?專題二 勾股定理中的方程思想（專項(xiàng)練習(xí)）
一、單選題
1．在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（　?。┏撸?br />
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
2．如圖，高速公路上有兩點(diǎn)A，B相距25km，C，D為兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，現(xiàn)需要在AB上建一個(gè)高速收費(fèi)站E，使得C，D兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)到E站的距離相等，則BE的長為（ ）

A．10km B．15km C．20km D．25km
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則線段DE的長為（ ）

A． B．3 C． D．1
4．小亮想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2m，當(dāng)他把繩子的下端拉開8m后，下端剛好接觸到地面，則學(xué)校旗桿的高度為（ ）
A．m B．m C．m D．m
5． 中， 是垂足，與交于，則．
A． B． C． D．
6．已知直角三角形的斜邊長為5cm，周長為12cm，則這個(gè)三角形的面積（ ）
A． B． C． D．

二、填空題
7．如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是 _____．

8．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何？”（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處．問水的深度是多少？則水深DE為________尺．

9．如圖，已知，直角中，，從直角三角形兩個(gè)銳角頂點(diǎn)所引的中線的長，，則斜邊AB之長為______________．

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是________ cm2．

11．如圖，在平面直角在坐標(biāo)系中，四邊形OACB的兩邊OA，OB分別在x軸、y軸的正半軸上，其中，且CO平分，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．

12．如圖，點(diǎn)A為等邊三角形BCD外一點(diǎn)，連接AB、AD且AB＝AD，過點(diǎn)A作AE∥CD分別交BC、BD于點(diǎn)E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，則線段AE的長 _____．


三、解答題
13．已知，如圖，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．
（1）求證：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的長．



14．某中學(xué)初二年級游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長三尺，BC的長度為8尺，求：繩索AC的長度．


15．如圖，在中，，，，，求的長．

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的長．


17．如圖（1），是兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）
（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個(gè)圖形，可以證明我們學(xué)過的哪個(gè)定理，用字母表示：_________；
（2）當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，將其中一個(gè)直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點(diǎn)C為線段OA上一點(diǎn)，將△ABC沿著直線BC翻折，點(diǎn)A恰好落在x軸上的D處．
①請寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若△CMD為等腰三角形，點(diǎn)M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．

18．已知：如圖，有一塊Rt△ABC的綠地，量得兩直角邊AC＝8m，BC＝6m．現(xiàn)在要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰△ABD，且擴(kuò)充部分（△ADC）是以8m為直角邊長的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰△ABD的周長．
（1）在圖1中，當(dāng)AB＝AD＝10m時(shí)，△ABD的周長為 　 ??；
（2）在圖2中，當(dāng)BA＝BD＝10m時(shí)，△ABD的周長為 　 ??；
（3）在圖3中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，求△ABD的周長．



19．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3．點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．連接AP
（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長度(結(jié)果保留根號(hào))；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求t的值；
（3）過點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE＝CD?




20．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了一個(gè)題：如圖，在中，，，，的平分線交CB于點(diǎn)D，求CD的長．
曉涵同學(xué)思索了一會(huì)兒，考慮到角平分線所在直線是角的對稱軸這一特點(diǎn)，于是構(gòu)造了一對全等三角形，解決了這個(gè)問題．請你在曉涵同學(xué)的啟發(fā)下（或者獨(dú)立思考后有自己的想法），解答這道題．






21．思維啟迪：
（1）如（圖1），中，，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，過B點(diǎn)作AC的平行線，交直線ED于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，______．
思維探索：
（2）如（圖2），中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，交BC于F，連接EF，請直接寫出AE，EF，BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AC上，交直線BC于F，若，，，請直接寫出線段BF長．





22．滑撐桿在懸窗中應(yīng)用廣泛．如圖，某款滑撐桿由滑道，撐桿、組成，滑道固定在窗臺(tái)上．懸窗關(guān)閉或打開過程中，撐桿、的長度始終保持不變．當(dāng)懸窗關(guān)閉時(shí)，如圖①，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，撐桿、恰與滑道完全重合；當(dāng)懸窗完全打開時(shí)，如圖②，此時(shí)撐桿與撐桿恰成直角，即，測量得，撐桿，求滑道的長度．




