一、教材分析
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第五節(jié)《三角恒等變換》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
二、學(xué)情分析
本節(jié)的主要內(nèi)容是由兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，運(yùn)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和代數(shù)變形，得到其它的和差角公式。讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程,體會(huì)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2．會(huì)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計(jì)算等，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
3．熟悉兩角差的余弦公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法，強(qiáng)化邏輯推理的核心素養(yǎng)。
四、教學(xué)重點(diǎn)
重點(diǎn)：了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．
難點(diǎn)：會(huì)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計(jì)算等。
五、教學(xué)過程
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
我們知道cs45°＝eq \f(\r(2),2)，cs30°＝eq \f(\r(3),2).請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一個(gè)問題：cs15°＝cs(45°－30°)＝cs45°－cs30°成立嗎？答案當(dāng)然是不成立，因?yàn)閏s15°的值應(yīng)該是一個(gè)正值，而cs45°－cs30°是一個(gè)負(fù)值，那么cs15°的值與cs45°和cs30°之間到底存在什么關(guān)系呢？
2.探索交流，解決問題
如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A(1,0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β，α－β，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P1、A1、P.
P1、A1、P點(diǎn)的坐標(biāo)如何表示？eq \x\t(AP)與eq \x\t(A1P1)有什么關(guān)系？
【提示】根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，
AP與A1P1 重合，從而， 所以AP＝A1P1
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得
csα?β?12+sinα?β2=(csα?csβ)2+(sinα?sinβ)2，
化簡得:
csα?β=csαcsβ+sinαsinβ
當(dāng)α=2kπ＋β （k∈Z）時(shí)，容易證明上式仍然成立．
（二）兩角差的余弦公式
兩角差的余弦公式：
對(duì)于任意角α，β有 csα?β=csαcsβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））
此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α－β的余弦之間的關(guān)系，
稱為差角的余弦公式，簡記作Ｃ(α－β).
注意：(1)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
公式的左邊是差角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和式，可用口訣“余余正正號(hào)相反”記憶公式．
(2)公式中的角α，β
公式中的角α，β不僅可以是任意具體的角，而且可以也可以是一個(gè)“團(tuán)體”，如cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α＋β,2)－\f(α－β,2)))中的“eq \f(α＋β,2)”相當(dāng)于公式中的α，“eq \f(α－β,2)”相當(dāng)于公式中的β.
(3)公式的靈活應(yīng)用
首先是公式的逆用，可以把符合公式特點(diǎn)的展開式合并，其次是角的靈活變化，如cs α＝cs[(α＋β)－β]．
【辨一辨】判斷正誤
(1)存在角α，β，使cs(α－β)＝cs α－cs β.( )
(2)對(duì)于任意角α，β，總有cs(α－β)＝cs α－cs β.( )
(3)對(duì)于任意角α，β，總有cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
【做一做1】求cs 75°的值．
【解析】 cs 75°＝cs(120°－45°)＝cs 120°cs 45°＋sin 120°sin 45°＝－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
【做一做2】已知α為銳角，β為第三象限角，且cs α＝eq \f(12,13)，sin β＝－eq \f(3,5)，則cs(α－β)的值為( )
A．－eq \f(63,65)B．－eq \f(33,65)
C．eq \f(63,65) D．eq \f(33,65)
【解析】∵α為銳角，且cs α＝eq \f(12,13)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13).
∵β為第三象限角，且sin β＝－eq \f(3,5)，∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).
【答案】A
【設(shè)計(jì)意圖】通過探究讓學(xué)生理解兩角差的余弦公式， 提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素 。
（三）典型例題
1.正用公式求值
例1. 已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cs β的值．
【解析】因?yàn)棣?，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以0

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5.5 三角恒等變換

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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