《5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象》教學(xué)設(shè)計一、教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第四節(jié)《三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)》。以下是本節(jié)的課時安排： 二、學(xué)情分析課時內(nèi)容正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)所在位置教材第196頁教材第201頁教材第209頁  新教材內(nèi)容分析對于畫正弦函數(shù)的圖象，教材突出了單位圓的作用，充分利用了三角函數(shù)周期性的特點，從畫函數(shù)圖象上任一點出發(fā)，明確作圖的原理，再畫出具有代表性的點，初步感受圖象的特點，最后畫出足夠多的點，得到對正弦圖象的直觀認識。借助已知的直線函數(shù)圖象來畫余弦函數(shù)的圖象，加強了兩者的聯(lián)系，體現(xiàn)了化歸思想。借助對圖象特征的觀察獲取函數(shù)的性質(zhì)是一個基本方法。教材通過探究，引導(dǎo)學(xué)生明確三角函數(shù)性質(zhì)的研究內(nèi)容，選擇適當(dāng)?shù)难芯糠椒ā?/span>教材首先通過誘導(dǎo)公式，先從代數(shù)的角度獲得正切函數(shù)的周期性與奇偶性，將正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)歸結(jié)為區(qū)間上的圖象與性質(zhì)，利用正切函數(shù)的定義，可以得到正切函數(shù)值的變化趨勢，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過正弦余弦函數(shù)的圖象及應(yīng)用，提升直觀想象的核心素養(yǎng).通過圖象，引導(dǎo)學(xué)生探究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。通過圖象，引導(dǎo)學(xué)生探究正切函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線正、余弦函數(shù)的圖象正切函數(shù)的性質(zhì)   本節(jié)的主要內(nèi)容是正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，上一節(jié)學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，為本節(jié)研究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)奠定了基礎(chǔ) ，為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的研究打好基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用，因此，本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位。三、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解并掌握正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.會利用正切線及正切函數(shù)的性質(zhì)作正切函數(shù)的圖象，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3.能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。四、教學(xué)重點重點：正切函數(shù)的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性 難點：能夠應(yīng)用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)問題。  五、教學(xué)過程 （一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題 事實上,中午的氣溫較早晨高,主要原因是早晨太陽斜射大地,中午太陽直射大地.在相同的時間、相等的面積里,物體在直射狀態(tài)下比在斜射狀態(tài)下吸收的熱量多,這就涉及太陽光和地面的角度問題. 想一想：研究太陽光和地面的角度問題常常用到哪個函數(shù)的性質(zhì)與圖象呢?提示：正切函數(shù).（二）正切函數(shù)的性質(zhì)、圖象【探究1】根據(jù)正切函數(shù)的定義，正切函數(shù)y=tan x的定義域是什么?【提示】正切函數(shù)y=tan x的定義域為  。   【探究2】誘導(dǎo)公式tan(π+x)=tan x,說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)?【提示】周期性.周期是。【思考】直線y＝a與y＝tanx的圖象相鄰兩交點之間的距離是多少？【提示】由圖象結(jié)合正切函數(shù)的周期性可知，兩交點之間的距離為π【探究3】誘導(dǎo)公式tan(-x)=-tan x說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)?【提示】奇偶性.正切函數(shù)是奇函數(shù)。 【探究4】如何作出正切函數(shù)的圖象？【提示】①當(dāng)x∈時，線段AT的長度就是相應(yīng)角x的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數(shù)y＝tan x，x∈的圖象，如圖所示．再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出(－，0)的圖象，根據(jù)周期性作其他周期內(nèi)圖象．②“三點兩線法”“三點”分別為(kπ，0)，，，其中k∈Z；兩線為直線x＝kπ＋和直線x＝kπ－，其中k∈Z.(兩線也稱為正切曲線的漸近線，即無限接近但不相交)．【思考】正切函數(shù)y＝tan x的圖象與x＝kπ＋，k∈Z有公共點嗎？【提示】沒有．正切曲線是由被互相平行的直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的．【探究5】從正切線上觀察正切值,在 上是增加的嗎?