?2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：最值問題
一、選擇題
1.（2022廣東）點，，，在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2022賀州）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.（2022安徽）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4.（2022梧州）如圖，已知拋物線的對稱軸是，直線軸，且交拋物線于點，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. B. 若實數(shù)，則
C. D. 當(dāng)時，
5.（2022北京）下面的三個問題中都有兩個變量：
①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；
②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；
③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x，其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6.（2022貴港）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. B. C. D. 最小值為
二、填空題
7.（2022甘肅武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時，飛行時間_________s．

8.（2022賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．

三、解答題
9.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，設(shè)拋物線的對稱軸為
（1）當(dāng)時，求拋物線與y軸交點的坐標(biāo)及的值；
（2）點在拋物線上，若求的取值范圍及的取值范圍．


10.（2022廣東）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，，，點P為線段上的動點，過P作交于點Q．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo)．


11.（2022福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．


12.（2022海南）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．

（1）當(dāng)點P是的中點時，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長的最小值；
③如圖2，交于點H，點G是的中點，當(dāng)時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．


13.（2022貴港）如圖，已知拋物線經(jīng)過和兩點，直線與x軸相交于點C，P是直線上方的拋物線上的一個動點，軸交于點D．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若軸交于點E，求的最大值；
（3）若以A，P，D為頂點的三角形與相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)．


14.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，點在軸上，且，，分別是線段，上的動點（點，不與點，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長交拋物線于點，當(dāng)軸，且時，求的長；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點在拋物線上時，求點的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，當(dāng)時，求的最小值．


15.（2022北京）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．

某運動員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．
（1）第一次訓(xùn)練時，該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：
水平距離x/m
0
2
5
8
11
14
豎直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系
（2）第二次訓(xùn)練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運動員第一次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為，則______（填“>”“=”或“0，開口向上，
∴在對稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∵當(dāng)0≤x≤a時，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，
∴當(dāng)x=a時，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值為4．
故選：D．
3.（2022安徽）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】解：如圖，

，，
∴
=
=
=
==，
∴，
設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，
則，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等邊三角形，
∴，
，
∴點P在平行于AB，且到AB的距離等于的直線上，
∴當(dāng)點P在CO的延長線上時，OP取得最小值，
過O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故選B．
4.（2022梧州）如圖，已知拋物線的對稱軸是，直線軸，且交拋物線于點，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. B. 若實數(shù)，則
C. D. 當(dāng)時，
【答案】解：∵拋物線的對稱軸是，
∴，
∴，
∵拋物線開口向上，
∴，
∴，
∴，故A說法正確，不符合題意；
∵拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線x=-1，
∴當(dāng)x=-1時，，
∴當(dāng)實數(shù)，則，
∴當(dāng)實數(shù)時，，故B說法正確，不符合題意；
∵當(dāng)時，，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C說法錯誤，符合題意；
∵，
∴直線l與拋物線的兩個交點分別在y軸的兩側(cè)，
∴，故D說法正確，不符合題意；
故選C．
5.（2022北京）下面的三個問題中都有兩個變量：
①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；
②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；
③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x，其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】解：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增大而減小，故①可以利用該圖象表示；
②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小，故②可以利用該圖象表示；
③設(shè)繩子的長為L，一邊長x，則另一邊長為，
則矩形的面積為：，
故③不可以利用該圖象表示；
故可以利用該圖象表示的有：①②，
故選：A．
6.（2022貴港）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. B. C. D. 最小值為
【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，
∴DF=CE，故A項答案正確，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C項答案正確，
∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，
∴當(dāng)點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D項錯誤，
故應(yīng)選：D
二、填空題
7.（2022甘肅武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時，飛行時間_________s．

【答案】解：∵h(yuǎn)=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴當(dāng)t=2時，h取最大值20，
故答案為：2．
8.（2022賀州）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．

