一、教材分析
本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第六節(jié)《函數(shù)y=Asin(ωx+φ）》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
二、學(xué)情分析
對(duì)學(xué)生而言，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握了作正弦、余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)作圖法，有了前面的基礎(chǔ)，再對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來還是比較感興趣的．
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.結(jié)合實(shí)例，探究對(duì)函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
2.結(jié)合實(shí)例，探究對(duì)函數(shù)周期的影響，加深對(duì)周期函數(shù)概念的理解.提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
3. 結(jié)合實(shí)例，探究對(duì)函數(shù)圖象的影響，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。
四、教學(xué)重點(diǎn)
重點(diǎn)：將考察參數(shù)φ，ω，A對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響的問題進(jìn)行分解，從而學(xué)習(xí)如何將一個(gè)復(fù)雜問題分解為若干簡單問題的方法．
難點(diǎn)：ω對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響規(guī)律的概括．
五、教學(xué)過程
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
在物理中，簡諧運(yùn)動(dòng)中單擺相對(duì)平衡位置的位移y與時(shí)間x的關(guān)系、交流電的電流y與時(shí)間x的關(guān)系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù).如圖(1)所示是某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交流電的電流y隨時(shí)間x變化的圖象.
將測(cè)得的圖象放大如圖(2)所示，可以看出它和正弦曲線很相似.
【探究】能否通過函數(shù)y＝sin x的圖象得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象呢？
【提示】能.
2.探索交流，解決問題
常見的函數(shù)圖象變換：
1.平移變換
y＝f(x)eq \(―――――――――――――――→,\s\up7(a＞0，右移a個(gè)單位長度),\s\d5(a1時(shí)）或縮短（當(dāng)00）的圖象，可以用下面方法得到：先畫出函數(shù)y＝sin x的圖象；再把正弦曲線向左（或右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象。
（三）典型例題
1.平移變換
例1. (1)要得到y(tǒng)＝cs(2x＋1)的圖象，只要將函數(shù)y＝cs 2x的圖象( )
A．向左平移1個(gè)單位長度 B．向右平移1個(gè)單位長度
C．向左平移eq \f(1,2)個(gè)單位長度 D．向右平移eq \f(1,2)個(gè)單位長度
(2)為得到函數(shù)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 2x的圖象( )
A．向左平移eq \f(5π,12)個(gè)單位長度 B．向右平移eq \f(5π,12)個(gè)單位長度
C．向左平移eq \f(5π,6)個(gè)單位長度 D．向右平移eq \f(5π,6)個(gè)單位長度
【解析】(1)y＝cs 2x→y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝cs(2x＋1)，故選C.
(2)因?yàn)閥＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))).
由題意知，要得到y(tǒng)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))的圖象只需將y＝sin 2x的圖象向左平移eq \f(5π,12)個(gè)單位長度．
【答案】 (1)C (2)A
【類題通法】三角函數(shù)圖象平移變換問題的分類及解題策略
(1)確定函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)過平移變換后圖象對(duì)應(yīng)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移的方向，按“左加右減”的原則進(jìn)行．左右平移時(shí)要注意：明確平移的方向；要弄清楚平移的單位長度是針對(duì)“自變量x”的改變量，以免混淆而導(dǎo)致失誤、總之，弄清平移對(duì)象是減少失誤的好方法．
(2)已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時(shí)，首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式，然后再確定平移方向和單位長度．
【鞏固練習(xí)1】為了得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的圖象，可以將函數(shù)y＝cs 2x的圖象( )
A．向右平移eq \f(π,6)個(gè)單位長度 B．向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長度
C．向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長度 D．向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長度
【解析】y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))))).故選B.
【答案】B
2.伸縮變換
例2.已知函數(shù)y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，該函數(shù)的圖象如何由y＝sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過變換得到？
【解析】法一 步驟：(1)將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移eq \f(π,6)個(gè)單位長度，可以得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的圖象；
(2)把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(1,2)，而縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象；
(3)將函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(1,2)，而橫坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象．
法二 (1)將函數(shù)y＝sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(1,2)，而縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝ sin 2x的圖象；
(2)將y＝sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長度，可以得到函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象；
(3)將y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的eq \f(1,2)，而橫坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的圖象．
【類題通法】由y＝sin x的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，變換途徑主要有兩種，兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：
(1)先先平移后伸縮，平移|φ|個(gè)單位．
(2)先伸縮后平移，平移eq \f(|φ|,ω)個(gè)單位，這是很易出錯(cuò)的地方，應(yīng)特別注意．
(3)類似地，y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象也可由y＝cs x的圖象變換得到．
【鞏固練習(xí)2】(1)說出y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的圖象怎樣由y＝sin eq \f(1,2)x的圖象得到？
(2)把函數(shù)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,6)))的周期擴(kuò)大為原來的2倍，再將其圖象向右平移eq \f(π,3)個(gè)單位長度，求所得圖象的解析式．
【解析】 (1)∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝sineq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的圖象可由y＝sin eq \f(1,2)x的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位得到．
(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up11(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍),\s\d4(縱坐標(biāo)不變))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up11(向右平移),\s\d4(\f(π,3)個(gè)單位長度))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(2π,3))).
勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型
例3.如圖為一個(gè)纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離為h.
(1)求h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？
【解析】 (1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－eq \f(π,2).
故B點(diǎn)坐標(biāo)為
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4.8cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2))))).
∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，θ∈[0，＋∞)．
(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是eq \f(π,30)，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為eq \f(π,30)t，
∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．
到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h＝10.4 m.
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1，得eq \f(π,30)t－eq \f(π,2)＝eq \f(π,2)，∴t＝30.
∴纜車到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30秒．
【類題通法】三角函數(shù)應(yīng)用題在閱讀理解實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
(1)反復(fù)閱讀，通過關(guān)鍵語句領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)本質(zhì)．
(2)充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，深入思考，聯(lián)想所學(xué)知識(shí)確定變量與已知量．
(3)結(jié)合題目的已知和要求建立數(shù)學(xué)模型，確定變量的性質(zhì)與范圍及要解決的問題的結(jié)論。
審題時(shí)把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模過程．
【鞏固練習(xí)3】如圖游樂場中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈需要12 min，其中心O距離地面40.5 m，半徑為40 m．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問題：
(1)求出你與地面的距離y(m)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5 m時(shí)，用了多長時(shí)間？
【解析】 (1)可以用余弦函數(shù)來表示該函數(shù)的關(guān)系式，由已知可設(shè)y＝40.5－40cs ωt，t≥0，由周期為12 min可知當(dāng)t＝6時(shí)摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝eq \f(π,6).
所以y＝40.5－40cseq \f(π,6)t(t≥0)．
(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第t0 min時(shí)距地面60.5 m，由60.5＝40.5－40cseq \f(π,6)t0，得cseq \f(π,6)t0＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(π,6)t0＝eq \f(2π,3)或eq \f(π,6)t0＝eq \f(4π,3)，解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(min)時(shí)，第2次距地面60.5 m，故第4次距離地面60.5 m時(shí)，用了12＋8＝20(min)．
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1．把函數(shù)f(x)＝sin 2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)的最小正周期為( )
A．2π B．π
C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
2．要得到函數(shù)y＝cs 2x的圖象，只需將y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的圖象( )
A．向左平移eq \f(π,8)個(gè)單位長度 B．向右平移eq \f(π,8)個(gè)單位長度
C．向左平移eq \f(π,4)個(gè)單位長度 D．向右平移eq \f(π,4)個(gè)單位長度
3．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq \f(π,8)個(gè)單位長度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4)
C．0 D．－eq \f(π,4)
4．函數(shù)y＝cs(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的圖象向右平移eq \f(π,2)個(gè)單位后，與函數(shù)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的圖象重合，則φ＝________.
【答案】1.A 2.B 3.B 4.5π6
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
六、布置作業(yè)
完成教材：第239頁 練習(xí) 第2，3，4題
第240頁 習(xí)題5.6 第1,3,5，7 題
課時(shí)內(nèi)容
函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象
所在位置
教材第232頁
新教材
內(nèi)容
分析
教材首先提出研究任意勻速圓周運(yùn)動(dòng)如何用數(shù)學(xué)模型刻畫的問題，引導(dǎo)從特殊到一般進(jìn)行提問，滲透了數(shù)學(xué)源于生活的本質(zhì)，這樣處理，既體現(xiàn)了研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ） 的現(xiàn)實(shí)需要，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ） 的必要性，也能很好的體現(xiàn)課改理念，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。在針對(duì)函數(shù) y=Asin(ωx+φ） 的研究過程中，通過一連串的“思考”與“探究”，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括、綜合、分析、聯(lián)想、總結(jié)，在理解函數(shù)y=Asin(ωx+φ） 的實(shí)際意義的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究參數(shù)A,ω，φ對(duì)函數(shù) y=Asin(ωx+φ） 圖象的影響，從而進(jìn)一步把握此函數(shù)的圖象與性質(zhì)。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過實(shí)例，理解參數(shù)A,ω，φ對(duì)函數(shù) y=Asin(ωx+φ） 圖象的影響，提升直觀想象的核心素養(yǎng).
教學(xué)主線
三角函數(shù)的圖象

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

5.6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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