教學設計
一、教材分析
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第五節(jié)《三角恒等變換》。以下是本節(jié)的課時安排：
二、學情分析
本節(jié)的主要內(nèi)容是由兩角和的正弦、余弦、正切公式推導二倍角公式，讓學生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學生數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。
三、學習目標
1、能夠利用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導二倍角公式，并能應用，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；
2、掌握二倍角公式及變形公式，能靈活運用二倍角公式解決有關的化簡、求值、證明問題，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。
四、教學重點
重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎，推導二倍角正弦、余弦和正切公式．
難點：二倍角的理解及其靈活運用．
五、教學過程
（一）新知導入
1. 創(chuàng)設情境，生成問題
在我們接觸到的事物中，帶有一般性的事物總是大開大合，縱橫馳騁，往往包含一切，而特殊的事物則是小巧玲瓏，溫婉和融，往往顯出簡潔，奇峻之美．三角函數(shù)的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是帶有一般性的，一般性中又蘊含著特殊性，即兩角相等的情形，那么這些二倍角又有什么簡潔，奇峻之美呢？
2.探索交流，解決問題
【探究】利用Cα＋β、Sα＋β、Tα＋β，令α＝β可推出什么公式？
【提示】sin 2α＝2sinαcsα
cs 2α＝cs2α－sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
【設計意圖】
通過復習初中所學角的單位及定義，類比長度的不同度量制，用類比的方法、聯(lián)系的觀點引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
注意：1.對于“二倍角”應該有廣義上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2 ·α,2n＋1)(n∈N*)．
2.二倍角公式的應用：
（1）．正用：從條件出發(fā)，順著問題的線索，以“展開”公式的方式使用．
（2）．逆用：逆向轉(zhuǎn)換，應用時要求對公式特點有一個整體感知．
主要形式有2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs2α－sin2α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2α)＝tan 2α等．
（3）．二倍角公式變形用：①升冪公式：1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α，1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2.
②降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，(sin α±cs α)2＝1±sin 2α.
【做一做1】已知sin2 α＝513，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求sin 4α，cs 4α，tan 4α的值．
【解析】∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2α∈π2，π，∵sin2 α＝513，∴cs2 α＝?1213.
∴sin 4α＝2sin2 αcs 2α＝2×513×（?1213）＝?120169，
cs 4α＝2cs22α－1＝2×?12132－1＝119169，
∴tan 4α＝sin4αcs4α＝?120119.
（三）典型例題
1.給角求值
例1.(1)sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)；(2)1－2sin2750°；
(3)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)；(4)cs 20°cs 40°cs 80°.
【解析】 (1)原式＝eq \f(2sin\f(π,12)cs\f(π,12),2)＝eq \f(sin\f(π,6),2)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝cs(2×750°)＝cs 1 500°＝cs(4×360°＋60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
(3)原式＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4?sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°?,2sin 10°cs 10°)＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
(4)原式＝eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)＝eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)
＝eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)＝eq \f(sin 160°,8sin 20°) ＝eq \f(1,8).
【類題通法】1．同角三角函數(shù)關系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等都可應用于三角函數(shù)式的化簡．在應用時，應找到化簡思路后再動手化簡．
2．注意觀察式子的特點及角之間的特殊關系，靈活運用二倍角公式解題，通過觀察角度的關系，發(fā)現(xiàn)其特征(二倍角形式)，創(chuàng)造條件正用或者逆用二倍角公式，使問題得以解決．
【鞏固練習1】計算eq \f(\r(3)tan 12°－3,?4cs212°－2?sin 12°)＝________.
【解析】原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°,cs 12°)－3,2?2cs2 12°－1?sin 12°)＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 12°?2cs 24°sin 12°?)＝eq \f(2\r(3)sin?－48°?,2cs 24°sin 12°cs 12°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,sin 24°cs 24°)＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)＝－4eq \r(3).
【答案】－4eq \r(3)
2.給值求值
例2.(1)設α為銳角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值為________．
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0

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5.5 三角恒等變換

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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