《4.1 指數(shù)》教學設計第一課時   n次方根一、教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的《4.1 指數(shù)》。以下是本節(jié)兩個課時的安排： 第一課時第二課時課時內(nèi)容n次方根指數(shù)冪及其運算所在位置教材第104頁教材第105頁新教材內(nèi)容分析n次方根與分數(shù)指數(shù)冪相關概念與性質(zhì)的學習，是進一步學習指數(shù)函數(shù)的基礎和保證，指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)作為自變量的一類重要的函數(shù)，其定義域是實數(shù)集，因此我們非常有必要將初中所學整數(shù)指數(shù)冪順理成章的推廣到實數(shù)指數(shù)冪. 核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過本節(jié)內(nèi)容的學習與運用，可以提升學生通過類比、概括、歸納進行知識拓廣的能力，培養(yǎng)學生自主鉆研、探究嘗試、抽象總結(jié)、思維推理的良好學習習慣，達成學生數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。 教學主線                        根式的性質(zhì)、實數(shù)指數(shù)冪的運算 二、學情分析    針對本節(jié)知識內(nèi)容和學生認知水平而言，初中已經(jīng)學習了整數(shù)指數(shù)冪、平方根和立方根等知識，有了這些儲備知識作為生長點，就可以再一次回顧由正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的擴充過程，非常自然地一個想法就是將整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，再進一步推廣到實數(shù)指數(shù)冪，也將平方根、立方根推廣到n次方根，并找到n次方根與分數(shù)指數(shù)冪的關系。一、學習目標1. 理解n次方根、n次根式的概念，達成數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2.能正確運用根式的性質(zhì)化簡求值，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).二、教學重難點重點：根式的概念和n次根式的性質(zhì)。難點：n次根式的性質(zhì)。 三、教學過程（一）新知導入1. 創(chuàng)設情境，生成問題公元前五世紀，古希臘有一個數(shù)學學派名叫畢達哥拉斯學派，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)來表示，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)的誕生.希帕索斯【想一想】根據(jù)初中所學知識，思考一下邊長為1的正方形的對角線長是如何計算出來的呢？【提示】根據(jù)勾股定理正方形的對角線長為. 探索交流，解決問題【問題1】 (1)若x2＝3，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若呢？(2)若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若呢？（3）若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若呢？（4）若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？若呢？ 【提示】 (1)若，則這樣的x有2個，它們都稱為3的平方根，記作±；若，則這樣的x不存在.(2)若，則這樣的x有1個，它叫做3的立方根，記作；若，則這樣的x也只有1個，它也叫做3的立方根，記作.（3）若，則這樣的x有2個，它們都稱為3的四次方根，記作；若，則這樣的x不存在.(4)若，則這樣的x有1個，它叫做3的五次方根，記作；若，則這樣的x也只有1個，它也叫做3的五次立方根，記作.【設計意圖】通過這些小問題思考與回答，讓學生充分體驗從思考、分析到類比的過程，達成數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。  （二）n次方根 1.a的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.a的n次方根的表示　求解a的n次方根時要注意對n的奇偶性討論n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)Rn為偶數(shù)±[0，＋∞)【做一做】 1.10的平方根為________.2.－243的5次方根為________.3．（多選題）下列四個命題中正確的是（  ）A．正數(shù)的偶次方根是一個正數(shù)　　　 B．正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)C．負數(shù)的偶次方根是一個負數(shù)　 D．負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)【答案】1.   2.－3  （3）BD【設計意圖】通過問題的設置與探究，使學生深入理解n次方根的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。（三）根式【想一想】根據(jù)n次方根的定義，當n為奇數(shù)時，是否對任意實數(shù)a都存在n次方根？n為偶數(shù)呢？【提示】當n為奇數(shù)時，對任意實數(shù)a，都存在n次方根，可表示為，但當n為偶數(shù)時不是，因為當a<0時，a沒有n次方根；當a>0時，a才有n次方根，可表示為±.1.根式的概念式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).2.根式的性質(zhì)　根式的性質(zhì)是化簡根式的重要依據(jù)(1)負數(shù)沒有偶次方根.(2)0的任何次方根都是0，記作＝0.(3)()n＝a(n∈N*，且n>1).(4)＝a(n為大于1的奇數(shù)).(5)＝|a|＝(n為大于1的偶數(shù)).【做一做】化簡－得________.解析　原式＝|x＋3|－(x－3)，當x≥－3時，原式＝6；當x<－3時，原式＝－2x.答案　6或－2x【設計意圖】通過化簡該式，使學生掌握根式的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。  （四）典例透析1.利用根式的性質(zhì)化簡或求值【例1】　化簡：(1) ；(2)；(3)()2＋＋.解　(1)＝－7.(2)＝|π－4|＝4－π.(3)由題意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.【類題通法】　n為奇數(shù)時，()n＝＝a，a為任意實數(shù)均可；n為偶數(shù)時，a≥0，()n才有意義，且()n＝a；而a為任意實數(shù)均有意義，且＝|a|.【鞏固練習1】求下列各式的值：(1)；(2)(a≤1)；(3)＋.解　(1)＝ ＝－4.(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.(3)＋＝a＋|1－a|＝ 2.由根式的意義求范圍【例1】　若＝a－1，求實數(shù)a的取值范圍.解　∵＝|a－1|＝a－1，∴a－1≥0，∴a≥1，∴實數(shù)a的取值范圍是.【變式探究】（變條件）若將本例中的“＝a－1”改為“”呢？解 ，∴a－10，∴a1，∴實數(shù)a的取值范圍是.【類題通法】對于，當n為偶數(shù)時，要注意兩點：(1)只有a≥0才有意義；(2)只要有意義，必不為負.【鞏固練習2】若＋(a－3)0有意義，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．a≥2　 B．a≥2且a≠3C．a≠2　 D．a≠3【解析】選B.　由題意可知，a－2≥0且a－4≠0，所以a的取值范圍是a≥2且a≠4.　3.有限制條件的根式的化簡【例3】　設－3<x<1，化簡－.解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∴當－3<x<1時，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.【變式探究】（變條件）若將本例中“－3<x<1”變?yōu)?/span>“x≤－3”，則結(jié)果又是什么？解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.【類題通法】當n為偶數(shù)時，先化為|a|，再根據(jù)a的正負去絕對值符號.【鞏固訓練3】　已知x∈[1，2]，化簡（）4＋＝________.解析　∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴()4＋＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.答案　1（五）操作演練  素養(yǎng)提升1.已知x5＝5，則x等于(　　)A.         B.       C.         D.2.運算的結(jié)果是(　　)A.2            B.－2          C.±2            D.不確定3.m是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是(　　)A.          B.        C.            D.4.的值是________.5.＋的值是________.答案?。?/span>1）B  （2）A?。?/span>3）C  （4）－2　 （5）0或2(a－b)【設計意圖】通過課堂達標練習，鞏固本節(jié)學習的內(nèi)容。  （六）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？ 【設計意圖】通過課堂小結(jié)，有利于學生對本節(jié)內(nèi)容形成知識網(wǎng)絡，納入自己的知識體系。   四、作業(yè)布置完成教材：第109頁  習題4.1  第1題 五、課堂記錄     六、教學反思       
  

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4.1 指數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

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