微專題2　基本不等式的應用技巧在解答基本不等式的問題時，常常會用加項、湊項、常值的代換、換元等技巧，而且在通常情況下往往會考查這些知識的嵌套使用．一、湊項例1　已知x<，求4x－2＋的最大值．解　∵4x－5<0，∴首先要“調(diào)整”符號，又(4x－2)·不是常數(shù)，∴對4x－2要進行拆、湊項，∵x<，∴5－4x>0，∴4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，當且僅當5－4x＝，即x＝1時，等號成立，故當x＝1時，4x－2＋取得最大值1.反思感悟　本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．二、湊系數(shù)例2　當0<x<4時，求y＝x(8－2x)的最大值．解　由0<x<4知，8－2x>0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值．此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x＋(8－2x)＝8為定值，故只需將y＝x(8－2x)湊上一個系數(shù)即可．y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]≤2＝8，當且僅當2x＝8－2x，即x＝2時，等號成立，故當x＝2時，y＝x(8－2x)取得最大值為8.反思感悟　本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．三、分離例3　求y＝(x>－1)的最小值．解　方法一　本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x＋1)的項，再將其分離．y＝＝＝(x＋1)＋＋5，∵x>－1，∴x＋1>0，∴y≥2＋5＝9，當且僅當x＋1＝即x＝1時，等號成立．方法二　本題也可先換元，令t＝x＋1，即x＝t－1，化簡原式再分離求最值．y＝＝＝t＋＋5，當x>－1，即t＝x＋1>0時，y≥2＋5＝9，當t＝2，即x＝1時，等號成立．反思感悟　分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值．即化為y＝AK＋＋m(A>0，B>0)，K恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值．四、常值代換例4　已知x，y是正數(shù)且x＋y＝1，則＋的最小值為(　　)A.  B.  C．2  D．3答案　B解析　避免多次連用基本不等式，使取等號的條件不一致而出錯．由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥(5＋4)＝，當且僅當x＝，y＝時，等號成立．反思感悟　通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標化為可以使用基本不等式求最值的式子，達到解題的目的．五、消元代換例5　若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，則＋的最小值為________．答案　8解析　∵實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，∴x＝，∴0<<，解得y>3.則＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，當且僅當y＝4，x＝時，等號成立．反思感悟　在解含有兩個以上變元的最值問題時，通過代換的方法減少變元，把問題化為兩個或一個變元的問題，再使用基本不等式求解．六、取平方例6　已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．解　∵x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，當且僅當3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝時，等號成立．∴W≤2，即W的最大值為2.七、建立求解目標的不等式求最值例7　已知a，b是正數(shù)，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，則3a＋4b的最小值等于________．答案　6－1解析　a，b是正數(shù)，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，即(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)≥2＝6，當且僅當2a＋2b＝a＋2b＋1，即a＝1，b＝時，等號成立，即3a＋4b的最小值為6－1.反思感悟　利用基本不等式與已知條件建立求解目標的不等式，求出不等式的解集即得求解目標的最值．

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