23．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，且有AD＝BD，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），聯(lián)結(jié)DE，設(shè)AE＝x，DE＝y(tǒng)．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；
（3）當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．




24．如圖，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，連接DP，PQ．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，回答下列問題：
（1）當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為____________厘米/秒時(shí)，△BPD和△CPQ全等；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P的速度不變，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度出發(fā)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不變，沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)．
①請求出兩點(diǎn)首次相遇時(shí)的t值，并說明此時(shí)兩點(diǎn)在△ABC的哪一條邊上；
②在P、Q兩點(diǎn)首次相遇前，能否得到以PQ為底的等腰△APQ？如果能，請直接寫出t值；如果不能，請說明理由．



25．如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．



26．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的邊，邊AC的長度比BC長10cm，斜邊AB的長度比BC長度的2倍短10cm．
（1）求Rt△ABC的各條邊的長．
（2）求AB邊上的高．
（3）點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)在線段AB上以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
①用含t的代數(shù)式表示線段BD的長為　 ??；
②當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)，請求出t的值．




27．如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C，已知兩只猴子所經(jīng)路程都是16m，求樹高AB．




28．如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過C點(diǎn)在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)．
（1）如圖①，連接AP，判斷線段AP與線段DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（2）如圖②，連接CP并延長交AB邊所在直線于點(diǎn)Q，若AQ＝2，求BD的長．





29．如圖，在長方形中，，．延長到點(diǎn)，使，連接．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）的長為 ；
（2）連接，求當(dāng)為何值時(shí)，；
（3）連接，求當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形；
（4）直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形．




30．如圖，在Rt中，，，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長度．
（1）當(dāng)時(shí)， ， ；
（2）用含t的代數(shù)式表示的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t為何值，是以BD或CD為底的等腰三角形？并說明理由；
（4）直接寫出當(dāng)是直角三角形時(shí)，t的取值范圍 ．
















參考答案
1．D
【分析】
根據(jù)題意作出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，勾股定理求解即可
【詳解】
如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，

設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折斷處離地面4.55尺．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理建立方程求解是解題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】
根據(jù)題意設(shè)出的長為，再由勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】
解：設(shè)，則，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由題意可知：，
∴，
解得：，
∴BE=10km．
故選A．
【點(diǎn)撥】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．
3．C
【分析】
過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，從而得到CE=CF，再由角平分線的性質(zhì)定理，可得FC=FG，再證得，可得 ，然后設(shè) ，則 ，再由勾股定理可得 ，然后利用三角形的面積求出 ，即可求解．
【詳解】
解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵，
∴，
∴ ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4， ，
設(shè) ，則 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故選：C
【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】
根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高．
【詳解】
解：根據(jù)題意畫出圖形如下所示：

則BC＝8m，
設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
故AB＝15m，
即旗桿的高為15m．
故選：C．
【點(diǎn)撥】此題考查了學(xué)生利用勾股定理解決實(shí)際問題的能力，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．
5．A
【分析】
根據(jù)題意利用含60°的直角三角形性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)行分析計(jì)算即可得出答案.
【詳解】
解：如圖，

∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
設(shè),
所以勾股定理可得：，則
解得：或（舍去），
∴.
故選：A.
【點(diǎn)撥】本題考查含60°的直角三角形性質(zhì)和勾股定理以及等腰直角三角形，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6．C
【分析】
設(shè)該直角三角形的兩條直角邊分別為、，根據(jù)勾股定理和周長公式即可列出方程，然后根據(jù)完全平方公式的變形即可求出的值，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】
解:設(shè)該直角三角形的兩條直角邊分別為、，
根據(jù)題意可得：
將②兩邊平方－①，得

∴
∴該直角三角形的面積為
故選:C
【點(diǎn)撥】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)和完全平方公式，根據(jù)勾股定理和周長列出方程是解決此題的關(guān)鍵．
7．101寸
【分析】
取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到答案．
【詳解】
解：取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：
由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，
設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案為：101寸．