【答案】解：如圖，在CD上取點H，使DH=DE，連接EH，PH，過點F作FK⊥CD于點K，

在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH為等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴當(dāng)點F、P、H三點共線時，的周長最小，最小值為FH+EF，
∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四邊形ADKF為矩形，
∴DK=AF=4，F(xiàn)K=AD=6，
∴HK=1，
∴，
∴FH+EF=，即的周長最小為．
故答案為：
三、解答題
9.（2022北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，設(shè)拋物線的對稱軸為
（1）當(dāng)時，求拋物線與y軸交點的坐標(biāo)及的值；
（2）點在拋物線上，若求的取值范圍及的取值范圍．
【答案】（1）（0，2）；2
（2）的取值范圍為，的取值范圍為
【解析】
【分析】（1）當(dāng)x=0時，y=2，可得拋物線與y軸交點坐標(biāo)；再根據(jù)題意可得點關(guān)于對稱軸為對稱，可得t的值，即可求解；
（2）拋物線與y軸交點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為（2t，c），根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當(dāng)點，點，（2t，c）均在對稱軸的右側(cè)時；當(dāng)點在對稱軸的左側(cè)，點，（2t，c）均在對稱軸的右側(cè)時，即可求解．
（1）解：當(dāng)時，，
∴當(dāng)x=0時，y=2，
∴拋物線與y軸交點的坐標(biāo)為（0，2）；
∵，
∴點關(guān)于對稱軸為對稱，
∴；
（2）解：當(dāng)x=0時，y=c，
∴拋物線與y軸交點坐標(biāo)為（0，c），
∴拋物線與y軸交點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為（2t，c），
∵，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，
當(dāng)點，點，（2t，c）均在對稱軸的右側(cè)時， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合題意，舍去），
當(dāng)點在對稱軸左側(cè)，點，（2t，c）均在對稱軸的右側(cè)時，點在對稱軸的右側(cè)，，
此時點到對稱軸距離大于點到對稱軸的距離，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，對稱軸為，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范圍為，的取值范圍為．
10.（2022廣東）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，，，點P為線段上的動點，過P作交于點Q．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo)．
【答案】
（1）解：∵點A（1，0），AB=4，
∴點B的坐標(biāo)為（-3，0），
將點A（1，0），B（-3，0）代入函數(shù)解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）得拋物線的解析式為，
頂點式為：，
則C點坐標(biāo)為：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直線BC的解析式為：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直線AC的解析式為：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
設(shè)直線PQ的解析式為：y=-2x+n，與x軸交點P，
由解得：，
∵P在線段AB上，
∴，
∴n的取值范圍為-6＜n＜2，
則


∴當(dāng)n=-2時，即P（-1，0）時，最大，最大值為2．
11.（2022福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】
（1）解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以拋物線的解析式為．
（2）設(shè)直線AB的解析式為，
將A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直線AB的解析式為．
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．
過點B作BE⊥PM，垂足為E．

所以


．
因為A（4，0），B（1，4），所以．
因為△OAB的面積是△PAB面積的2倍，
所以，．
設(shè)，則．
所以，
即，
解得，．
所以點P的坐標(biāo)為或（3，4）．
（3）


記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則
如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點

，




，
設(shè)
直線AB的解析式為．
設(shè)，則




整理得






時，取得最大值，最大值為
12.（2022海南）如圖1，矩形中，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．

（1）當(dāng)點P是的中點時，求證：；
（2）將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點F．
①證明，并求出在（1）條件下的值；
②連接，求周長的最小值；
③如圖2，交于點H，點G是的中點，當(dāng)時，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】
（1）解：如圖9-1，在矩形中，，


即，
∴．
∵點P是的中點，
∴．
∴．
（2）①證明：如圖9-2，在矩形中，，


∴．
由折疊可知，
∴．
∴．
在矩形中，，
∵點P是的中點，
∴．
由折疊可知，．
設(shè)，則．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
即．
②解：如圖9-3，由折疊可知，．


∴．
由兩點之間線段最短可知，
當(dāng)點恰好位于對角線上時，最?。?br /> 連接，在中，，
∴，
∴，
∴．
③解：與的數(shù)量關(guān)系是．
理由是：如圖9-4，由折疊可知．


過點作，交于點M，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴點H是中點．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵點G為中點，點H是中點，
∴．
∴．
∴．
∴．
13.（2022貴港）如圖，已知拋物線經(jīng)過和兩點，直線與x軸相交于點C，P是直線上方的拋物線上的一個動點，軸交于點D．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若軸交于點E，求的最大值；
（3）若以A，P，D為頂點的三角形與相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)．
【答案】
（1）解：（1）∵拋物線經(jīng)過和兩點，
∴
解得：，，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：∵，
∴直線表達(dá)式為，
∵直線與x軸交于點C，
∴點C的坐標(biāo)為，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
則，
設(shè)點P的坐標(biāo)為，其中，
則點D的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，且最大值為．
（3）解：根據(jù)題意，
在一次函數(shù)中，令，則，
∴點C的坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)∽時，如圖

此時點D與點C重合，
∴點D的坐標(biāo)為（2，0）；
∵軸，
∴點P的橫坐標(biāo)為2，
∴點P的縱坐標(biāo)為：，
∴點P的坐標(biāo)為（2，3）；
當(dāng)∽時，如圖，則，

設(shè)點，則點P為，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴點D的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為；
∴滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)為或，．
14.（2022甘肅武威）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，點在軸上，且，，分別是線段，上的動點（點，不與點，，重合）．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接并延長交拋物線于點，當(dāng)軸，且時，求的長；
（3）連接．
①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點在拋物線上時，求點的坐標(biāo)；
②如圖3，連接，當(dāng)時，求的最小值．
【答案】
（1）解：∵在拋物線上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①連接交于點，如圖1所示：

∵與關(guān)于軸對稱，
∴，，
設(shè)，則，
，
∴，
∵點在拋物線上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，連接，，如圖2所示：

∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)，，三點共線時，最小，最小為，
過作，垂足為，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴

，
即的最小值為．
15.（2022北京）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．

某運動員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．
（1）第一次訓(xùn)練時，該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：
水平距離x/m
0
2
5
8
11
14
豎直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系
（2）第二次訓(xùn)練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運動員第一次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為，則______（填“>”“=”或“

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這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題43 幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之函數(shù)法求最值 (含解析)，共26頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題42 幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之多線段的最值 (含解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題42 幾何中的最值問題之和長度有關(guān)的最值之多線段的最值 (含解析)，共31頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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