教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教材分析
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第五節(jié)《三角恒等變換》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
二、學(xué)情分析
本節(jié)的主要內(nèi)容是由兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，運(yùn)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和代數(shù)變形，得到其它的和差角公式。讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2. 熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
四、教學(xué)重點(diǎn)
重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之間的內(nèi)在聯(lián)系；
難點(diǎn)：求值過(guò)程中角的范圍分析及角的變換.
五、教學(xué)過(guò)程
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題
坐在教室里，需要一個(gè)合適視角才能看清楚黑板；在足球比賽中，若你從所守球門(mén)附近帶球過(guò)人沿直線推進(jìn)，要想把球準(zhǔn)確地踢進(jìn)大門(mén)去，需要確定一個(gè)最佳位置，這些實(shí)際生活中的問(wèn)題可不是僅僅一個(gè)角度就可以解決的，其中涉及到至少兩個(gè)角度的因素，只有把問(wèn)題分析全面，才能穩(wěn)操勝券．
怎樣確定兩角之間的關(guān)系呢？
（二）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
【探究1】由公式 csα?β出發(fā) ， 你能推導(dǎo)出兩角和的余弦公式嗎？
【提示】 在公式C(α－β)中，令－β代替β，則有cs(α＋β)＝
cs αcs(－β)＋sin αsin(－β)＝cs αcs β－sin αsin β.
即cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β.(C(α＋β))
兩角和的余弦公式：
csα+β=csαcsβ?sinαsinβ．簡(jiǎn)記作 C（α ＋ β ） ．
【做一做1】求cs 105°的值。
【解析】原式＝cs(60°＋45°)＝cs 60°cs 45°－sin 60°sin 45°＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4).
【探究2】用誘導(dǎo)公式五 （ 或六 ） 可以實(shí)現(xiàn)正弦 、 余弦的互化 ． 你能根據(jù) Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及誘導(dǎo)公式五 （ 或六 ）， 推導(dǎo)出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式嗎 ？
【提示】運(yùn)用C(α＋β)和誘導(dǎo)公式，有
sin(α＋β)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－?α＋β?))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－β))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs β＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin β＝sin αcs β＋cs αsin β.
即sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β.(S(α＋β))
在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到sin(α－β)＝sin αcs(－β)＋cs αsin(－β)＝sin αcs β－cs αsin β.
即sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β.(S(α－β))
兩角和差的正弦公式：
sinα+β ＝ sinαcsβ+csαsinβ，（ S（α ＋ β ） ）
sinα?β ＝ sinαcsβ?csαsinβ ; （ S（α － β ） ）
（1）兩角和差的正、余弦公式的理解及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
①公式中的α,β均為任意角;
②兩角和與差的正、余弦公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式可以看成是兩角和與差的正、余弦公式的特例;
③兩角和與差的正弦公式結(jié)構(gòu)是“正余余正,加減相同”,兩角和與差的余弦公式結(jié)構(gòu)是“余余正正,加減相反”.
(2)兩角和與差的正弦公式的一般使用方法
①正用:把sin(α±β)從左向右展開(kāi);
②逆用:公式的右邊化簡(jiǎn)成左邊的形式,當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時(shí),要用相關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用.
③變形應(yīng)用:它涉及兩個(gè)方面,一是公式本身的變形;二是角的變形,也稱為角的拆分變換,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β).
【做一做2】已知cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin β＝－eq \f(3,5)，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值；
【解析】∵cs α＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2,3)eq \r(2).
∵sin β＝－eq \f(3,5)，β是第三象限角，∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5).
∴sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(2,3)eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3＋8\r(2),15).
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(2,3)eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(3－8\r(2),15).
【重要結(jié)論】
對(duì)于形如asin x＋bcs x(a，b不同時(shí)為零)的式子可以引入輔助角變形為Asin(x＋φ)的形式．
基本思路是逆用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式，即
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cs x)).
令cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，則
原式＝eq \r(a2＋b2)(sin xcs φ＋cs xsin φ)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
【做一做3】sin x＋cs x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2)cs x))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,4)＋cs xsin \f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