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，添加輔助線構(gòu)造出直角三角形再用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．
8．12
【分析】
設(shè)水池里水的深度是尺，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】
設(shè)水池里水的深度是尺，則，，
由題意得：，
∴，
解得：，
故答案為：12．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，由題意找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
9．8
【分析】
設(shè)BC=x，AC=y，根據(jù)勾股定理列方程組，從而可求得斜邊的平方，即求得斜邊的長．
【詳解】
設(shè)BC=x，AC=y，
∵直角三角形兩個(gè)銳角頂點(diǎn)所引的中線
∴
在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得：

∴
∴
∴
故答案為：8
【點(diǎn)撥】注意此題的解題技巧：根據(jù)已知條件，在兩個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理列方程組．求解的時(shí)候，注意不必分別求出未知數(shù)的值，只需求出兩條直角邊的平方和，運(yùn)用勾股定理即可．
10．6
【分析】
先根據(jù)勾股定理得到AB＝10cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，則AC′＝4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝10cm，
∵將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，
∴△BCD≌△BC′D，
∴∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，
∴AC′＝AB﹣BC′＝4cm，
設(shè)DC＝xcm，則AD＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADC′中，AD2＝AC′2＋C′D2，
即（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，
∵∠AC′D＝90°，
∴△ADC′的面積＝×AC′×C′D＝×4×3＝6（cm2）．
故答案為6．
【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．
11．
【分析】
取AB的中點(diǎn)E，連接OE，CE并延長交x軸于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形斜邊 上的中線等于斜邊的一半證明CE=OE=AE，再進(jìn)一步證明；由勾股定理求出AB=，AO=BO=5；過點(diǎn)O作OG⊥OC交CA的延長線于點(diǎn)G，證明△COG訪問團(tuán)等腰直角三角形，可可求出OC=7；過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，設(shè)C（m，n），則OH=m，CH=n，AH=5-m，根據(jù)勾股定理可得方程組 ，求出方程組的解，取正值即可．
【詳解】
解：取AB的中點(diǎn)E，連接OE，CE并延長交x軸于點(diǎn)F，如圖，

∵，OC平分∠ACB，
∴
∵均為直角三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
由勾股定理得，
∴
∴
過點(diǎn)O作OE⊥OC交CA的延長線于點(diǎn)G，
∵∠OCA=45°，
∴∠G=45°，
∴△COG為等腰直角三角形，
∴OC=OG，
∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°，
∴∠BOC=∠AOG，
∵∠OCB=∠OEA=45°，
∴△COB≌△GOA（ASA），
∴BC=AG=，
∵CG=AC+AG=
∵△OCE為等腰直角三角形，
∴OC=7
過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)C（m，n），
∴OH=m，CH=n，AH=5-m
在Rt△CHO和Rt△CHA中，由勾股定理得，

解得，，（負(fù)值舍去）
∴C（）
故答案為：（）
【點(diǎn)撥】本題主要考查了坐標(biāo)瑋圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
12．9
【分析】
連接AC交BD于點(diǎn)O，可得AC是BD的垂直平分線，設(shè)BD=5x，則AE=3x，求出OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，證明△BOE是等邊三角形，得，利用AF=2OF列出方程求出x的值，進(jìn)而可得AE的長．
【詳解】
解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，

