《4.3.1對數(shù)的概念》教學設(shè)計一．教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的第三節(jié)《對數(shù)》（第一課時）。以下是本節(jié)兩個課時的安排： 第一課時第二課時課時內(nèi)容對數(shù)的概念對數(shù)的運算所在位置教材第122頁教材第123頁新教材內(nèi)容分析對數(shù)的概念及其運算是對數(shù)函數(shù)的學習基礎(chǔ).教材通過具體的實例讓學生認識到引入與指數(shù)冪運算有關(guān)的另外一種運算的必要性，符合學生的認知規(guī)律。有了對數(shù)的概念和性質(zhì)之后，根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的對應關(guān)系，得出對數(shù)的運算性質(zhì)。 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過這節(jié)內(nèi)容的學習，使學生認識一種新的運算，掌握對數(shù)的概念及性質(zhì)，加深對指數(shù)冪的理解。幫助學生養(yǎng)成自主學習、合作交流、歸納總結(jié)的學習習慣，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).借助第一課時的理論依據(jù)對數(shù)運算的性質(zhì)，通過例子讓學生掌握對數(shù)的運算，強化學生的數(shù)學運算、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng). 教學主線對數(shù)的概念. 二，學情分析       學生已經(jīng)學習了指數(shù)冪的運算及指數(shù)函數(shù)，在指數(shù)冪概念及運算的基礎(chǔ)上，引入對數(shù)，符合學生的認知規(guī)律，也比較自然，但是有具體的實例歸納出對數(shù)的概念對學生的要求還是很高的。三．學習目標 1、了解對數(shù)的概念；2、會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化；3、會求簡單的對數(shù)值．四．教學重點 重點：在指數(shù)冪的基礎(chǔ)上得出并掌握對數(shù)的概念，在此過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。難點：從不同的問題情境中提煉出對數(shù)的概念，并由指數(shù)冪的性質(zhì)得出對數(shù)的性質(zhì)。五．教學過程 （一）新知導入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題    對數(shù)的概念，首先是由蘇格蘭數(shù)學家John Napier(納皮爾，1550～1617)提出的.那時候天文學是熱門學科.可是由于數(shù)學的局限性，天文學家不得不花費很大精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間.Napier也是一位天文愛好者，他感到，“沒有什么會比數(shù)學的演算更加令人煩惱……諸如一些大數(shù)的乘、除、平方、立方、開方……因此我開始考慮……怎樣才能排除這些障礙.”經(jīng)過20年潛心研究大數(shù)的計算技術(shù)，他終于獨立發(fā)明了對數(shù)，并于1614年出版的名著《奇妙的對數(shù)定律說明書》(“Mirifici logarithmorum canonis descriptio”)中闡明了對數(shù)原理，后人稱為納皮爾對數(shù)(Nap-logX).【想一想】對數(shù)的主要作用是什么？提示：簡化運算. 探索交流，解決問題【問題1】 某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個…….【思考1】（1）那么1個這樣的細胞分裂x次得到細胞個數(shù)N是多少？分裂多少次得到細胞個數(shù)為16個，256個呢？ （2）如果已知細胞分裂后的個數(shù)N，如何求分裂次數(shù)呢？【提示】  （1）N＝2x，4次，8次.。（2）由2x＝N可知當N已知時，x的值即為分裂次數(shù).【設(shè)計意圖】 由問題引發(fā)學生思考：已知底數(shù)和冪，如何求指數(shù)？凸顯學習新運算的必要性，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。（二）對數(shù)的概念1.對數(shù)：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2.對概念的深度剖析：（1）指數(shù)式ax＝N中a的取值在對數(shù)式中x＝logaN一樣，不會發(fā)生改變，都是a>0，且a≠1.指數(shù)函數(shù)值域為（0，+∞），所以真數(shù)N的取值是（0，+∞）．（2）常用對數(shù)與自然對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作log10N，可簡記為lg N；以e(e＝2.718 28…)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作logeN，可簡記為ln N．（3）指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.【做一做】  　將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化(1)2－2＝；(2)102＝100；(3)ea＝16；(4)＝；(5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．解：　(1)log2＝－2.                     (2)log10100＝2，即lg 100＝2.(3)loge16＝a，即ln 16＝a.              (4)log64＝－.(5)32＝9.                             (6)xz＝y.     【設(shè)計意圖】通過指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深學生對對數(shù)的理解。【探究1】指數(shù)式和對數(shù)式互化時不變的量是哪個？提示：底數(shù)。（三）對數(shù)的性質(zhì)【思考2】1.對數(shù)的概念中，真數(shù)N需滿足什么條件？為什么？提示：真數(shù)N需滿足由對數(shù)的定義：ax＝N(a>0，且a≠1)，則總有N>0，所以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式x＝logaN時，不存在N≤0的情況．2.對數(shù)的概念中，如果，x的值是多少？時呢？提示：　3.如果將對數(shù)式x＝logaN代入到指數(shù)式ax＝N中會得到哪個式子？提示：　.【設(shè)計意圖】充分利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化，得出對數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。對數(shù)的性質(zhì)1、零和負數(shù)沒有對數(shù)．2、1的對數(shù)為零；即loga1＝0．3、底數(shù)的對數(shù)為1；即logaa＝1.4、對數(shù)恒等式：.【做一做】  求下列各式中的x值。（1）若logx8＝3，則x＝________.