第二章　2.2　第1課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．下列不等式中正確的是(　D　)A．a＋≥4　　　　 B．a2＋b2≥4abC．≥ D．x2＋≥2[解析]　a<0，則a＋≥4不成立，故A錯；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B錯；a＝4，b＝16，則<，故C錯；由基本不等式可知D項正確．2．不等式(x－2y)＋≥2成立的條件為(　B　)A．x≥2y，當(dāng)且僅當(dāng)x－2y＝1時取等號B．x>2y，當(dāng)且僅當(dāng)x－2y＝1時取等號C．x≤2y，當(dāng)且僅當(dāng)x－2y＝1時取等號D．x<2y，當(dāng)且僅當(dāng)x－2y＝1時取等號[解析]　因為不等式成立的前提條件是各項均為正，所以x－2y>0，即x>2y，且等號成立時(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故選B．3．已知正數(shù)a，b滿足ab＝10，則a＋b的最小值是(　D　)A．10 B．25C．5 D．2[解析]　a＋b≥2＝2，等號在a＝b＝時成立，故選D．4．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為(　B　)A． B．C． D．[解析]　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝3－3x，即x＝時取等號．5．設(shè)0<a<b，且a＋b＝1，在下列四個數(shù)中最大的是(　B　)A． B．bC．2ab D．a2＋b2[解析]　∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.∵>>0，a＋b＝1，∴>，∴a2＋b2>.∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，則A，B，C的大小關(guān)系為(　D　)A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，當(dāng)a＝b時等號成立．故選D．二、填空題7．若a<1，則a＋與－1的大小關(guān)系是__a＋≤－1__.[解析]　因為a<1，即a－1<0，所以－＝(1－a)＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)1－a＝，即a＝0時取等號)．即a＋≤－1.8．已知a>b>c，則與的大小關(guān)系是__≤__.[解析]　因為a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.≤＝.當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即a＋c＝2b時，等號成立．所以≤.9．設(shè)x>0，則的最小值為__2－1__.[解析]　由x>0，可得x＋1>1.令t＝x＋1(t>1)，則x＝t－1，則＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即x＝－1時，等號成立．三、解答題10．當(dāng)x取什么值時，x2＋取得最小值？最小值是多少？[解析]　x2＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝±1時等號成立．∴x＝1或－1時，x2＋取得最小值，最小值為2.11．已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：(1)＋>2；(2)<.[證明]　(1)∵x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，∴＋≥2.由于當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y時取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．∴＋>2.(2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，∴<，∴<.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2019·廣東湛江一中高二上第二次大考)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，當(dāng)3x＋4y取得最小值時，x＋2y的值為(　B　)A． B．2C． D．5[解析]　∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋≥＋2·＝5，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝1時取等號，∴當(dāng)3x＋4y取得最小值時，x＝2y＝1，∴x＋2y的值為2，故選B．2．若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是(　B　)A． B．C． D．[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)．因為x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時，等號成立)．故x＋y的最小值為.3．(多選題)設(shè)a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有(　ABC　)A．ab<1 B．1<C．ab< D．<ab[解析]　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，又∵>，a＋b＝2，∴>1，∴ab<1<.4．(多選題)下列結(jié)論正確的是(　AD　)A．當(dāng)x>0時，＋≥2B．當(dāng)x>2時，x＋的最小值是2C．當(dāng)x<時，y＝4x－2＋的最小值為5D．當(dāng)x>0，y>0時，＋≥2[解析]　在A中，當(dāng)x>0時，>0，＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，結(jié)論成立；在B中，當(dāng)x>2時，x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，結(jié)論錯誤；在C中，因為x<，所以5－4x>0，則y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2×＋3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時取等號，結(jié)論錯誤；顯然D正確，故選AD．二、填空題5．已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，則xy的最大值是____.[解析]　∵x＋3y≥2，∴2≤1，即xy≤，等號成立的條件為x＝3y＝，即x＝，y＝.6．當(dāng)x>0時，若2x＋(a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝__18__.[解析]　∵a>0，且2x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝時，2x＋取得最小值，∴＝3，解得a＝18.7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，則＋的最小值為__8＋4__.[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取到最小值．三、解答題8．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[證明]　證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號)，即＋＋≥a＋b＋c.又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1.9．已知實數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求實數(shù)m的最大值．[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝2，令a＋1＝m，b＋1＝n，則m>1，n>1，∴a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，∴＋＝＋＝m＋n－4＋＋＝≥＝1，∴m≤1，所以實數(shù)m的最大值為1.  

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2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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