∵3BD=5AE，
∴，
設(shè)BD=5x，則AE=3x，
∵△BCD是等邊三角形，
∴BC=CD=BD=5x，∠DCB=∠DBC=60°，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴OB=OD=x，OC平分∠BCD，
∴∠DCO=∠DCB=30°，
∵AE∥CD，
∴∠DCO=30°，
∴，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∴∠AEB=∠FBE=∠BFE=60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE=BF=EF=6，
∴OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，
∵
∴
∴
∴
解得x=3，
∴AE=AF+EF=3x-6+6=3x=9．
故答案為：9．
【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到AF=2OF列出方程求解．
13．（1）見解析；（2）2
【分析】
（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出∠EAD ＝∠ADE即可；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，求出DF＝DC＝，設(shè)AE＝x，根據(jù)勾股定理列方程即可．
【詳解】
解：（1）∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．
∵∠C ＝ 90°，AC＝3，，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ．
設(shè)AE＝x，則DE＝x，，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解題關(guān)鍵是利用角平分線和平行線證明等腰，設(shè)未知數(shù)，依據(jù)勾股定理列方程．
14．繩索長是尺
【分析】
設(shè)，則，由勾股定理及即可求解．
【詳解】
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：，
答：繩索長是尺．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理得應(yīng)用，用題意列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】
設(shè)CD=AD=x，則BD=4－x，在Rt△DBC中由勾股定理建立方程可求得x的值，從而求得CD的長．
【詳解】
設(shè)CD=AD=x，則BD=AB－AD=4－x
∵BC=3
∴在Rt△DBC中，由勾股定理得：
即
解方程得：
即
【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是通過勾股定理建立方程．
16．5
【分析】
由DE是線段AB的垂直平分線，得到AE=BE，設(shè)AE=BE=x，則CE=AC-AE=8-x，在△BCE中利用勾股定理求解即可．
【詳解】
解：如圖所示，連接BE
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
設(shè)AE=BE=x，則CE=AC-AE=8-x，
∵∠C=90°，
∴，
∴，
解得，
∴AE=5．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
17．（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【分析】
（1）根據(jù)梯形的面積的兩種表示方法即可證明；
（2）①設(shè)OC＝a，則AC＝4－a，根據(jù)勾股定理求出AB的長度，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；
②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分四種情況討論，分別列出方程求解即可．
【詳解】
解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2
S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）
∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b）
∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2
∴c2＝a2＋b2．
（2）①設(shè)OC＝a，則AC＝4－a，又，
根據(jù)翻折可知：
BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，
OD＝BD－OB＝5－3＝2．
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，得：，
即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝．
∴C（0，），D（2，0）．
答：C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C（0，），D（2，0）．
②如圖：

當(dāng)點(diǎn)M在x軸正半軸上時(shí)，當(dāng)CM＝DM，
設(shè)CM＝DM＝x，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
則x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝，
∴2－x＝，
∴M（，0）；
當(dāng)CD＝MD，＝4－＝，2＋＝，
∴M（，0）；
當(dāng)點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上時(shí)，當(dāng)CM＝CD，
∵，
∴OM＝OD＝2，
∴M（－2，0）；
當(dāng)DC＝DM，＝4－＝，
∴OM＝－2＝，
∴M（－，0）．
答：符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，是三角形的綜合題，解決本題的關(guān)鍵是分情況討論思想的運(yùn)用．
18．（1）32m；（2）（20＋4）m；（3）m．
【分析】
（1）利用勾股定理得出DC的長，進(jìn)而求出△ABD的周長；
（2）利用勾股定理得出AD的長，進(jìn)而求出△ABD的周長；
（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的長，進(jìn)而求出△ABD的周長．
【詳解】
：（1）如圖1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴
則△ABD的周長為：10+10+6+6=32（m）．
故答案為32m；
（2）如圖2，當(dāng)BA=BD=10m時(shí)，
則DC=BD-BC=10-6=4（m），
故
則△ABD的周長為：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案為（20+4）m；
（3）如圖3，∵DA=DB，
∴設(shè)DC=xm，則AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=，
∵AC=8m，BC=6m，
∴
故△ABD的周長為：AD+BD+AB=2
【點(diǎn)撥】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
19．

（1）

（2）5

（3）t為5或11
【分析】
（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間先求出PC，再根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)，則PA=PB，再根據(jù)勾股定理列方程即可求解；
（3）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的不同位置利用勾股定理即可求解．
（1）
根據(jù)題意，得BP=2t，PC=16﹣2t=16﹣2×3=10，AC=8，
在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理，得：
AP2．
答：AP的長為；
（2）
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)，則PA=PB，
BP=2t，PC=16﹣2t， AC=8，

