知識(shí)點(diǎn) 用基本不等式求最值
用基本不等式eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)求最值應(yīng)注意：
(1)x，y是正數(shù)．
(2)①如果xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
②如果x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
(3)討論等號(hào)成立的條件是否滿足．
思考1 利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，應(yīng)注意什么問題呢？
答案 利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意：一正，二定，三相等．
思考2 x＋eq \f(1,x)的最小值是2嗎？
答案 只有當(dāng)x>0時(shí)，才有x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，即x＋eq \f(1,x)的最小值是2；
當(dāng)x0，即x>2y.
2．已知正數(shù)a，b滿足ab＝10，則a＋b的最小值是________．
答案 2eq \r(10)
解析 a＋b≥2eq \r(ab)＝2eq \r(10)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq \r(10)時(shí)，等號(hào)成立．
3．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是________．
答案 50
解析 ∵m2＋n2≥2mn，
∴mn≤eq \f(m2＋n2,2)＝50.
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝±5eq \r(2)時(shí)，等號(hào)成立．
4．已知00，y>0，且滿足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．
解 (1)因?yàn)閤2，所以x－2>0，
eq \f(1,x－2)＋x＝eq \f(1,x－2)＋x－2＋2≥2eq \r(?x－2?·\f(1,x－2))＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3時(shí)，等號(hào)成立，
所以eq \f(1,x－2)＋x的最小值為4.
(3)因?yàn)閤>0，y>0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝8＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝12，y＝3時(shí)等號(hào)成立，
所以x＋2y的最小值為18.
延伸探究
1．若把例1(3)的條件“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改為“x＋2y＝1”，其他條件不變，求eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
解 因?yàn)閤>0，y>0，所以eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))
＝8＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，x＋2y＝1，即x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)時(shí)，等號(hào)成立，所以eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值為18.
2．若把例1(3)的條件“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改為“x＋8y＝xy”，其他條件不變，求x＋2y的最小值．
解 因?yàn)閤>0，y>0，由x＋8y＝xy，兩邊同時(shí)除以xy，
可得eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
所以x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)
≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)x＝12，y＝3時(shí)，x＋2y的最小值為18.
(學(xué)生)
反思感悟 基本不等式求最值的兩種常用方法
(1)拼湊法，拼湊法求解最值，其實(shí)質(zhì)就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值時(shí)，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．
(2)常數(shù)代換法，常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時(shí)，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)當(dāng)x>0時(shí)，求eq \f(12,x)＋4x的最小值；
(2)當(dāng)x>1時(shí)，求2x＋eq \f(8,x－1)的最小值．
解 (1)∵x>0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.
∴eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)時(shí)，等號(hào)成立，
∴當(dāng)x>0時(shí)，eq \f(12,x)＋4x的最小值為8eq \r(3).
(2)2x＋eq \f(8,x－1)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?x－1?＋\f(4,x－1)))＋2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴2x＋eq \f(8,x－1)≥2×2eq \r(4)＋2＝10，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)x>1時(shí)，2x＋eq \f(8,x－1)的最小值為10.
二、基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
例2 2016年11月3日 20點(diǎn)43分我國長征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認(rèn)為我國已從航天大國向航天強(qiáng)國邁進(jìn)的重要標(biāo)志．長征五號(hào)運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料，甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10)，每小時(shí)可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克．
(1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù)；
(2)要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？
解 (1)由題意，得k＋9＝10，即k＝1，
生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是eq \f(m,x)，
所以y＝eq \f(m,x)(kx2＋9)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為
y＝1 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))≥1 000×2eq \r(9)＝6 000(千克)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(9,x)，即x＝3時(shí)，等號(hào)成立，
故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，消耗的A材料最少，最少為6 000千克．
(學(xué)生)
反思感悟 利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟
解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)先理解題意，設(shè)變量．設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．
(4)正確寫出答案．
跟蹤訓(xùn)練2 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？
解 設(shè)矩形的一邊長為x m，則另一邊長為eq \f(800,x) m，
因此種植蔬菜的區(qū)域?qū)挒?x－4)m，長為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(800,x)－2))m.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4>0，,\f(800,x)－2>0，))得40)在x＝3時(shí)取得最小值，則a的值為________．
答案 36
解析 4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，
當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq \f(a,x)，即a＝4x2＝36時(shí)，等號(hào)成立，
∴a＝36.