【探究3】 你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù) 、 余弦函數(shù)的關(guān)系 ， 從 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出發(fā) ， 推導(dǎo)出用任意角 α ， β 的正切表示 tanα+β ， tanα?β 的公式嗎 ？
【提示】當(dāng)cs(α＋β)≠0時(shí)，將公式S(α＋β)，C(α＋β)的兩邊分別相除，有
tan(α＋β)＝eq \f(sin?α＋β?,cs?α＋β?)＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β－sin αsin β).
當(dāng)cs αcs β≠0時(shí)，將上式的分子、分母分別除以cs α·cs β，得
tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tan β,1－tan αtan β).(T(α＋β))
由于tan(－β)＝eq \f(sin?－β?,cs?－β?)＝eq \f(－sin β,cs β)＝－tan β.
在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝eq \f(tan α＋tan ?－β?,1－tan αtan?－β?)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
即tan(α－β)＝eq \f(tanα－tan β,1＋tan αtan β).(T(α－β))
【探究4】公式中α，β為任意實(shí)數(shù)嗎？
【提示】 不是，α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
兩角和差的正切公式： tanα+β = tanα+tanβ 1? tanαtanβ T(α + β )
tanα?β = tanα?tanβ 1+ tanαtanβ T(α ? β )
【做一做4】已知，，則 ．
【解析】因?yàn)?，，所以?br>【答案】
【變形公式】T(α±β)可變形為如下形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan αtan β＝eq \f(tan α±tan β,tan?α±β?).
當(dāng)α±β為特殊角時(shí)，常考慮使用變形①，遇到1與切的乘積的和(或差)時(shí)常用變形②.
【做一做5】 若α＋β＝eq \f(π,4)，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值．
【解析】 (1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan α·tan β.
又∵α＋β＝eq \f(π,4)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，
∴tan α＋tan β＝1－tan α·tan β，
∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋1＝2.
公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 給出了任意角 α ， β 的三角函數(shù)值與其和角 α ＋ β 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 ． 為方便起見(jiàn) ， 我們把這三個(gè)公式都叫做 和角公式 ．
類似地 ， Ｓ(α － β ) ， Ｃ(α － β ) ， Ｔ(α － β )都叫做 差角公式 ．
C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)、T(α－β)、T(α＋β)之間可以利用換角、誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系式推導(dǎo)而來(lái)，其最基本公式為C(α－β)．
它們之間的關(guān)系為：
（三）典型例題
1.給角求值
例1. 求值：(1)sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；
(2)sin eq \f(π,12)－eq \r(3)cs eq \f(π,12)；
(3)eq \f(1＋tan 75°,1－tan 75°).
【解析】(1)原式＝sin 14°cs 16°＋sin(90°－14°)cs(90°－16°)＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30° ＝eq \f(1,2).
(2)法一：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)sin \f(π,12)－cs \f(π,6)cs \f(π,12)))
＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2cs eq \f(π,4)＝－eq \r(2).
法二：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin \f(π,12)－\f(\r(3),2)cs \f(π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)sin \f(π,12)－sin \f(π,3)cs \f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝－2sin eq \f(π,4)＝－eq \r(2).
(3)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 75°,1－tan 45°tan 75°)＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－eq \r(3).
【類題通法】給角求值，其中角一般為非特殊角，求值時(shí)將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角，或者通過(guò)化簡(jiǎn)結(jié)合公式正用、逆用、變形用求值；
提醒:在逆用兩角的和與差的正弦和余弦公式時(shí),首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn),其次注意角是否滿足要求.
【鞏固練習(xí)1】求下列各式的值．
(1)sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°；
(2)eq \r(3)sin eq \f(π,12)＋cs eq \f(π,12)；
(3)tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°.
【解析】(1)原式＝sin(360°－13°)cs(180°－32°)＋sin(90°－13°)·cs(90°－32°)
＝sin 13°cs 32°＋cs 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin \f(π,12)＋\f(1,2)cs \f(π,12)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,12)cs \f(π,6)＋sin \f(π,6)cs \f(π,12)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sin eq \f(π,4)＝eq \r(2).
(3)∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)，
∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋eq \r(3)tan 10°tan 50°
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
2.給值求值
例2. 已知eq \f(π,4)

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5.5 三角恒等變換

版本： 人教A版 (2019)

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