PA=PB=2t，
∠ACB＝90°，
則，
即，
解得t=5；
答：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí)t=5；
（3）
若P在C點(diǎn)的左側(cè)，CP=16﹣2t，DE=DC=3，AD=8-3=5．

∵，
∴AP=，
∵，
∴，
解得：t=5，t=11（舍去）；
若P在C點(diǎn)的右側(cè)，CP=2t﹣16，DE=DC=3，AD=8-3=5．

同理：AP=，
∵，
∴，
解得：t=5（舍去），t=11；
答：當(dāng)t為5或11時(shí)，能使DE=CD．
【點(diǎn)晴】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)求一個(gè)數(shù)的平方根解方程，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)分類討論．
20．
【分析】
在AB上截取，連接DE，根據(jù)證明，證得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．
【詳解】
解：在AB上截取，連接DE

∵，，
∴，
∵AD平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
設(shè)，則，
∵
∴即，
解得，
∴CD的長為．
【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．
21．（1）2；（2）BF2+AE2=EF2，理由見解析；（3）線段BF長為1或2.2．
【分析】
（1）先利用勾股定理求得AC的長，再證明△ADE≌△BDF，即可求解；
（2）過B點(diǎn)作AC的平行線，交直線ED于點(diǎn)G，連接FG，證明△ADE≌△BDG，得到BG=AE，∠A=∠GBD，再證明EF=FG，在Rt△BFG中利用勾股定理即可求解；
（3）分點(diǎn)E在線段AC上和點(diǎn)E在AC延長線上時(shí)，兩種情況討論，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可，
【詳解】
解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，
∴AC=，
∵CE=1，∴AE=AC-CE=2，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠FBD，∠AED=∠F，
又點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AD=BD，
∴△ADE≌△BDF，
∴BF=AE=2，
故答案為：2；
（2）BF2+AE2=EF2，理由如下：
過B點(diǎn)作AC的平行線，交直線ED于點(diǎn)G，連接FG，

同理可證明△ADE≌△BDF，
∴BF=AE，ED=DG，∠A=∠GBD，
∵DF⊥DE，
∴DF是線段EG的垂直平分線，
∴EF=FG，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=∠GBD+∠ABC=90°，即∠GBF=90°，
∴BF2+BG2=FG2，
∴BF2+AE2=EF2；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=，
∴BC=，
當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，
∵EC=1，
∴AE=AC-CE=2，
設(shè)BF=x，則CF=5-x，

由（2）得EF2= BF2+AE2，
在Rt△ECF中，EF2= CF2+CE2，
∴x2+22= (5-x)2+12，
解得：x=2.2；
當(dāng)點(diǎn)E在AC延長線上時(shí)，
∵EC=1，
∴AE=AC+CE=4，
設(shè)BF=x，則CF=5-x，

過B點(diǎn)作AC的平行線，交直線ED于點(diǎn)H，連接FH，
同理可證明△ADE≌△BDH，
∴BH=AE=4，ED=DH，∠A=∠HBD，
∵DF⊥DE，
∴DF是線段EH的垂直平分線，
∴EF=FH，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=∠HBD+∠ABC=90°，即∠HBF=90°，
∴FH2= BF2+BH2，
在Rt△ECF中，EF2= CF2+CE2，
∴x2+42= (5-x)2+12，
解得：x=1；
綜上，線段BF長為1或2.2．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，
22．滑道的長度為51cm．
【分析】
設(shè)cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得m的值，由此可得結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)cm，則由圖①可知 cm，
由圖②可知cm，
∵，
∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得，
，
∴，
解得，
∴滑道的長度為51cm．
【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，能結(jié)合撐桿、的長度始終保持不變正確表示出BC和AC是解題關(guān)鍵．
23．（1）30°；（2）y＝；（3）12﹣4或8
【分析】
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A；
（2）作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理求出DF，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）分BE＝BD、BE＝DE兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】
解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如圖，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，

