專題17.2  勾股定理（專項(xiàng)練習(xí)） 一、單選題1．下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（　?。?/span>A．0.3，0.4，0.5 B．5，7，9C．4，5，6 D．6，8，102．如圖 ，點(diǎn) A 表示的實(shí)數(shù)是（    ）A． B． C． D．3．如圖，為了測(cè)量池塘的寬度，在池塘周圍的平地上選擇了、、三點(diǎn)，且、、、四點(diǎn)在同一條直線上，，已測(cè)得，，，，則池塘的寬度（    ）A． B． C． D．4．如圖，直角三角形的三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是（    ）A． B． C． D．無(wú)法判斷5．邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是（      ）A． B．2 C．2 D．46．如圖，一輪船以12海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以5海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后兩船相距（   ）A．13 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．26 海里7．下面各圖中，不能證明勾股定理正確性的是（　　）A． B． C． D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則斜邊AB上的高是（    ）A． B． C．9 D．69．如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（    ）A．52 B．68 C．72 D．7610．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（    ）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周長(zhǎng)等于AB＋BCC．AD＝BD＝BC D．△BCD的面積等于△BED的面積11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且，在y軸上確定一點(diǎn)P，使為等腰三角形，則所有符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)有（    ）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)12．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（　　）A．8 B．6 C．4 D．313．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　　?。?/span>A． B． C． D．  二、填空題14．如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為5cm，高為12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為____．15．在直角三角形ABC中，斜邊，則________．16．一根竹子，原高十尺，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹端恰好抵地，抵地處離竹子底端6尺遠(yuǎn)，則折斷處離地面的高度是___________．17．如圖，每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，則AB＋BC＝_____．18．如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為____________
 19．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是_______．20．若等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為6，則其腰上的高為 _________．21．如圖，在三角形紙片中，,折疊紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕與交于點(diǎn)，則折痕的長(zhǎng)為_____________；22．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，巧妙地利用面積關(guān)系證明了一個(gè)定理，這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．這個(gè)定理就是_____定理．23．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作之一，其中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？譯為：如圖所示，中，求的長(zhǎng)．在這個(gè)問(wèn)題中，可求得的長(zhǎng)為_________．24．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是______cm．25．如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于兩點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為______________．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，在軸和軸上分別有兩點(diǎn)、，則，，，四點(diǎn)組成的四邊形的最小周長(zhǎng)為__． 三、解答題27．如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在BC上作點(diǎn)D，使得；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）若，，求BC的長(zhǎng)．28．我們知道，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．（1）如圖1，點(diǎn)P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準(zhǔn)外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長(zhǎng)．29．如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折疊紙片使AC邊落在AB邊上，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，展開(kāi)紙片得折痕AD．（1）直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)是________；（2）求CD的長(zhǎng)．
參考答案1．D【詳解】A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整數(shù)，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；B、∵52+72≠92，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；C、∵52+42≠62，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；D、∵62+82＝102，∴這組數(shù)是勾股數(shù)．故選：D．2．C【分析】根據(jù)勾股定理、實(shí)數(shù)和數(shù)軸的知識(shí)進(jìn)行解答即可．解：點(diǎn) A 表示的實(shí)數(shù)是1-．故答案為C．3．C解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝80m所以DE＝AC?AD?EC＝80?20?10＝50m故選：C．4．C【詳解】∵，
 同理，
∵由勾股定理得：，
∴，∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及圓的面積公式，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．5．C解：對(duì)角線平方的長(zhǎng)是8，
