初中北師大版1 菱形的性質(zhì)與判定學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

知識梳理
1. 菱形的定義：一組相等的平行四邊形叫做菱形。
2. 菱形的性質(zhì)：
(1)邊：四邊，對邊。
(2)角：對角，鄰角。
(3)對角線：對角線互相，，且平分一組。
(4)菱形是圖形，每條對角線所在的直線都是。
(5)菱形的面積公式:S=底×高=兩條對角線長度乘積的。
【類型一】菱形的定義
1. 如圖，若要使?ABCD成為菱形，則需要添加的條件是（）。
A. AB=CD B. AD=AC C. AB=BC D. AC=BD

【類型二】菱形的四條邊相等
1. 如圖所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，則△ABD的周長是。
2.如圖在平面直角坐標系xOy中,若菱形ABCD的頂點A、B的坐標分別為(-3，0)、(2，0)，點D在軸上，則點C的坐標是( ， )。
【類型三】菱形的對角線互相垂直
1. 如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AB=5,AC=6,則BD的長是。
第1題圖第2題圖
2.（2015年青島中考）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相較于O點，E,F分別是AB，BC邊上的中點，鏈接EF.若EF=3，BD=4,則菱形ABCD的周長為（）。
A. 4 B. 46 C. 47 D. 28
【類型四】菱形的面積（重難點）
1. 若一個菱形的邊長為6，面積為28，則該菱形的倆條對角線的長度之和為（）。
A. 8 B. 12 C. 16 D. 32
2. (2019青島嶗山區(qū)二模)如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點C作CE?AD于點E，連接OE，若OB=8，S菱形ABCD=96,則OE的長為（）。
A. 23 B. 25
C. 6 D. 8
第2題圖第3題圖
3.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF。若AB=3，則菱形AECF的面積為（）。
A. 1 B. 22 C. 23 D. 4
能力提升
練1. 如圖，菱形ABCD的周長是24cm,對角線AC、BD相交于點O，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長等于（）。
A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm

練2.（2019青島平度期中）如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠ABC=120°，則花壇對角線AC的長等于米。
練3. 如圖，在菱形ABCD中，AB=13，對角線AC=10，若過點A作AE?BC,垂足為E，則AE的長為（）。
A. 8 B. 6013 C. 12013 D. 24013
練4.（黃島區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF，則∠CDF等于（）。
A. 60° B. 50° C. 30° D. 20°
練2圖練3圖練4題
練5. 如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的點，DE=DF。
求證：∠1=∠2.
1.2菱形的判定
知識梳理
1.菱形的判定：
(1)一組鄰邊：有一組相等的平行四邊形是菱形。
(2)對角線：對角線的平行四邊形是菱形。
(3)四邊：四邊相等的是菱形。
【類型一】菱形的常見判定方法歸納
1. 如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個條件，能使平行四邊形ABCD是菱形。
2. 如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是（）。
A. BA=BC B. AC，BD互相平分
C. AC=BD D. AB∥CD
【類型二】利用對角線的位置關(guān)系判定菱形
1. 已知平行四邊形ABCD，下列條件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．其中能使平行四邊形ABCD是菱形的有（）。
A．①③B．②③C．③④D．①②③
2. 如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，BE＝DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若BD平分∠ABC，求證：四邊形AECF是菱形．
【類型三】利用邊的關(guān)系判定菱形
1. 如圖，將?ABCD沿AE翻折，使點B恰好落在AD上的點F處，則下列結(jié)論不一定成立的是（）。
A. AF=EF B. AB=EF C. AE=AF D. AF=BE
能力提升
練1. (變式題）如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中，AB＝3，AC＝2，則四邊形ABCD的面積為（）。
A．42 B．62
C．82 D．5
練2. (變式題）如圖，在菱形ABCD中，AB＝8，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE＝AF，過點E作EG∥AD交CD于點G，過點F作FH∥AB交BC于點H，EG與FH交于點O．當四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12時，則AE的值為。

練2圖練3圖
練3. 如圖，在?ABC中，AD是角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F。如果AE=4cm，那么四邊形AEDF的周長為（）。
A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 22cm
練4. 如圖，在?ABCD中，點E、F分別是AD、BC的中點，分別連接BE、DF、BD．
（1）求證：△AEB≌△CFD；
（2）當△ABD滿足什么條件時，四邊形EBFD是菱形，請說明理由．
練5. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使EF＝DE，連接CF，BF．
（1）求證：四邊形CFBD是菱形；
（2）連接AE，若CF=10，DF＝2，求AE的長．
答案
第一講菱形和矩形
1.1菱形的性質(zhì)
知識梳理
1.鄰邊 2.（1）相等；相等（2）相等；互補 (3)垂直；平分；對角
（4）軸對稱；對稱軸（5）一半
【類型一】1.C
【類型二】1. 15 2. (5,4)
【類型三】1. 8 2. C
【類型四】1. C 2. C 3. C
能力提升練1. A 練2. 63 練3. C 練4.C
練5.
1.2菱形的判定
知識梳理
1.（1）鄰邊（2）互相垂直（3）四邊形
【類型一】1. AB=BC等
2. B
【類型二】1. A【解答】解：①?ABCD中，AC⊥BD，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故①正確；
②?ABCD中，∠BAD＝90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故②錯誤；
③?ABCD中，AB＝BC，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故③正確；
D、?ABCD中，AC＝BD，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故④錯誤．
故選：A．
2. 證明：（1）如圖，連接AC，與BD相交于點O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝FD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即 OE＝OF．
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF；
由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF是菱形．
【類型三】1. C
能力提升
練1. A解：過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，連接AC，BD交于點O，
∵兩條紙條寬度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO=AB2?AO2=9?1=22，
∴BD＝42，
∴四邊形ABCD的面積=42×22=42，
故選：A．
練2. 5.5【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，F(xiàn)H∥AB，
∴四邊形AEOF與四邊形CGOH是平行四邊形，
∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，
∵AE＝AF，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
∵AE＝AF，
∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，
∴四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形，
∵四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，
解得：AE＝5.5，
故答案為：5.5．
練3. B
練4.【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．
∵點E、F分別是AD、BC的中點，
∴AE＝DE=12AD，BF＝FC=12BC．
∴AE＝CF．
在△AEB與△CFD中，
AE=CF∠A=∠CAB=CD，
∴△AEB≌△CFD（SAS）；
（2）解：當△ABD滿足∠ABD＝90°，四邊形EBFD是菱形，理由如下：
由（1）得：BF＝DE，BF∥DE，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵∠ABD＝90°，點E是AD的中點，
∴BE=12AD＝DE，
∴平行四邊形EBFD是菱形．
練5.【解答】證明：（1）∵點E為BC的中點，
∴CE＝BE，
又∵EF＝DE，
∴四邊形CFBD是平行四邊形，
∵D，E分別是邊AB，BC的中點，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°，
即DF⊥CB，
∴四邊形CFBD是菱形；
（2）∵D，E分別是邊AB，BC的中點，
∴AC＝2DE，
∵DF＝2DE＝2EF，DF＝2，
∴AC＝2，EF＝1，
∵CF=10，四邊形CFDB是菱形，
∴∠CEF＝90°，
∴CE=CF2?EF2=(10)2?12=3，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=22+32=13，
即AE的長是13．