地面AD到水面EG的距離DE（C，F(xiàn)，G在同一條直線上，DF∥EG，CG⊥AF，F(xiàn)G=DE）．
數(shù)據(jù)收集：實(shí)地測(cè)量地面上A，B兩點(diǎn)的距離為8.8m，地面到水面的距離DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
問(wèn)題解決：求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．



31.（2022玉林）如圖，已知拋物線：與x軸交于點(diǎn)A，（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸是直線，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．


（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，則能否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．


32.（2022百色）已知拋物線經(jīng)過(guò)A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM ，交BC于點(diǎn)F

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在點(diǎn)M使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)


33.（2022甘肅武威）已知正方形，為對(duì)角線上一點(diǎn)．

（1）【建立模型】如圖1，連接，．求證：；
（2）【模型應(yīng)用】如圖2，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．
①判斷的形狀并說(shuō)明理由；
②若為的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
（3）【模型遷移】如圖3，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，．求證：．


34.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．


35.（2022貴陽(yáng)）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．
如圖，在中，為邊上的高，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得．

（1）問(wèn)題解決：
如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；
（2）問(wèn)題探究：
如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時(shí)的最小值；
（3）拓展延伸：
當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫(huà)出圖形，并求出的值．

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)練習(xí)：銳角三角函數(shù)參考答案
一、選擇題
1.（2022福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，則高AD約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
【答案】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，
∴．
∵AD為BC邊上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm．
故選：B．
2.（2022云南）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：∵AB是⊙O的直徑，AB?CD．
∴，
∴．
故選：B．
3.（2022福建）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中，，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到，點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺的刻度為0，則四邊形的面積是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
【答案】解：依題意為平行四邊形，
∵，，AB＝8，．

∴平行四邊形的面積=
故選B
4.（2022北部灣）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：，
，
是繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的長(zhǎng)=，
故選：B．
5.（2022貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹(shù)的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】設(shè)CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故選A．
6.（2022安徽）已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，

則，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故選：D
7.（2022北部灣）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故選：A．
8（2022畢節(jié)）如圖，某地修建一座高的天橋，已知天橋斜面的坡度為，則斜坡的長(zhǎng)度為（　?。?br />
A. B. C. D.
【答案】∵，，
∴，
解得：，
則．
故選：A．
9.（2022貴港）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，

∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴，
設(shè)，則，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故選：C．
10.（2022畢節(jié)）矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A. 3 B. C. D.
【答案】連接BF，與AE相交于點(diǎn)G，如圖，

∵將沿折疊得到
∴與關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故選 D
11.（2022黔東南）如圖，已知正六邊形內(nèi)接于半徑為的，隨機(jī)地往內(nèi)投一粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不對(duì)
【答案】解：如圖：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六邊形的面積，
∵⊙O的面積=πr2，
∴米粒落在正六邊形內(nèi)的概率為：，
故選：A．
12.（2022黔東南）如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：連結(jié)OA
∵、分別與相切于點(diǎn)A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故選A．

二、填空題
13.（2022廣東）sin30°的值為_(kāi)____．
【答案】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可：sin30°=．
14.（2022玉林）計(jì)算：=_____．
【答案】原式

15.（2022甘肅武威）如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________cm．

【答案】解： 菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，AC=4，
，，AO=OC=AC=2
，
，
，
故答案為：8．
16.（2022安徽）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．A，B兩點(diǎn)間的距離為 ．參考數(shù)據(jù)：，，．

【答案】解：∵A，B均在C的北偏東37°方向上，A在D的正北方向，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B兩點(diǎn)間的距離為96米．
17.（2022黔東南）如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹(shù)，距樹(shù)12米處有一棟教學(xué)樓，為了安全，學(xué)校決定砍伐該樹(shù)，站在樓頂處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為45°，點(diǎn)的俯角為30°，小青計(jì)算后得到如下結(jié)論：①米；②米；③若直接從點(diǎn)處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；④若第一次在距點(diǎn)的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.其中正確的是_______．（填寫(xiě)序號(hào)，參考數(shù)值：，）

【答案】解：過(guò)點(diǎn)D的水平線交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四邊形EACD為矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正確；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正確；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接從點(diǎn)A處砍伐，樹(shù)干倒向教學(xué)樓方向會(huì)對(duì)教學(xué)樓有影響；故③正確；
④∵第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，
∴點(diǎn)B到砍伐點(diǎn)的距離為：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距點(diǎn)A的8米處的樹(shù)干上砍伐，不會(huì)對(duì)教學(xué)樓造成危害.故④正確
∴其中正確的是①③④．
故答案為①③④．

三、解答題
18.（2022北京）計(jì)算：
【答案】解：

．
19.（2022貴港）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：
【答案】（1）解：原式；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為．
20.（2022黔東南）（1）計(jì)算：；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】（1）


