把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)); 從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)左右兩邊的直方圖的面積相等.
一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù); 從頻率分布直方圖 中估計(jì)眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn).
也可以從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù),平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中的橫坐標(biāo)之和.
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息,這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.
但僅知道集中趨勢(shì)的信息,很多時(shí)候還不能使我們做出有效的決策.
問(wèn)題3、有兩名射擊隊(duì)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？
計(jì)算甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)
通過(guò)簡(jiǎn)單的排序和計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)都是7.從這個(gè)角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒(méi)有差別。
但從上圖中看,甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中，即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度比較大，而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定。他們的射擊成績(jī)是存在差異的，那么，如何度量成績(jī)的這種差異呢？
一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差。
根據(jù)甲、乙運(yùn)動(dòng)員的10次射擊成績(jī)，可以得到
甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4
可以發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙大。極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度，但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒(méi)有涉及，所以極差所含的信息量很少。
我們知道，如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn)。因此，我們可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度。
思考：如何定義“平均距離”？
為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用平方來(lái)代替，即
用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”，即
我們將其定義為這組數(shù)據(jù)的方差：
有時(shí)為了計(jì)算方差的方便，我們還把方差寫(xiě)成以下形式
由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致。為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開(kāi)方，取它的算數(shù)平方根，即
我們稱其為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?顯然，在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。
通常我們用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差
即乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定
如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置。如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲。
特征：標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定； 標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決 實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差
例6、在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一學(xué)生身高的調(diào)查中,采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人,其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人,其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎?
根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為
∴高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差為51.4862
樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小,平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.
如,根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù),可以計(jì)算出樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為
練習(xí)1 甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件測(cè)量數(shù)據(jù)為(單位：cm)：甲：99　100　98　100　100　103乙：99　100　102　99　100　100(1) 分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2) 根據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．
總結(jié)：平均數(shù)、方差性質(zhì)
練習(xí)3　甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；
(2)根據(jù)圖形和(1)中計(jì)算結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).
解　由題圖可得，甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14.
從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?，而乙的成?jī)則無(wú)明顯提高.
變式樣本數(shù)均為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5，條形圖如圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是(　　)A．第一組　　　B．第二組 C．第三組 D．第四組
跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙、丙三名學(xué)生在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測(cè)試分?jǐn)?shù)都在[50,100]內(nèi)，將他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
解析　比較三個(gè)頻率分布直方圖知，甲為“雙峰”直方圖，兩端數(shù)據(jù)最多，最分散，方差最大；乙為“單峰”直方圖，數(shù)據(jù)最集中，方差最??；丙為“單峰”直方圖，但數(shù)據(jù)分布相對(duì)均勻，方差介于甲、乙之間.綜上可知s1>s3>s2.
1、用定義計(jì)算樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差
2、分層抽樣總樣本方差的計(jì)算
3、用頻率分布直方圖估計(jì)樣本方差
方差的估計(jì)值等于每一個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)值減去平均數(shù)的平方乘小矩形的面積的和.

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