A級：“四基”鞏固訓練一、選擇題1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等號成立的條件是(　　)A．x＝3   B．x＝－3C．x＝5   D．x＝－5答案　C解析　由基本不等式知等號成立的條件為＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．2．若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2ab   B．a＋b≥2C.＋＞   D.＋≥2答案　D解析　根據(jù)條件，當a，b均小于0時，B，C不成立；當a＝b時，A不成立；因為ab＞0，所以＋≥2＝2，故D成立．3．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則下列各式恒成立的是(　　)A.≥8   B.＋≥4C.≥   D.≤答案　B解析　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤，∴ab≤.∴≥4.故A不正確，C也不正確．對于選項D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2.故D不正確．對于選項B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，當且僅當a＝b＝時，等號成立．故選B.4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 則x＋2y的最小值是(　　)A．3  B．4  C.  D.答案　B解析　解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0.∴0<x<8.∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2 －2＝4.當且僅當x＋1＝，即x＝2時，取“＝”號，此時x＝2，y＝1.解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，又x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2－2＝4，當且僅當x＋1＝2y＋1時“＝”成立，又x＋2y＋2xy＝8，∴x＝2，y＝1時，取“＝”．5．設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當取得最小值時，x＋2y－z的最大值為(　　)A．0  B.  C．2  D.答案　C解析　＝＝＋－3≥2－3＝1，當且僅當x＝2y時等號成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.二、填空題6．已知a＞b＞c，則與的大小關系是________．答案　≤解析　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴＝≥，當且僅當a－b＝b－c，即2b＝a＋c時取等號．7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，則＋的最小值為________．答案　解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，∴＋＝(a＋2b)×＝≥＋ ＝，當且僅當＝，即a＝，b＝時取等號，∴＋的最小值為.故答案為.8．如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為________(單位：cm2)．答案　16解析　如圖所示，連接OC，設OB＝x(0<x<4)，則BC＝＝，AB＝2OB＝2x，所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面積S＝AB·BC＝2x＝2≤2＝16.當且僅當16－x2＝x2，即x＝2時，等號成立．所以Smax＝16.三、解答題9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求證：＋＋≤ .證明　∵x＞0，y＞0，z＞0，∴x＋y≥2，x＋z≥2，y＋z≥2，∴2(x＋y＋z)≥2(＋＋)．∵x＋y＋z＝1，∴＋＋≤1成立．∵x＋y＋z＋2(＋＋)≤3，即(＋＋)2≤3.∴＋＋≤.當且僅當x＝y＝z＝時，等號成立．10．某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同學，老師打算組織同學們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學，每次的包車費均為40元．若使每名同學游8次，每人最少應交多少元錢？解　設買x張游泳卡，總開支為y元，則每批去x名同學，共需去批，總開支又分為：①買卡所需費用240x，②包車所需費用×40.∴y＝240x＋×40(0<x≤48，x∈Z)．∴y＝240≥240×2＝3840，當且僅當x＝，即x＝8時取等號．故每人最少應交＝80(元)．B級：“四能”提升訓練1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：(1)＋＋≥8；(2)≥9.證明　(1)＋＋＝＋＋＝2，∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8.(2)證法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，∴＝＝5＋2≥5＋4＝9.∴≥9.證法二：＝1＋＋＋.由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9，當且僅當a＝b＝時，等號成立．2．某產(chǎn)品原來的成本為1000元/件，售價為1200元/件，年銷售量為1萬件，由于市場飽和，顧客要求提高，公司計劃投入資金進行產(chǎn)品升級．據(jù)市場調(diào)查，若投入x萬元，每件產(chǎn)品的成本將降低元，在售價不變的情況下，年銷售量將減少萬件，按上述方式進行產(chǎn)品升級和銷售，扣除產(chǎn)品升級資金后的純利潤記為z(單位：萬元)．(純利潤＝每件的利潤×年銷售量－投入的成本)(1)求z的函數(shù)解析式；(2)求z的最大值，以及z取得最大值時x的值．解　(1)依題意，產(chǎn)品升級后，每件產(chǎn)品的成本為元，每件產(chǎn)品的利潤為元，年銷售量為萬件，故z＝－x＝198.5－－.(2)z＝198.5－－≤198.5－2× ＝178.5，當且僅當＝，即x＝40時取到等號，即z的最大值是178.5，當z取得最大值時x的值為40.  

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2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

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