進階訓練5(范圍3.3.1～3.3.2)一、基礎(chǔ)達標1.已知拋物線的焦點在x軸負半軸上，若p＝2，則其標準方程為(　　)A.y2＝－2x  B.x2＝－2yC.y2＝－4x  D.x2＝－4y答案　C解析　∵拋物線的焦點在x軸負半軸上，∴設(shè)拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0).又∵p＝2，∴拋物線的標準方程為y2＝－4x.故選C.2.拋物線y2＝2x上的一點A(2，y0)(y0>0)到其焦點的距離是(　　) A.  B.  C.3  D.答案　B解析　法一　∵點A(2，y0)(y0>0)在拋物線y2＝2x上，∴y0＝2.又∵拋物線y2＝2x的焦點為， ∴點A(2，2)到拋物線焦點的距離d＝＝，故選B.法二　∵點A(2，y0)(y0>0)在拋物線y2＝2x上，焦點為F，∴AF＝ 2＋＝2＋＝.故選B.3.(多選)已知拋物線y2＝4x上一點P到準線的距離為d1，到直線l：4x－3y＋11＝0的距離為d2，則d1＋d2的值可以為(　　)A.3  B.4  C.  D.答案　ABD解析　拋物線上的點P到準線的距離等于點P到焦點F(1，0)的距離，所以點F到直線4x－3y＋11＝0的距離為d1＋d2的最小值，所以(d1＋d2)min＝＝3，即d1＋d2≥3，故選ABD.4.若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個公共點，則實數(shù)k的值為(　　)A.  B.0C.或0  D.8或0答案　C解析　由可得ky2－y＋2＝0.若k＝0，則直線與拋物線只有一個交點(4，2)；若k≠0，則Δ＝1－8k＝0，所以k＝.綜上可知k＝0或，故選C.5.設(shè)拋物線C：x2＝4y的焦點為F，直線y＝kx＋2與C交于A，B兩點，且AF·BF＝25，則k的值為(　　)A.±2  B.－1C.±1  D.－2答案　A解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知k≠0，由得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，所以y1y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2.因為拋物線C：x2＝4y的準線方程為y＝－1，所以AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AF·BF＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25，所以k＝±2.故選A.6.若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y軸的距離是________.答案　9解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線為x＝－1，由M到焦點的距離為10，可知M到準線x＝－1的距離也為10，故M的橫坐標滿足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以點M到y軸的距離為9.7.若雙曲線－＝1(p>0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則p＝________.答案　4解析　雙曲線－＝1的標準方程為－＝1，由此c2＝3＋，知左焦點為.由y2＝2px得準線為x＝－，∴－ ＝－，又p>0，∴p＝4.8.已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2，2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若·＝0，則k等于________.答案　2解析　由拋物線C：y2＝8x得焦點(2，0)，由題意可知斜率k≠0，設(shè)直線AB為my＝x－2，其中m＝.聯(lián)立得到y2－8my－16＝0，Δ＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16.又＝(x1＋2，y1－2)，＝(x2＋2，y2－2)，所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)·(y2－2)＝(my1＋4)(my2＋4)＋(y1－2)(y2－2)＝(m2＋1)y1y2＋(4m－2)(y1＋y2)＋20＝－16(m2＋1)＋(4m－2)×8m＋20＝4(2m－1)2.由4(2m－1)2＝0，解得m＝.所以k＝＝2.9.已知拋物線C：y2＝－2x，過點P(1，1)且斜率為k的直線l.當k分別取何值時，l與C有且只有一個公共點、有兩個公共點、無公共點？解　由題意得，直線l的方程為y－1＝k(x－1)，將x＝－代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0.(1)當k＝0時，y＝1，把y＝1代入y2＝－2x中，得x＝－，直線l與拋物線C只有一個公共點.(2)當k≠0時，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4.由Δ＝0得，k＝. ∴當k<或k>時，Δ<0，l與C無公共點.當k＝時，Δ＝0，l與C有且只有一個公共點.當<k<且k≠0時，Δ>0，l與C有兩個公共點.綜上，當k＝或k＝0時，l與C有且只有一個公共點；當<k<0或0<k<時，l與C有兩個公共點；當k<或k>時，l與C無公共點.10.求以(1，－1)為中點的拋物線y2＝8x的弦所在的直線方程.解　設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由得又∵kAB＝.⑤由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，∴＝，將④⑤代入上式可得kAB＝－4.故弦所在的直線方程為y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.二、能力提升11.已知圓x2＋y2＝r2(r>0)與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，與拋物線的準線交于C，D兩點.若四邊形ABCD是矩形，則r＝(　　)A.  B.C.  D.答案　C解析　由對稱性可假設(shè)點A在第一象限，易得C.由四邊形ABCD是矩形，可知A.將點A坐標代入y2＝2x得r2－＝1，解得r＝，故選C.12.已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，則點A的坐標為________.答案　(2，±2)解析　如圖所示，由題意，可得OF＝1，由拋物線的定義，得AF＝AM.因為△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，所以＝＝3.所以AF＝AM＝3OF＝3.設(shè)A，所以＋1＝3，所以＝2，解得y0＝±2.所以點A的坐標是(2，±2).13.如圖，在直角坐標系xOy中，點P到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線的距離為，點M(t，1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB的中點Q(m，n)總在直線OM上.(1)求拋物線C的方程及t的值；(2)記d＝，求d的最大值.解　(1)∵拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線為直線x＝－，∴1－＝，p＝，∴拋物線C的方程為y2＝x.又點M(t，1)在拋物線C上，∴t＝1.(2)由(1)知點M(1，1)，從而n＝m，即點Q(m，m)(m>0).依題意，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，k＝.∴直線AB的方程為y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由整理得y2－2my＋2m2－m＝0，∴Δ＝4m－4m2>0，∴0<m<1，則y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.從而AB＝|y1－y2|＝＝2∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，當且僅當m＝1－m，即m＝時，等號成立.又m＝滿足Δ＝4m－4m2>0，∴d的最大值為1.三、創(chuàng)新拓展14.已知y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C，AF與BC相交于點E.若CF＝2AF，且△ACE的面積為3，則p的值為________.答案　解析　由題意得F，CF＝p－＝3p.又CF＝2AF，則AF＝p，由拋物線的定義得AB＝p，所以xA＝p，則|yA|＝p.由CF∥AB得＝，即＝＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，所以×3p×p＝9，則p2＝6，又p>0，所以p＝. 

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