在上是增加的嗎?【提示】在    上是增加的,在   上也是增加的.【探究6】根據(jù)正切曲線觀察，正切函數(shù)是否具有對稱性？【提示】正切函數(shù)無對稱軸，有無數(shù)個對稱中心，坐標(biāo)為,k 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：圖象定義域值域R周期性最小正周期：π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性遞增區(qū)間，k∈Z對稱性對稱中心坐標(biāo)，k∈Z 【辯1辯】1．正切函數(shù)的定義域和值域都是R.(　×　)2．正切函數(shù)圖象是中心對稱圖形，有無數(shù)個對稱中心．(　√　)3．正切函數(shù)圖象有無數(shù)條對稱軸，其對稱軸是x＝kπ±，k∈Z.(　×　)4．正切函數(shù)是增函數(shù)．(　×　) 【設(shè)計意圖】通過探究讓學(xué)生理解正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，提高學(xué)生分析問題的能力。 （三）典型例題1.正切函數(shù)的周期性例1.求下列函數(shù)的周期(1)y＝2tan(2x＋)；(2)y＝3tan(x－)．【解析】解法1：令z＝2x＋，那么函數(shù)y＝2tanz的周期是π.由于z＋π＝(2x＋)＋π＝2(x＋)＋，所以自變量x只要并且至少要增加到x＋時，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T＝是能使等式2tan[2(x＋T)＋]＝2tan(2x＋)成立的最小正數(shù)，從而函數(shù)(2)令z＝x－，那么函數(shù)y＝3tanz的周期是π.由于z＋π＝(x－)＋π＝(x＋2π)－，所以自變量x只要并且至少要增加到x＋2π時，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T＝2π是能使等式3tan[(x＋T)－]＝3tan(x－)成立的最小正數(shù)，從而函數(shù)y＝3tan(x－)的周期是2π.解法2：(1)∵T＝，ω＝2，∴T＝.∴y＝2tan(2x＋)的周期為.(2)∵T＝，ω＝，∴T＝2π.∴y＝3tan(x－)的周期為2π.【類題通法】求函數(shù)最小正周期的方法(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．(2)公式法，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝(3)圖象法，即通過畫出函數(shù)圖象，通過圖象直接觀察即可．【鞏固練習(xí)1】求下列函數(shù)的最小正周期：(1)y＝tan(－x)；(2)y＝tan(3x＋)．【解析】　(1) ，∴y＝tan(－x)的最小正周期為2π.(2)∴y＝tan(3x＋)的最小正周期是.2.正切函數(shù)的奇偶性例2. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|；(2)f(x)＝x2tanx－sin2x.【解析】　(1)因為該函數(shù)的定義域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，關(guān)于原點對稱，且f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx＋|tanx|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．(2)因為函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．【類題通法】判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)利用定義判斷一個函數(shù)f(x)的奇偶性,要考慮兩方面:①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱;②f(-x)與f(x)的關(guān)系;(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是:①定義法;②圖象法. （3）若函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否則為非奇非偶函數(shù)．【鞏固練習(xí)2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)y＝tanx(－≤x<)；(2)y＝xtan2x＋x4；(3)y＝sinx＋tanx.【解析】　(1)∵定義域[－，)不關(guān)于原點對稱，∴它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)定義域為{x|x≠＋，k∈Z}，關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它是偶函數(shù)．(3)定義域為{x|x≠kπ＋，k∈Z}，關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函數(shù)． 3.正切函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間例3.求函數(shù)y＝tan的定義域，并指出它的單調(diào)性．【解析】　要使函數(shù)有意義，自變量x的取值應(yīng)滿足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，∴函數(shù)的定義域為.令kπ－<3x－<kπ＋(k∈Z)，即－<x<＋(k∈Z)．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，不存在單調(diào)遞減區(qū)間．【變式 】求函數(shù)y＝tan的單調(diào)區(qū)間。【解析】y＝tan(?3x?)＝－tan(3x+)，由kπ－<3x+<kπ＋(k∈Z)，得 - <x<＋，k∈Z.∴函數(shù)y＝tan(?3x? )的單調(diào)遞減區(qū)間是( -   , ＋)，k∈Z,無單調(diào)遞增區(qū)間. 【類題通法】1.求正切函數(shù)定義域的方法求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tan x有意義，即x≠＋kπ，k∈Z.