第八章 立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直（第一課時）一、教學目標1.掌握直線與平面垂直的定義并會用其判斷直線與平面垂直;2.理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡單的線面角問題;4.掌握直線與平面垂直的判定定理并會用其進行證明;3.通過對直線與平面垂直判定定理的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng).二、教學重難點1.直線與平面垂直的判定定理；2.會運用直線與平面垂直的判定定理解決問題.三、教學過程：（1）創(chuàng)設情景動手操作準備正三角形、矩形紙片各一張，分別對折后適當放開并豎立在桌面上，觀察折痕與桌面有怎樣的位置關系？（2）新知探究問題1:如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個平面嗎？學生回答（不一定垂直），教師點撥問題2:如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面嗎?學生回答（垂直），教師點撥給出直線與平面垂直的定義.問題3:大家思考一下,除了直線與平面垂直的定義外有沒有比更好的方法判別直線與平面垂直?學生回答，教師點撥,(提出本節(jié)課所學內容直線與平面垂直的判定定理)（3）新知建構直線與平面垂直的定義：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點叫垂足．如圖所示:畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。思考：大家都知道在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，那么將這一結論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？學生回答(有且只有一條)，教師點撥,思考：過一點垂直于與已知直線的平面有幾個?為什么?學生回答(有且只有一個)，教師點撥,3.過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.線面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線和這個平面垂直．符號表示：若，則．圖形表示:      注意：面內兩條相交直線（4）數(shù)學運用例1.求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.已知：，求證：．    變式訓練1:如圖，在四棱錐中，平面，，，求證：平面； 證明：因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因為BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.例2.在四棱錐中，平面ABCD，，，，.（1）求證：平面PAD；（2）若E是PC的中點，求直線BE與平面PAD所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】（1）證明：取的中點，連接，如圖，則//，∴四邊形是平行四邊形，∴.又∵，，，∴，又∵，∴，又平面，∴，∵平面，，∴平面.（2）取的中點，靠近點的四等分點，連接，，，如圖所示，∵//////，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角.∵平面，∴即為直線與平面所成的角.在中，，，∴，即直線與平面所成角的正切值為變式訓練:如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=2BC=2CD=4,PC=,△PAD是正三角形.(1)求證:CD⊥PA;(2)求AB與平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；【解析】　(1)證明:∵△PAD是正三角形,AD=2CD=4,∴PD=4,CD=2,又PC=,∴PC2=PD2+CD2,∴CD⊥PD,又AD⊥CD,AD∩PD=D,∴CD⊥平面PAD,∵PA?平面PAD,∴CD⊥PA.(2)如圖,取PD的中點E,連接AE,延長DC、AB交于點H,連接EH,∵△PAD是正三角形,∴AE⊥PD,AE=,由(1)得CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.∵CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,∴AE⊥平面PCD.∴∠AHE就是AB與平面PCD所成的角,∵AD⊥CD,BC∥AD,AD=2BC=2CD=4,∴DH=4,AH=,EH==,∴cos∠AHE===,∴AB與平面PCD所成角的余弦值為.例3:如圖所示，四棱錐中，平面平面，為的中點，為的中點，且，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若，求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（I）由題意知△ABC為等腰直角三角形，而F為BC的中點，所以AF⊥BC． 又因為平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，所以DC⊥平面ABC．    而AF?平面ABC，所以AF⊥DC．而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．連結PF，則PF∥DC，PF=DC，而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，AFPE是平行四邊形，因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD． （II）因為EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱錐E﹣BDF的高．所以EP=AF=BC==．  故三棱錐E﹣BDF的體積為：V=．變式訓練:在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中點,PA⊥平面ABC,如果PB、PC與平面ABC所成的角分別為30°和60°,那么PD與平面ABC所成的角為__________【答案】45°【解析】連接AD,設PA=1,∵PA⊥平面ABC,PB、PC與平面ABC所成的角分別是30°和60°,∴∠ABP=30°,∠ACP=60°,∠ADP是PD與平面ABC所成的角,∴PB=2,AB=,AC=,∴CD=BC=×=,∴AD===1,∴tan∠ADP==1,∴∠ADP=45°,∴PD與平面ABC所成角的大小為45°.    故答案為：45°四、小結：直線與平面垂直的定義：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點叫垂足．如圖所示:線面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線和這個平面垂直．符號表示：若，則．圖形表示:      注意：面內兩條相交直線五、作業(yè)：習題8.6.2 

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8.6 空間直線、平面的垂直

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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