；
（2）



∵，
∴原式=．
21.（2022賀州）如圖，內(nèi)接于，AB是直徑，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使得，連接EC，且，點(diǎn)D是上的點(diǎn)，連接AD，CD，且CD交AB于點(diǎn)F．

（1）求證：EC是的切線；
（2）若BC平分，求AD的長(zhǎng)．
【答案】
（1）證明：連接OC．
，
．
，
．
是的直徑，
．
．
，即．
又是的半徑，
是的切線．

（2）解：平分，
．
，
.
又，
．
又是的直徑，
．
在中，
，
．
．
在中，，
．
，AB是的直徑，
．
在中，，
．
22.（2022福建）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．

（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求的值．
【答案】
（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：

（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：

設(shè)，⊙A的半徑為r，
∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四邊形AEFG是矩形，
又，
∴四邊形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值為．
23.（2022貴港）圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊上，⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊相切于點(diǎn)E，．


（1）求證：是⊙的切線；
（2）若，，求⊙的半徑及的長(zhǎng)．
【答案】
（1）證明：如圖，作，垂足為H，連接，


∵，D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分線，
∵O在上，與相切于點(diǎn)E，
∴，且是的半徑，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半徑，
∴是的切線．
（2）解：如（1）圖，∵在中，，
∴可設(shè)，
∴，
則，
設(shè)的半徑為r，則，
∵，
∴，
∴，即，則，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：．
24.（2022畢節(jié)）如圖，在中，，D是邊上一點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：；
（2）若，求直徑．
【答案】（1）證明：連接OE，如下圖所示：

∵AC為圓O的切線，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF．
（2）5
25.（2022安徽）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD．

（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠ACE，求證：CE⊥AB．
【答案】
（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30
∴CD=2? OC=2
∴
∴
（2）證明：∵DC與⊙O相切
∴OCCD
即∠ACD+∠OCA=90
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90
∴∠AEC=90
∴CEAB
26.（2022賀州）如圖，在小明家附近有一座廢舊的煙囪，為了鄉(xiāng)村振興，美化環(huán)境，政府計(jì)劃把這片區(qū)域改造為公園．現(xiàn)決定用爆破的方式拆除該煙囪，為確定安全范圍，需測(cè)量煙囪的高度AB，因?yàn)椴荒苤苯拥竭_(dá)煙囪底部B處，測(cè)量人員用高為的測(cè)角器在與煙囪底部B成一直線的C，D兩處地面上，分別測(cè)得煙囪頂部A的仰角，同時(shí)量得CD為．問(wèn)煙囪AB的高度為多少米？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】設(shè)，
在中，
，得．
在中，
，得．
．
解方程，得．
．
答：煙囪AB的高度為53.2米
27.（2022梧州）今年，我國(guó)“巔峰使命”2022珠峰科考團(tuán)對(duì)珠穆朗瑪峰進(jìn)行綜合科學(xué)考察，搭建了世界最高海拔的自動(dòng)氣象站，還通過(guò)釋放氣球方式進(jìn)行了高空探測(cè)．某學(xué)校興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算氣球升空的高度AB．如圖，在平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，垂足為點(diǎn)B，，， ，求AB的高度．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：﹐﹐，）

【答案】解：設(shè)AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC=，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD=，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴，
解得，
答：AB的高度約為984m．
28.（2022海南）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓樓頂D處的俯角為，測(cè)得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測(cè)得樓的D處的仰角為（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．

（1）填空：___________度，___________度；
（2）求樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；
（3）求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面的高度．
【答案】
（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，

由題意得：
∴

（2）由題意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴樓的高度為米．
（3）作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，

則
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴無(wú)人機(jī)距離地面的高度為110米．
29.（2022貴陽(yáng)）交通安全心系千萬(wàn)家．高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀和測(cè)速儀到路面之間的距離，測(cè)速儀和之間的距離，一輛小汽車(chē)在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀處測(cè)得小汽車(chē)在隧道入口點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀處測(cè)得小汽車(chē)在點(diǎn)的俯角為60°，小汽車(chē)在隧道中從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）．


（1）求，兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）；
（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】
（1）
四邊形是平行四邊形

四邊形是矩形，

在中，

在中，


答：，兩點(diǎn)之間的距離為760米；
（2），
小汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)未超速．
30.（2022甘肅武威）灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水繞長(zhǎng)安，繞灞陵，為玉石欄桿灞陵橋”之語(yǔ)，得名灞陵橋（圖1），該橋?yàn)槿珖?guó)獨(dú)一無(wú)二的純木質(zhì)疊梁拱橋．某綜合實(shí)踐研究小組開(kāi)展了測(cè)量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動(dòng)，過(guò)程如下：
方案設(shè)計(jì)：如圖2，點(diǎn)C為橋拱梁頂部（最高點(diǎn)），在地面上選取A，B兩處分別測(cè)得∠CAF和∠CBF的度數(shù)（A，B，D，F(xiàn)在同一條直線上），河邊D處測(cè)得地面AD到水面EG的距離DE（C，F(xiàn)，G在同一條直線上，DF∥EG，CG⊥AF，F(xiàn)G=DE）．
數(shù)據(jù)收集：實(shí)地測(cè)量地面上A，B兩點(diǎn)的距離為8.8m，地面到水面的距離DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
問(wèn)題解決：求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．