（2）logx25＝2        （3）2log3x＝4        （4）log2[log3(log2x)]＝1.提示：（1）由指對互化知x3＝8，所以x＝2.          （2）由logx25＝2，得x2＝25.  ∵x>0，且x≠1，∴x＝5.      （3）由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9.      （4）由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. 【設(shè)計意圖】通過具體的例子，使學生掌握對數(shù)的性質(zhì).（四）對數(shù)的概念及性質(zhì)的應用1.對數(shù)的概念例1  若對數(shù)log(x－1)(2x－3)有意義，則x的取值范圍是        ．解：　由得得x>且x≠2.所以x的取值范圍是（，2）∪(2，＋∞)【類題通法】對數(shù)的概念(1)底數(shù)a>0，且a≠1；(2)真數(shù)N的取值是（0，+∞）．鞏固練習1.方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根為(　　)A．－3           B．3            C．－1或3           D．1或－3解析：B  由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.經(jīng)檢驗x＝－1是增根，所以原方程的根為x＝3.2.指數(shù)和對數(shù)的互化例2  將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)log216＝4； (2)＝－3； (3)43＝64； (4)－2＝16.解：　(1)由log216＝4，可得24＝16.(2)由＝－3，可得－3＝27.(3)由43＝64，可得log464＝3.(4)由－2＝16，可得＝－2.【類題通法】指數(shù)式與對數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對數(shù)，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式．(2)對數(shù)式化為指數(shù)式：將對數(shù)式的真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．鞏固練習2.若loga＝c，則下列等式正確的是(　　)A．b5＝ac  B．b＝a5c  C．b＝5ac  D．b＝c5a解析：B  由loga＝c，得ac＝，所以b＝a5c.3.利用指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系求值例3  求下列各式中x的值：(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x.解：　(1)＝4－2＝.(2)因為x6＝8，所以 (3)10x＝100＝102，于是x＝2.延伸拓展：求下列各式中x的值(1)logx16＝－4；（2）log(－1)＝x.提示：(1)∵logx16＝－4，∴x－4＝16，即x4＝＝4，∴x＝.（2）∵log(－1)＝x，∴(－1)x＝＝＝＝－1，∴x＝1.【類題通法】要求對數(shù)的值，設(shè)對數(shù)為某一未知數(shù)，將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解．鞏固練習3.(1)計算log927；的值；(2)求下列各式中x的值：①log27x＝－；②log5x2＝2.解：(1)  設(shè)x＝log927，則9x＝27,32x＝33，∴2x＝3，x＝.設(shè)，則＝81,＝34，∴＝4，x＝16.(2)①∵log27x＝－，∴＝3－2＝.②由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.4.利用對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)恒等式求值例4  求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3) 解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.(3)【類題通法】(1)此類題型應利用對數(shù)的基本性質(zhì)從整體入手，由外到內(nèi)逐層深入來解決問題．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用頻繁，應在理解的基礎(chǔ)上牢記．(2)符合對數(shù)恒等式的，可以直接應用對數(shù)恒等式：鞏固練習4.（1）計算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.（2）已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，則的值為(　　)A.  1        B.  －1       C.   5           D.   解析：（1）原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.（2）A　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.（五）操作演練  素養(yǎng)提升1．有下列說法：①零和負數(shù)沒有對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)；④以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)．其中正確說法的個數(shù)為(　　)A．1        B．2        C．3       D．42. （多選題）下列四個等式正確的是(　　)A．lg(lg 10)＝0 B．lg(ln e)＝0C．若lg x＝10，則x＝10   D．若ln x＝e，則x＝e23.若loga3＝m，loga5＝n，則a2m＋n的值是(　　)A．15       B．75      C．45      D．225【答案】 1.C   ①③④正確，②不正確，只有a>0，且a≠1時，ax＝N才能化為對數(shù)式．  2.AB    選項A.  lg(lg 10)＝lg 1＝0,正確；選項B.  lg(ln e)＝lg 1＝0,正確；選項C．若lg x＝10，則x＝1010,錯誤；選項D．若ln x＝e，則x＝ee,錯誤.故只有AB正確．3.C    由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.【設(shè)計意圖】通過課堂達標練習，鞏固本節(jié)學習的內(nèi)容。 （六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：       2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？ 【設(shè)計意圖】通過課堂小結(jié)，有利于學生對本節(jié)內(nèi)容形成知識網(wǎng)絡，納入自己的知識體系。  六．布置作業(yè)  完成教材：第123頁  練習1,2,3  

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4.3 對數(shù)

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