2.3  用公式法求解一元二次方程
第1課時  用公式法求解一元二次方程教學內(nèi)容    1．一元二次方程求根公式的推導過程；    2．公式法的概念；    3．利用公式法解一元二次方程．    教學目標    理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．    復習具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程．    重難點關(guān)鍵    1．重點：求根公式的推導和公式法的應(yīng)用．    2．難點與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導．    教學過程    一、復習引入    （學生活動）用配方法解下列方程    （1）6x2-7x+1=0   （2）4x2-3x=52    （老師點評）  （1）移項，得：6x2-7x=-1    二次項系數(shù)化為1，得：x2-x=-    配方，得：x2-x+（）2=-+（）2              （x-）2=x-=±  x1=+==1  x2=-+==    （2）略    總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結(jié)，老師點評）．    （1）移項；    （2）化二次項系數(shù)為1；    （3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；    （4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；    （5）如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數(shù)，則一元二次方程無解．    二、探索新知    如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題．    問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導它的兩個根x1=，x2=    分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．    解：移項，得：ax2+bx=-c    二次項系數(shù)化為1，得x2+x=-    配方，得：x2+x+（）2=-+（）2    即（x+）2=    ∵b2-4ac≥0且4a2>0    ∴≥0    直接開平方，得：x+=±    即x=    ∴x1=，x2=    由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：    （1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．    （2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式．    （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．    （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．    例1．用公式法解下列方程．    （1）2x2-4x-1=0        （2）5x+2=3x2    （3）（x-2）（3x-5）=0   （4）4x2-3x+1=0    分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可．    解：（1）a=2，b=-4，c=-1    b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0    x=    ∴x1=，x2=    （2）將方程化為一般形式     3x2-5x-2=0     a=3，b=-5，c=-2     b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0    x=    x1=2，x2=-    （3）將方程化為一般形式    3x2-11x+9=0    a=3，b=-11，c=9    b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0    ∴x=    ∴x1=，x2=    （3）a=4，b=-3，c=1    b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0    因為在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根．    三、鞏固練習教材P43  隨堂練習 四、應(yīng)用拓展    例．某數(shù)學興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題．    （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．    （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出．    你能解決這個問題嗎？    分析：能．（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還要滿足（m+1）≠0．    （2）要使它為一元一次方程，必須滿足:①或②或③    解：（1）存在．根據(jù)題意，得：m2+1=2                               m2=1  m=±1      當m=1時，m+1=1+1=2≠0      當m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）      ∴當m=1時，方程為2x2-1-x=0      a=2，b=-1，c=-1      b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9      x=      x1=，x2=-      因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=-．    （2）存在．根據(jù)題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0    因為當m=0時，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0    所以m=0滿足題意．    ②當m2+1=0，m不存在．    ③當m+1=0，即m=-1時，m-2=-3≠0    所以m=-1也滿足題意．    當m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0，    解得：x=-1    當m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0    解得x=-    因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=-1；當m=-1時，其一元一次方程的根為x=-．    五、歸納小結(jié)    本節(jié)課應(yīng)掌握：    （1）求根公式的概念及其推導過程；    （2）公式法的概念；    （3）應(yīng)用公式法解一元二次方程；    （4）初步了解一元二次方程根的情況．    六、布置作業(yè)    1．教材P43 習題2.5   1、2    2．選用作業(yè)設(shè)計:         一、選擇題1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（  ）．A．x=     B．x=    C．x=     D．x=2．方程x2+4x+6=0的根是（  ）．A．x1=，x2=；B．x1=6，x2=；C．x1=2，x2=；D．x1=x2=-3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（  ）．      A．4     B．-2     C．4或-2     D．-4或2    二、填空題    1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________．    2．當x=______時，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4．    3．若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____．    三、綜合提高題    1．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．    2．設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，（1）試推導x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．    3．某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10元用電費外超過部分還要按每千瓦時元收費．    （1）若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定A千瓦時，則超過部分電費為多少元？（用A表示）（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況月份用電量（千瓦時）交電費總金額（元） 3       80       25 4       45       10    根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？   

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3 用公式法求解一元二次方程

版本： 北師大版

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