【最新版】高中數(shù)學（新蘇教版）習題+同步課件進階訓練7(范圍4.3.1～4.3.3)-課件下載-教習網(wǎng)

進階訓練7(范圍4.3.1～4.3.3)一、基礎達標1.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么(　　)A.數(shù)列{a}是等比數(shù)列B.數(shù)列{2an}是等比數(shù)列C.數(shù)列{lg an}是等比數(shù)列D.數(shù)列{nan}是等比數(shù)列答案　A解析　利用等比數(shù)列的定義驗證即可.設{an}的公比為q(q≠0)，bn＝a，則＝＝＝q2，∴{bn}是等比數(shù)列，故A正確；＝2an＋1－an≠常數(shù)，故B錯誤；當an<0時，lg an無意義，故C錯誤；設cn＝nan，則＝＝≠常數(shù)，故D錯誤.故選A.2.(多選)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1，a3，a2成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q的值為(　　)A.1 B.－1 C.－ D.答案　AC解析　由題意知2a3＝a1＋a2，∴2a1q2＝a1q＋a1.又a1≠0，則2q2＝q＋1，∴q＝1或q＝－.故選AC.3.(多選)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝2S2，則數(shù)列{an}的公比q＝(　　)A.－1 B.1 C.－2 D.2答案　AB解析　當q＝1時，符合題意；當q≠1時，由S4＝2S2，得＝，解得q＝－1.綜上，q＝±1.4.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2an＋1(n∈N*)，則a1a3＋a2a4＋…＋a10a12＝(　　)A.×(410－1) B.×(411－1)C.× D.×答案　D解析　∵a1＝2，an＝2an＋1，∴{an}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，∴a1a3，a2a4，…，a10a12是公比為的等比數(shù)列，首項a1a3＝2×2×＝1，∴a1a3＋a2a4＋…＋a10a12＝＝×.故選D.5.我國古代數(shù)學典籍《九章算術》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有恒厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第幾天相逢？(　　)A.2 B.3 C.4 D.6答案　C解析　不妨設大鼠、小鼠每天穿墻的厚度構成數(shù)列{an}和{bn}，則由題意可知，數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；數(shù)列{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列.設第n天共穿厚度之和為Sn，則Sn＝＋＝2n－＋1，當n＝3時，S3＝<10，當n＝4時，S4＝>10，故第4天相逢，選C.6.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在函數(shù)y＝3x＋1＋m的圖象上，則m＝________.答案　－3解析　∵點(n，Sn)在函數(shù)y＝3x＋1＋m的圖象上，∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m.由Sn＝－Aqn＋A，比較可得m＝－3.7.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝5Sn＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________.答案　解析　∵an＝5Sn＋1，∴n≥2時，an－1＝5Sn－1＋1，兩式相減，得an－an－1＝5an，∴an＝－an－1，∴{an}為公比為－的等比數(shù)列.又a1＝5a1＋1，∴a1＝－，從而an＝.8.設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________.答案　－2解析　Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，得2an＋1＋an＋2＝0，所以an＋1(2＋q)＝0.又an＋1≠0，所以q＝－2.9.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)·an.設bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式.解　(1)由條件可得an＋1＝an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下.由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.10.設數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2，a1＝4.(1)求證：{an－3}是等比數(shù)列，并求an；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Tn.(1)證明　∵an＋1＝an＋2，a1＝4，∴an＋1－3＝(an－3).∵a1－3＝1≠0，∴{an－3}是首項為1，公比為的等比數(shù)列.∴an－3＝，∴an＝3＋.(2)解　由(1)知，an＝3＋，故Tn＝3n＋＝3n＋＝3n＋－.二、能力提升11.設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝，則＝________.答案　解析　法一　設數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，∵＝，∴q≠1，且＝，即1＋q5＝3，∴q5＝2.∴＝＝＝.法二　由＝可設S5＝k，S10＝3k(k≠0)，由等比數(shù)列中S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比數(shù)列，得S15－S10＝4k，S20－S15＝8k，解得S15＝7k，S20＝15k，則＝＝.12.對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”.若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項公式為an＋1－an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________.答案　2n＋1－2解析　∵an＋1－an＝2n，∴當n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.a1＝2滿足上式，∴an＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在數(shù)列{bn}中，b1＝1，點P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.解　(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，兩式相減得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，又a1＝2a1－2，∴a1＝2，∴{an}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n.∵點P(bn，bn＋1)在直線x－y＋2＝0上，∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，∴{bn}是等差數(shù)列.∵b1＝1，∴bn＝2n－1.(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1，②①－②得：－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2·－(2n－1)2n＋1＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6，∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.三、創(chuàng)新拓展14.如圖所示是畢達哥拉斯(Pythagoras)的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形……如此繼續(xù).若共得到1 023個正方形，設初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為________.答案　解析　設1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.由題意正方形邊長構成數(shù)列，，，…，其中第10項為＝，即所求最小正方形的邊長為.