同學(xué)們，在直線、面的各種位置關(guān)系中，平行和垂直是最重要的關(guān)系。前面幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線、面平行的各種位置關(guān)系，得到了判定定理和性質(zhì)定理。下面我們先梳理下空間直線、平面平行的研究過程。
18世紀(jì)的法國(guó)有一個(gè)農(nóng)民家庭出身的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家——拉普拉斯(Pierre—Simn de laplace1749—1827)。拉普拉斯是現(xiàn)代概率論的奠基者之一。學(xué)物理的人對(duì)他很熟。 他有一個(gè)很好的品德，就是對(duì)于年青一代的數(shù)學(xué)家當(dāng)作自己的孩子，幫助他們和鼓勵(lì)他們。有一些人的發(fā)現(xiàn)事實(shí)上是他早在幾十年前就得到了，但他也是把這發(fā)現(xiàn)的榮譽(yù)讓給年青人而不是自己占有、不像一些所謂“專家”對(duì)這些新生的力量，在妒忌之余，加以阻撓打擊。 拉普拉斯在關(guān)于概率論的哲學(xué)問題的一篇文章里曾經(jīng)指出：“在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比(inductin and analgy)?！边@里他指出了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的一個(gè)方法。
類比線、面平行的位置關(guān)系，我們可以照著學(xué)習(xí)直線、面的垂直的位置關(guān)系，來探討它的判定定理和性質(zhì)定理，這是依葫蘆畫瓢。
但正確的研究過程其實(shí)與上述的研究過程稍微有點(diǎn)出入。正確的研究過程是下面的流程圖。
空間兩直線的位置關(guān)系：
（1）從公共點(diǎn)的數(shù)目來看可分為： ①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)則 兩直線相交 兩平行直線 ②沒有公共點(diǎn)則 兩直線為異面直線
（2）從是否共面來講，可分為： 兩直線相交 ①在同一平面內(nèi) 兩直線平行 ②不在任一平面內(nèi)則兩直線為異面直線。
平面內(nèi)，兩條直線相交形成4個(gè)角，其中不大于90。的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），夾角刻畫了一條直線相對(duì)于另一條直線傾斜的程度。
1.異面直線所成的角：
如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a，b所成的角（或夾角）。
思考 : 這個(gè)角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)嗎 ? 即O點(diǎn)位置不同時(shí), 這一角的大小是否改變?
思想方法 : 研究異面直線所成的角，即通過平移轉(zhuǎn)化為相交直線,即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題
2.異面直線所成角的范圍：
如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直。直線a與b垂直，記作 a⊥b
空間兩條直線垂直，它們一定相交嗎？
思考：（1）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線是否也與這條直線垂直？
（2）在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行，那么在空間中這一結(jié)論是否仍然成立？
我們規(guī)定：兩條平行直線的夾角為 ：
空間兩條直線所成角 的取值范圍是：
那么，兩條異面直線所成的角 的取值范圍是：
答：顧名思義就可以了。
3.異面直線所成的角、線線垂直的應(yīng)用
例1.已知正方體ABCD-A′B′C′D′（1）哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？（2）求直線BA'與CC'所成的角的大小.（3）求直線BA'與AC 所成的角的大小.
解：連接 A′C′ ,
變式訓(xùn)練：如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中,AB =AD = ,AE = 2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
常見的平行關(guān)系:1.中位線原理2.平行四邊形3.對(duì)應(yīng)邊成比例
4.在四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、BC上的點(diǎn)，且 ，已知 AB=CD=3，EF= ，求異面直線AB和CD所成的角。
5.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和B1C1的中點(diǎn)，求直線AM與CN所成角的余弦值
6.正四面體S－ABC中，如果E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于( ) （A）90°（B）45°（C）60°（D）30°
作業(yè):1.課本 P148 1,2,3,4 ；P162 4，5，112.準(zhǔn)備一塊三角形的紙片
今天所講的知識(shí)你學(xué)會(huì)了嗎?
如果你學(xué)會(huì)了,請(qǐng)完成下列作業(yè)!
如果你還沒學(xué)會(huì),請(qǐng)通過下列作業(yè)把它學(xué)會(huì)!
兩條異面直線所成的角概念兩條異面直線所成的角范圍步驟：一作二證三解四結(jié)論
空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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