(學(xué)生)
反思感悟 求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法
(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．
(2)觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
跟蹤訓(xùn)練3 已知a>0，b>0，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，則m的最大值等于( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 B
解析 因?yàn)閍>0，b>0，所以2a＋b>0，
所以要使eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,2a＋b)恒成立，
只需m≤(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))恒成立，
而(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝4＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，所以m≤9.
基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
典例 如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開．
(1)設(shè)場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，試將y表示成x的表達(dá)式．
(2)怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？
解 (1)由題意，得由x>0，且l－3x>0，可得x的范圍為00，∴3x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(3x·\f(1,x))＝2eq \r(3)，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(\r(3),3)時(shí)，等號(hào)成立，
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq \r(3)，
則3－3x－eq \f(1,x)≤3－2eq \r(3).
4．如果a>0，那么a＋eq \f(1,a)＋2的最小值是________．
答案 4
解析 因?yàn)閍>0，
所以a＋eq \f(1,a)＋2≥2eq \r(a·\f(1,a))＋2＝2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立．
5．某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí)，年平均利潤最大，最大值是________萬元．
答案 5 8
解析 每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為
eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，且x>0，
故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)，等號(hào)成立，
所以，當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)5年時(shí)，年平均利潤最大，最大值為8萬元．
1．知識(shí)清單：
(1)利用基本不等式求最值．
(2)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用．
(3)基本不等式的綜合應(yīng)用．
2．方法歸納：配湊法、常值代換法．
3．常見誤區(qū)：忽略應(yīng)用基本不等式求最值的條件(一正、二定、三相等)．
1．已知x>0，則eq \f(9,x)＋x的最小值為( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵x>0，∴eq \f(9,x)＋x≥2 eq \r(x·\f(9,x))＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(9,x)，即x＝3時(shí)，等號(hào)成立．
2．已知x>－2，則x＋eq \f(1,x＋2)的最小值為( )
A．－eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．0
答案 D
解析 ∵x>－2，∴x＋2>0，
∴x＋eq \f(1,x＋2)＝x＋2＋eq \f(1,x＋2)－2≥2－2＝0，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立．
3．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則ab的最大值為( )
A．1 B．2eq \r(2) C．2 D．4
答案 A
解析 由基本不等式得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立．
4．(多選)設(shè)y＝x＋eq \f(1,x)－2，則( )
A．當(dāng)x>0時(shí)，y有最小值0
B．當(dāng)x>0時(shí)，y有最大值0
C．當(dāng)x0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為( )
A．16 B．25 C．9 D．36
答案 B
解析 (1＋x)(1＋y)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(?1＋x?＋?1＋y?,2)))2
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2＋?x＋y?,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋8,2)))2＝25，
當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝1＋y，即x＝y(tǒng)＝4時(shí)，等號(hào)成立．
6．已知a>0，b>0，則eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)的最小值是________．
答案 4
解析 ∵a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)≥2eq \r(\f(1,ab))＋2eq \r(ab)≥4eq \r(\f(1,\r(ab))·\r(ab))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立．
7．若正數(shù)m，n滿足2m＋n＝1，則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值為________．
答案 3＋2eq \r(2)
解析 ∵2m＋n＝1，
則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(2m＋n)
＝3＋eq \f(2m,n)＋eq \f(n,m)≥3＋2eq \r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq \r(2)m，即m＝1－eq \f(\r(2),2)，n＝eq \r(2)－1時(shí)，等號(hào)成立，
即最小值為3＋2eq \r(2).
8．要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________元．
答案 160
解析 設(shè)底面矩形的一邊長為x，
由容器的容積為4 m3，高為1 m，得另一邊長為eq \f(4,x) m.
記容器的總造價(jià)為y元，則
y＝4×20＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))×1×10＝80＋20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))
≥80＋20×2eq \r(x·\f(4,x))＝160，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(4,x)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立．
因此當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值160，
即容器的最低總造價(jià)為160元．
9．(1)已知x

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2.2 基本不等式

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