∴AF＝AB＝6，
∴EF＝|6﹣x|，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△DEF中，，
即，
解得：y＝；
（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
當(dāng)BE＝BD＝4時(shí)，AE＝12﹣4；
當(dāng)BE＝DE時(shí)，12﹣x＝，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵點(diǎn)E與A、B不重合，
∴DB≠DE，
綜上所述：當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，AE的長為12﹣4或8．
【點(diǎn)撥】本題考查了角的平分線，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理，靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．
24．（1）或2厘米/秒時(shí)；（2）①，兩個(gè)點(diǎn)在△ABC的邊AC上首次相遇；②0或
【分析】
（1）分當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)和當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）①根據(jù)當(dāng)PQ相遇時(shí)，Q點(diǎn)比P點(diǎn)多走的距離為AB+AC，得到，由此求解即可；
②分當(dāng)P在BC上靠近B一端，Q在AC上時(shí)，當(dāng)P在BC上靠近C一端，Q在AC上時(shí)，當(dāng)P在AC上，Q在AB上時(shí)，當(dāng)P在AC上，Q在BC上時(shí)，進(jìn)行分類討論求解即可．
【詳解】
解：（1）當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，
∴，，
∴，
∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為；
當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為或2厘米/秒時(shí)，△BPD和△CPQ全等；
（2）①∵當(dāng)PQ相遇時(shí)，Q點(diǎn)比P點(diǎn)多走的距離為AB+AC，
∴，
解得，
∵，
∴兩個(gè)點(diǎn)在△ABC的邊AC上首次相遇；
②如圖①所示，當(dāng)P在BC上靠近B一端，Q在AC上時(shí)，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
同理可求出當(dāng)P在BC上靠近C一端，Q在AC上時(shí)，結(jié)果與上面相同；

如圖②所示，當(dāng)P在AC上，Q在AB上時(shí)，
∴AQ=AP，
∴，
解得；

如圖③所示，當(dāng)P在AC上，Q在BC上時(shí)，同圖①可知此時(shí)不存在t使得AQ=AP，
綜上所述，當(dāng)t=0或，使得△APQ是以PQ為底的等腰三角形．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．
25．3米
【分析】
竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是x米，則斜邊為（8x）米．利用勾股定理解題即可．
【詳解】
解：由題意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴設(shè)BC長為x米，則AC長為（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：，
解得：，
∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．
【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．
26．（1）AB=50cm，BC=30cm，AB=40cm，（2）AB邊上的高為24cm；（3）①2t；②當(dāng)△BCD為等腰三角形時(shí)， t的值為15s或18s或s．
【分析】
（1）設(shè)，則，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，然后利用面積法求解即可；
（3）①根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可得到答案；
②分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論求解即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)，則，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，則，；
（2）如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AB邊上的高為；


（3）①由題意得：，
故答案為：；
②如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，
∴，
解得；


如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
∴，
∴，
解得；


如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
設(shè)，
在直角△CEB中，
∴，
在直角△CDE中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
綜上所述，當(dāng)?shù)闹禐?5或18或時(shí)，△BCD為等腰三角形．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，三角形面積，等腰三角形的性質(zhì)，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．
27．樹高AB為m．
【分析】
設(shè)出長為，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根據(jù) 與AB的長度關(guān)系，求出樹高AB即可．
【詳解】
根據(jù)題意表示出AD，AC，BC的長進(jìn)而利用勾股定理得出AD的長，即可得出答案．
解：由題意可得出：BD＝10m，BC＝6m，設(shè)AD ＝xm，則AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：樹高AB為m．
【點(diǎn)撥】本題主要是考查了勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問題抽象成幾何問題求解，并利用勾股定理列方程，求邊長，是解決本題的關(guān)鍵．
28．（1）AP＝DE，理由見解析；（2）BD＝或
【分析】
（1）連接AE，首先根據(jù)∠ACB＝∠ECD＝90°，得到∠ECA＝∠DCB，然后證明△BCD≌△ACE（SAS），根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到∠EAC＝∠B＝45°，進(jìn)一步得出∠EAD＝90°，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出AP＝DE；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)Q在線段AB上時(shí)和當(dāng)Q在線段BA延長線上時(shí)，連接AE，EQ，根據(jù)題意得出CQ垂直平分DE，進(jìn)而根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到EQ＝DQ，設(shè)BD＝AE＝x，在Rt△AEQ中根據(jù)勾股定理列方程求解即可；
【詳解】
解：（1）AP＝DE，理由：
連接AE，如圖，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠EAC＝∠B＝45°．
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．
又∵P為DE中點(diǎn)，
∴AP＝DE．
（2）情況（一），當(dāng)Q在線段AB上時(shí)，連接AE，EQ，如圖，

