進(jìn)階訓(xùn)練4(范圍3.1～3.2)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知直線2x＋y－2＝0經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，則橢圓的方程為(　　)A.＋＝1  B.＋y2＝1C.＋＝1  D.＋＝1答案　A解析　由題意，直線2x＋y－2＝0經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，可得c＝1，b＝2，可得a＝＝，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，故選A.2.已知雙曲線－y2＝1(a>0)的離心率是，則a＝(　　)A.  B.4C.2  D.答案　D解析　由雙曲線方程可得c2＝a2＋1，則e2＝＝＝5，解得a2＝.又因?yàn)?/span>a>0，所以a＝.3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過點(diǎn)F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為5.若2a＝8，則△ABF2的周長(zhǎng)是(　　)A.16  B.18  C.21  D.26答案　D解析　∵AF2－AF1＝2a＝8，BF2－BF1＝2a＝8，∴AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝16，∴AF2＋BF2＝16＋5＝21，∴△ABF2的周長(zhǎng)為AF2＋BF2＋AB＝21＋5＝26.4.(多選)雙曲線C與橢圓＋＝1有相同的焦距，一條漸近線的方程為x－2y＝0，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為(　　)A.－y2＝1  B.y2－＝1C.x2－＝1  D.－x2＝1答案　AB解析　由題知c＝.設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，∴－＝1，∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，∴λ＝4或λ＝－4.故選AB.5.如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn)，若M，O，N將橢圓的長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是(　　)A.3  B.2 C.  D.答案　B解析　設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為＋＝1(a>b>0)，－＝1(m>0，n>0).因?yàn)樗鼈児步裹c(diǎn)，所以設(shè)它們的半焦距均為c，所以橢圓與雙曲線的離心率分別為e1＝，e2＝.由點(diǎn)M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分可知m＝a－m，即2m＝a，所以＝＝＝2.6.若方程＋＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________.答案　m>且m≠1解析　由方程＋＝1表示橢圓，得解得m>且m≠1.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________.答案　y＝±x解析　將點(diǎn)(3，4)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得9－＝1(b>0)，解得b＝，則該雙曲線的漸近線方程是y＝±x＝±x.8.若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為________.答案　y＝±x解析　因?yàn)?/span>e＝＝，所以設(shè)a＝4k，c＝k(k>0)，則b＝k，所以對(duì)應(yīng)雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.9.求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)短軸長(zhǎng)等于2，離心率等于的橢圓；(2)與橢圓＋＝1共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(4，5)的雙曲線.解　(1)由題意可知，短半軸長(zhǎng)b＝，離心率e＝＝，因?yàn)?/span>a2＝b2＋c2，所以a＝2.若焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，±3)，可設(shè)雙曲線方程為－＝1(0<m<9)，將點(diǎn)(4，5)代入可得－＝1(0<m<9)，整理可得，m2－50m＋225＝0.解得m＝5或m＝45(舍去)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.10.如圖，圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點(diǎn)A(1，0)，Q為圓上一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程.解　連接MA(圖略).由垂直平分線性質(zhì)可知MQ＝MA，∴CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，∴CM＋MA＝5>2.∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓，其中2a＝5，焦點(diǎn)為C(－1，0)，A(1，0)，∴a＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝－1＝.∴所求的軌跡方程為＋＝1，即＋＝1.二、能力提升11.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的方程為＋＝1，則m越大，該橢圓的形狀(　　)A.越接近于圓 B.越扁C.先接近于圓后越扁 D.先越扁后接近于圓答案　A解析　設(shè)橢圓的離心率為e，由題意得m>1且4m>m2－1，即1<m<2＋，所以e2＝＝1＋，則m越大，離心率e越小，所以橢圓越接近于圓，故選A.12.已知點(diǎn)P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，F1，F2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且PF1⊥PF2.若△F1PF2的面積是9，則a＋b的值為(　　)A.4  B.5  C.6  D.7答案　D解析　設(shè)PF1＝m，PF2＝n，則|m－n|＝2a，①又因?yàn)?/span>PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.又因?yàn)?/span>△F1PF2的面積是9，所以mn＝9，所以c2－a2＝9.又因?yàn)殡p曲線的離心率＝，所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.13.如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且＝2，求橢圓的方程.解　(1)由∠F1AB＝90°及橢圓的對(duì)稱性知b＝c，則e＝＝＝＝.(2)由已知a2－b2＝1，F2(1，0)，A(0，b)，設(shè)B(x，y)，則＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3，因此b2＝2，所以橢圓的方程為＋＝1.三、創(chuàng)新拓展14.已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)在圓x2＋y2＝5上，則m的值是________.答案　±1解析　由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(m，2m)，又因?yàn)辄c(diǎn)(m，2m)在圓x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1. 

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