求正切型函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定義域時，要將“ωx＋φ”視為一個“整體”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.2.求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，求得x的范圍即可．(2)若ω<0，可利用誘導(dǎo)公式先把y＝Atan(ωx＋φ)轉(zhuǎn)化為y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．【鞏固練習(xí)3】求函數(shù)y＝3tan的定義域，并指出它的單調(diào)性。y＝3tan(－)＝－3tan(－)，要使函數(shù)有意義，自變量x的取值應(yīng)滿足－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠ (k∈Z)，∴函數(shù)的定義域為.由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，得4kπ－<x<4kπ＋，k∈Z.∴y＝3tan(－)的單調(diào)遞減區(qū)間為(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z.不存在增區(qū)間．4.正切函數(shù)的圖象及應(yīng)用例4. 　(1)在區(qū)間上，函數(shù)y＝tan x與y＝sin x的圖象的交點個數(shù)為(　　)A．1　　　　　　　　 B．2C．3  D．4(2)作出函數(shù)y＝tan|x|的圖象；(3)利用正切圖象求解不等式tan x≥.【解析】　(1)法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中，先作出函數(shù)y＝sin x與y＝tan x在的圖象，當(dāng)x∈時，有sin x＜x＜tan x(利用單位圓中的正弦線、正切線可證明)，然后利用對稱性、周期性作出x∈上兩函數(shù)的圖象(注意正切函數(shù)的定義域)，如圖所示，由圖象可知它們有三個交點．法二：令sin x＝tan x＝，得sin x＝0，解得sin x＝0或cos x＝1.在x∈內(nèi)，x＝－π，0，π滿足sin x＝0，x＝0滿足cos x＝1，故交點個數(shù)為3.(2)y＝tan|x|＝其圖象如下：(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線y＝，如圖所示，顯然在上，x＝滿足tan x＝.由圖可知在上，使不等式tan x≥成立的x的取值范圍是≤x＜.故使不等式成立的x的集合為. 【類題通法】對于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．解形如tan x>a的不等式的步驟： 【鞏固練習(xí)4】1.求不等式tan≥1的解集．【解析】　由已知可得kπ＋≤2x＋<kπ－，解得≤x<－，k∈Z，∴不等式tan≥1的解集為.2.求y＝的定義域.【解析】由－tan x≥0得，tan x≤.結(jié)合y＝tan x的圖象可知，在上，滿足tan x≤的角x應(yīng)滿足－<x≤，所以函數(shù)y＝的定義域為，5.正切函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用例5.比較tan 1、tan 2、tan 3的大小．【解析】∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵<2<π，∴－<2－π<0.∵<3<π，∴－<3－π<0，顯然－<2－π<3－π<1<，且y＝tan x在內(nèi)是增函數(shù)，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. 【類題通法】運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法(1)運用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．(2)運用單調(diào)性比較大小關(guān)系．【鞏固練習(xí)5】比較tan π與tan的大?。?/span>【解析】 tan π＝tan＝tan ，tan＝－tan π＝－tan＝－tan＝tan ，∵－<<<，y＝tan x在上單調(diào)遞增，∴tan <tan ，即tan π>tan （四）操作演練  素養(yǎng)提升1．y＝tan(x＋π)是(　　)A．奇函數(shù)　　　　　　　　 B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)  D．非奇非偶函數(shù)2．y＝4tan的最小正周期為(　　)A.　　　　　B.　　　　C.　　　　D.3．函數(shù)f(x)＝tan的定義域是________，f＝________.4．函數(shù)y＝tan （-x）的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 答案：1.A  2.B   3.：　   4.(k∈Z) 【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。 （五）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？                                                                                                                                                          （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。六、布置作業(yè) 完成教材：第213頁  練習(xí)     第1，2，3,4,5題         第213頁  習(xí)題5.4     第7,8,9,13,14題   
  

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5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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