∵CE⊥CD，且CE＝CD，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
設(shè)BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，
由（1）知：∠EAB＝90°，
∴EA2+AQ2＝EQ2．
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝，即BD＝；
情況（二），當(dāng)Q在線段BA延長線上時(shí)，連接AE，EQ，如圖，

∵CE⊥CD，且CE＝CD，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
設(shè)BD＝AE＝x，
同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，
解得x＝．
綜上：BD＝或．
【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的運(yùn)用，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確作出輔助線．
29．（1）5；（2）秒時(shí)，ΔABP?ΔDCE；（3）當(dāng)秒或秒時(shí)，ΔPDE是直角三角形；（4）當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，ΔPDE為等腰三角形．
【分析】
（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)及勾股定理直接求解即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：，即可求出時(shí)間t；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，在兩個(gè)直角三角形中運(yùn)用兩次勾股定理，然后建立等量關(guān)系求解即可；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，得出，即可計(jì)算t的值；
（4）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別結(jié)合圖形，利用各邊之間的關(guān)系及勾股定理求解即可得．
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD為長方形，
∴，，
在RtΔDCE中，
，
故答案為：5；
（2）如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P到如圖所示位置時(shí)，ΔABP?ΔDCE，


∵，，
∴ΔABP?ΔDCE，僅有如圖所示一種情況，
此時(shí)，，
∴，
∴秒時(shí)，ΔABP?ΔDCE；
（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示：


在RtΔPDE中，
，
在RtΔPCD中，
，
∴，
，，
∴，
解得：；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴，
∴；
綜上可得：當(dāng)秒或秒時(shí)，ΔPDE是直角三角形；
（4）若ΔPDE為等腰三角形，分三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∵，，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖所示：


，
∴；
③當(dāng)時(shí)，如圖所示：


，
∴，
在RtΔPDC中，
，
即，
解得：，
，
∴；
綜上可得：當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，ΔPDE為等腰三角形．
【點(diǎn)撥】題目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)等，理解題意，分類討論作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．
30．（1）1；3；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）t=3秒或3.6秒時(shí)，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形；（4）或秒．
【分析】
（1）由勾股定理先求出的長度，則時(shí)，點(diǎn)D在線段AB上，即可求出答案；
（2）由題意，可分為：，兩種情況，分別表示出的長度即可；
（3）分①CD=BC時(shí)，CD=3；②BD=BC時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，即可得到答案．
（4）分①∠CDB=90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，然后即可得解；
【詳解】
解：（1）在Rt中，，，，
∴，
∵點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長度，
∴當(dāng)，點(diǎn)D在線段CA上；當(dāng)，點(diǎn)D在線段AB上；
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在線段AB上，
∴，；
故答案為：1；3；
（2）根據(jù)題意，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在線段CA上，且，
∴；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在線段AB上，
∴；
（3）①CD=BC時(shí)，CD=3，t=3÷1=3；
②BD=BC時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，

設(shè)，則，
∴，
∴，
∴CD=2CF=1.8×2=3.6，
∴t=3.6÷1=3.6，
綜上所述，t=3秒或3.6秒時(shí)，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形．
（4）①∠CDB=90°時(shí)，S△ABC=AC?BD=AB?BC，
即=×4×3，
解得BD=2.4，
∴CD=，
∴t=1.8÷1=1.8秒；
②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
∴
綜上所述，t=1.8或秒；
故答案為：或秒；
【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，（3）（4）難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．

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