邊長(zhǎng)為2的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，利用了開(kāi)方運(yùn)算．6．D【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度×時(shí)間，得兩條船分別走了24海里，10海里．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，
∴∠BAC=90°，
兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了12×2=24（海里），5×2=10（海里），根據(jù)勾股定理得：（海里）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡(jiǎn)單．7．C解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵4× +c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)圖法來(lái)證明勾股定理.8．A【分析】設(shè)點(diǎn)C到斜邊AB的距離是h，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．解：設(shè)點(diǎn)C到斜邊AB的距離是h，因?yàn)樵?/span>Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．9．D【詳解】由題意可知 ∵ ∴ ∴風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是 故選：D．10．D解： AB＝AC，∠A＝36°， AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E， 平分，故正確； 故正確； 故正確；如圖，過(guò)作于 平分 故錯(cuò)誤；故選：11．B【詳解】如圖所示：點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (4,?3) ，則AB=5（1）若OA=AP，則AP=5，此時(shí)點(diǎn)P（0，-6）；（2）若OA=OP，則OP=5，此時(shí)點(diǎn)P（0，5），P（0，-5）；（3）若AP=OP，設(shè)OP=AP=x，過(guò)A做OP的垂線交y軸與D點(diǎn)，由勾股定理得（x-3）+4 = x，解得x= ，則點(diǎn)P（0，-）．故選：B．12．C【分析】解：根據(jù)勾股定理得：，且ab＝6，∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故選：C．13．B解：作CD⊥AB于D，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0．-2)，∴AB=6，∵CA=CB，CD⊥AB，∴AD=DB=3，∴OD=1，由勾股定理得，CD==4，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，1)，故選：B．14．2cm解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°，
∴，
露出杯口外的長(zhǎng)度最少為=15-13=2cm．
故答案為：2cm．15．解：∵在直角三角形ABC中，，∴=4，∴4+4=8，故答案為：8．16．尺【詳解】設(shè)折斷處離地面的高度是x，根據(jù)題意，折斷后的竹子和地面構(gòu)成直角三角形，由勾股定理得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，故答案為：3.2尺．17．【分析】根據(jù)勾股定理可以求出AB和BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AB+BC的值．解：∵每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，∴，∴AB＋BC＝．故答案為．18．3解：根據(jù)網(wǎng)格可知，BC=5，，，解得BD=3，故答案為：3．19．解：過(guò)P作PE⊥x軸，連接OP， ∵， ∴PE=3，OE=2．在中，根據(jù)勾股定理得：， ∴，則點(diǎn)P在原點(diǎn)的距離為．故答案為．20．解：如圖，過(guò)C點(diǎn)做，設(shè)，∵在中，，∴，在中，，，∴，即：，解得：，∴，故答案為：．21．4【詳解】在Rt△ABC中，，設(shè)，則，∵，即，解得：，∴，，∵折疊△ABC紙片使點(diǎn)C落在AB邊上的D點(diǎn)處，
∴∠CBE=∠ABE，
在Rt△ABC中，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠CBE=∠ABE=∠ABC=30°，∴∠ABE=∠A=30°，∴BE=AE，在Rt△BCE中，∠C=90°，，，∵，即，解得：．22．【詳解】解：這個(gè)定理就是勾股定理，故答案為勾股．23．4.55解：設(shè)AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2解得：x=4.55，即AC=4.55．故答案為：4.55．24．13【詳解】將圓柱沿A所在的高剪開(kāi)，展平如圖所示，則，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則此時(shí)線段即為螞蟻?zhàn)叩淖疃搪窂剑?/span>過(guò)B作于點(diǎn)，則，在中，由勾股定理得，故答案為：13．25．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴．故答案為: ．26．．解：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交軸于，則此時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，且四邊形的最小周長(zhǎng)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，四邊形的最小周長(zhǎng)，故答案為：．27．解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；（2）連接AD，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，在Rt?ADC中，DA=2AC=6，∴DB=6，∵，∴，∴BC=DB+DC=6+．28．（1）見(jiàn)解析；（2）AP的長(zhǎng)為或2或【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）先利用勾股定理計(jì)算AC=4，再進(jìn)行討論：當(dāng)P點(diǎn)在AB上，PA＝PB，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PA＝PC，易得對(duì)應(yīng)AP的值；當(dāng) P點(diǎn)在AC上，PB＝PC，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時(shí)AP的長(zhǎng)．（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，PA＝PB，則APAB；當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PB＝PC，如圖2，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時(shí)AP，綜上所述，AP的長(zhǎng)為或2或．29．（1）10；（2）CD的長(zhǎng)是3解：（1）∵直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，故答案為：10；（2）由折疊的性質(zhì)可知，AC＝AE=6，DC＝DE，∠AED=∠C=90°，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，設(shè)CD＝x，則BD＝8﹣x，DE＝x，在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，則CD的長(zhǎng)是3．

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