微專題3　不等式恒成立、能成立問題在解決不等式恒成立、能成立的問題時，常常使用不等式解集法、分離參數(shù)法、主參換位法和數(shù)形結(jié)合法解決，方法靈活，能提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)．一、“Δ”法解決恒成立問題例1　(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解　(1)當k＝0時，原不等式化為－2<0，顯然符合題意．當k≠0時，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其圖象都在x軸的下方，即開口向下，且與x軸無交點．∴解得－1<k<0.綜上，實數(shù)k的取值范圍是{k|－1<k≤0}．(2)原不等式可化為x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵該不等式對任意實數(shù)x恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－1或a≥4}．反思感悟　(1)如圖①，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R?二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象恒在x軸上方?ymin>0?(2)如圖②，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集為R?二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象恒在x軸下方?ymax<0?二、數(shù)形結(jié)合法解決恒成立問題例2　當1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范圍．解　令y＝x2＋mx＋4.∵當1≤x≤2時，y<0恒成立．∴x2＋mx＋4＝0的根一個小于1，另一個大于2.如圖，得∴∴m的取值范圍是{m|m<－5}．反思感悟　結(jié)合函數(shù)的圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對稱軸，端點的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置(相對于x軸)關(guān)系求解．可結(jié)合相應一元二次方程根的分布解決問題．三、分離參數(shù)法解決恒成立問題例3　設函數(shù)y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．解　y<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，∵x2－x＋1＝2＋>0，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值為，∴只需m<即可．反思感悟　通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．四、主參換位法解決恒成立問題例4　已知函數(shù)y＝mx2－mx－6＋m，若對于1≤m≤3，y<0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．解　y<0?mx2－mx－6＋m<0?(x2－x＋1)m－6<0.∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<恒成立，∴x2－x＋1<?x2－x－1<0?<x<.∴x的取值范圍為.反思感悟　轉(zhuǎn)換思維角度，即把變元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍求解．五、利用圖象解決能成立問題例5　當1<x<2時，關(guān)于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案　{m|m>－5}解析　記y＝x2＋mx＋4，則由二次函數(shù)的圖象知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.反思感悟　結(jié)合二次函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為端點值的問題解決．六、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決能成立問題例6　若存在x∈R，使得≥2成立，求實數(shù)m的取值范圍．解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范圍為{m|m≥－2}．反思感悟　能成立問題可以轉(zhuǎn)化為m>ymin或m<ymax的形式，從而求y的最大值與最小值，從而求得參數(shù)的取值范圍．

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