進(jìn)階訓(xùn)練9(范圍5.3.1～5.3.3)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知函數(shù)f(x)＝x2－x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)A.(－∞，－1)和(0，＋∞)B.(0，＋∞)C.(－1，0)和(1，＋∞)D.(1，＋∞)答案　D解析　法一　f(x)＝x2－x＝(x－1)2－，對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞).法二　易知f(x)的定義域?yàn)?/span>R，f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞).2.若函數(shù)f(x)＝－cos x＋ax為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A.[－1，＋∞)  B.[1，＋∞)C.(－1，＋∞)  D.(1，＋∞)答案　B解析　由題意可得：f′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，所以a≥1.3.(多選)如圖所示，函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)l，則(　　)A.函數(shù)f(x)有最大值B.函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值C.函數(shù)f(x)有最小值D.函數(shù)f(x)沒(méi)有最小值答案　BC解析　由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，函數(shù)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，且函數(shù)在此處取得最小值，沒(méi)有最大值.4.(多選)定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(　　)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，4)上是增函數(shù)B.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)C.函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值D.函數(shù)f(x)在x＝0處取得極小值答案　ABD解析　根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，f(x)在區(qū)間上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，4)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝0處取得極小值，沒(méi)有極大值，所以A，B，D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.5.已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf′(x)＋f(x)≤0，對(duì)任意的正數(shù)a，b，若a<b，則必有(　　)A.bf(b)≤af(a)  B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤bf(b)  D.af(b)≤bf(a)答案　A解析　設(shè)g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減或g(x)為常函數(shù).∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故選A.6.已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(a>0)上存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案　解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).又函數(shù)f(x)在區(qū)間(a>0)上存在極值，所以a<1<a＋，解得<a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.7.若函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為________.答案?。?/span>3解析　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)·(a∈R).當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(0)＝1，所以此時(shí)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意.當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得0<x<，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以f＝－＋1＝0，得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，則f′(x)＝6x(x－1)，當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)max＝f(0)＝1，又f(－1)＝－4，f(1)＝0，則f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為－3.8.已知函數(shù)f(x)＝px－－2ln x，若f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)p的最小值為________；若p>0，在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)>成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為________.答案　1　解析　∵函數(shù)f(x)＝px－－2ln x，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝p＋－＝.要使f(x)在定義域(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，只需f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥在(0，＋∞)上恒成立.∵＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，∴p≥1，∴實(shí)數(shù)p的最小值為1.由題意，知不等式f(x)>在[1，e]上有解.設(shè)F(x)＝f(x)－＝px－－2ln x－，x∈[1，e]，∴F′(x)＝p＋－＋＝>0，∴函數(shù)F(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，∴F(x)max＝F(e)＝－4>0，解得p>，∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為.9.在①f(x)在x＝1處取得最小值2，②f(x)在x＝－1處取得極大值6，③f(x)的極大值為6，極小值為2這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在下面的橫線(xiàn)上，并解答.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且________，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解　答案一　若選條件①：易知f′(x)＝3x2－3a，由得所以f(x)＝x3－3x－4，f′(x)＝3x2－3，x∈R.令f′(x)>0，得x<－1或x>1，令f′(x)<0，得－1<x<1.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞).答案二　若選條件②；易知f′(x)＝3x2－3a，由得所以f(x)＝x3－3x＋4，f′(x)＝3x2－3，x∈R.令f′(x)>0，得x<－1或x>1，令f′(x)<0，得－1<x<1.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞).答案三　若選條件③：易知f′(x)＝3x2－3a，x∈R.令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，則f(x)，f′(x)隨x的變化情況如表所示：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞).10.已知函數(shù)f(x)＝x＋，其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若f(x)>2對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍.解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x－，則f′(x)＝1＋>0，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又f(0)＝－1<0，f(1)＝1－>0，故?x0∈(0，1)，使得f(x0)＝0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上有1個(gè)零點(diǎn).(2)若f(x)>2對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即a>ex(2－x)恒成立，令g(x)＝ex(2－x)，則a>g(x)max.又g′(x)＝ex(1－x)，令g′(x)>0，得x<1；令g′(x)<0，得x>1，∴g(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，∴g(x)max＝g(1)＝e，∴a的取值范圍為(e，＋∞).二、能力提升11.已知常數(shù)a，b，c都是實(shí)數(shù)，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)≤0的解集為{x|－2≤x≤3}.若f(x)的極小值為－115，則a的值是(　　)A.－  B.C.2  D.5答案　C解析　依題意，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤3}，于是有3a>0，－2＋3＝－，－2×3＝，所以b＝－，c＝－18a，函數(shù)f(x)在x＝3處取極小值，所以f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，故－a＝－81，解得a＝2，故選C.12.設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－2aex－x，若不等式f(x)≤0在[－2，＋∞)上有解，則實(shí)數(shù)a的最小值為(　　)A.－－  B.－－C.－－  D.－1－答案　C解析　∵f(x)＝ex－2aex－x≤0在[－2，＋∞)上有解，∴a≥x3＋x2－3x＋1－在[－2，＋∞)上有解.令g(x)＝x3＋x2－3x＋1－，則g′(x)＝x2＋x－3＋＝(x－1)·，故當(dāng)x∈[－2，1)時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，故g(x)在[－2，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)min＝g(1)＝＋－3＋1－＝－－，則實(shí)數(shù)a的最小值為－－，故選C.13.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：m)，其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為 m3，且l≥2r，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬(wàn)元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)用為c(c>3)萬(wàn)元，該容器的總建造費(fèi)用為y萬(wàn)元.(1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求出該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的總建造費(fèi)用最少時(shí)的r的值.解　(1)設(shè)容器的容積為V，由題意，知V＝πr2l＋πr3.又V＝，故l＝＝－＝.由于l≥2r，因此0<r≤2，所以y＝2πrl·3＋4πr2c＝2πr···3＋4πr2c＝4π(c－2)r2＋，其定義域?yàn)?/span>(0，2].(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.當(dāng)r3－＝0時(shí)，r＝.令＝m，則m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2).①當(dāng)0<m<2，即c>時(shí)，若r＝m，則y′＝0；若r∈(0，m)，則y′<0；若r∈(m，2]，則y′>0.所以r＝m是該函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).②當(dāng)m≥2，即3<c≤時(shí)，若r∈(0，2]，則y′≤0(僅當(dāng)r＝2時(shí)，y′＝0)，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以r＝2是該函數(shù)的最小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)3<c≤時(shí)，總建造費(fèi)用最少時(shí)r＝2；當(dāng)c>時(shí)，總建造費(fèi)用最少時(shí)r＝.三、創(chuàng)新拓展14.已知三次函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a，b，c∈R)過(guò)點(diǎn)(3，0)，且函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線(xiàn)恰好是直線(xiàn)y＝0.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝9x＋m－1，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－2，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解　(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由已知條件得，解得b＝－3，c＝d＝0，所以f(x)＝x3－3x2.(2)由已知條件得，f(x)－g(x)＝x3－3x2－9x－m＋1在[－2，1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為y＝m與y＝x3－3x2－9x＋1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).令h(x)＝x3－3x2－9x＋1，則h′(x)＝3x2－6x－9，x∈[－2，1]，令h′(x)>0得－2≤x＜－1；令h′(x)<0得－1＜x≤1.所以h(x)max＝h(－1)＝6，又h(－2)＝－1，h(1)＝－10，所以h(x)min＝－10.數(shù)形結(jié)合，可知要使y＝m與y＝x3－3x2－9x＋1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則－1≤m＜6.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，6). 

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