【答案】解：設(shè)BF=x m，
由題意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF?tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°= ≈0.5，
∴x=22，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG約為16.9m．
31.（2022玉林）如圖，已知拋物線：與x軸交于點(diǎn)A，（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸是直線，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．


（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，則能否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】
（1）∵的對(duì)稱(chēng)軸為，
∴，即b=2，
∵過(guò)B點(diǎn)(2,0)，
∴，
∴結(jié)合b=2可得c=4，
即拋物線解析式為：；
（2）△POD不可能是等邊三角形，
理由如下：
假設(shè)△POD是等邊三角形，過(guò)P點(diǎn)作PN⊥OD于N點(diǎn)，如圖，


∵當(dāng)x=0時(shí)，，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，
∴OC=4，
∵D點(diǎn)是OC的中點(diǎn)，
∴DO=2，
∵等邊△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等邊△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1)，
經(jīng)驗(yàn)證P點(diǎn)不在拋物線上，
故假設(shè)不成立，
即△POD不可能是等邊三角形；
（3）∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根據(jù)（2）中的結(jié)果可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，
即OC=4，
∵B點(diǎn)(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分類(lèi)討論
第一種情況：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)，也為4，
當(dāng)y=4時(shí)，，
解得：x=1或者0，
∵P點(diǎn)在第一象限，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，
第二種情況：△BMH∽△PMC，
過(guò)P點(diǎn)作PG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖，


∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
設(shè)GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四邊形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P點(diǎn)在第一象限，
∴a=，
∴，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為()；
∵△BMH與△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，當(dāng)∠CPM為直角時(shí)，若∠PCM=∠BMH，則可證△PCM是等腰直角三角形，
通過(guò)相似可知△BMH也是等腰直角三角形，這與tan∠CBO=2相矛盾，故不存在當(dāng)∠CPM為直角時(shí)，∠PCM=∠BMH相等的情況；
同理不存在當(dāng)∠PCM為直角時(shí)，∠CPM=∠BMH相等的情況，
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,4)或者()．
32.（2022百色）已知拋物線經(jīng)過(guò)A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM ，交BC于點(diǎn)F

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在點(diǎn)M使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)
【答案】
（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）四邊形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)M在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，
，
設(shè)，
設(shè)直線OM的解析式為，
，
解得，
直線OM的解析式為，
設(shè)直線BC的解析式為，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直線BC的解析式為，
令，解得，則，
，
四邊形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
點(diǎn)M射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，解得或，
，
．
當(dāng)點(diǎn)M在線段BD上時(shí)，此時(shí)，，

，
，
，
由（2）得，
四邊形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
綜上，ME的長(zhǎng)為或．
33.（2022甘肅武威）已知正方形，為對(duì)角線上一點(diǎn)．

（1）【建立模型】如圖1，連接，．求證：；
（2）【模型應(yīng)用】如圖2，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．
①判斷的形狀并說(shuō)明理由；
②若為的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．
（3）【模型遷移】如圖3，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，．求證：．
【答案】
（1））證明：∵四邊形為正方形，為對(duì)角線，
∴，.
∵，
∴，
∴.
（2）①為等腰三角形.理由如下：
∵四邊形為正方形，
∴，
∴.
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴為等腰三角形.
②如圖1，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.
∵四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
∴，.
由①知，
∴，
∴.
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴.
在中，.
（3）如圖2，∵，
∴.
在中，，
∴.
由（1）得，
由（2）得，
∴.

34.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
【答案】
（1）解：∵在拋物線上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①連接交于點(diǎn)，如圖1所示：

∵與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
∴，，
設(shè)，則，
，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，連接，，如圖2所示：

∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，
過(guò)作，垂足為，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴

，
即的最小值為．
35.（2022貴陽(yáng)）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．
如圖，在中，為邊上的高，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得．

（1）問(wèn)題解決：
如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；
（2）問(wèn)題探究：
如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時(shí)的最小值；
（3）拓展延伸：
當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫(huà)出圖形，并求出的值．
【答案】
（1），
是等邊三角形，

四邊形平行四邊形，
，
，
為邊上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則
點(diǎn)在邊上，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；
（3）如圖，連接，


，則，
設(shè)， 則，，
折疊，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
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