第二章　2.2　第2課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若x∈{x|－2<x<0}，則x(2＋x)的最小值是(　C　)A．－2　　　　　　　 B．－C．－1 D．－[解析]　因為x∈{x|－2<x<0}，所以2＋x>0，所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－2＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時，等號成立．2．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則(　B　)A．x＝ B．x≤C．x> D．x≥3．當(dāng)x>1時，不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　D　)A．a≤2 B．a≥2C．a≥3 D．a≤3[解析]　由于x>1，所以x－1>0，>0，于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)＝x－1即x＝2時等號成立，即x＋的最小值為3，要使不等式恒成立，應(yīng)有a≤3，故選D．4．設(shè)x，y為正數(shù)，則(x＋y)(＋)的最小值為(　B　)A．6 B．9C．12 D．15[解析]　x，y為正數(shù)，(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x時等號成立．選B．5．若對所有正數(shù)x，y，不等式x＋y≤a都成立，則a的最小值是(　A　)A． B．2C．2 D．8[解析]　因為x>0，y>0，所以x＋y＝≤＝·，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時等號成立，所以使得x＋y≤a對所有正數(shù)x，y都成立的a的最小值是.故選A．6．若點A(－2，－1)在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則＋的最小值為(　C　)A．2　　　　　　　 B．4C．8 D．16[解析]　因為點A在直線mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.因為m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m＝，n＝時取等號．故選C．二、填空題7．已知x、y都是正數(shù)，(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是__2__；(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是____.[解析]　(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝時取最小值．(2)xy≤2＝2＝，即xy的最大值是.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝時xy取最大值．8．已知正數(shù)a、b滿足＋＝3，則ab的最小值為__4__.[解析]　＋＝3≥2?≥2?ab≥4.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝6，b＝時取等號．9．已知x>0，y>0，若＋>m＋2恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__m<6__.[解析]　因為x>0，y>0，所以＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)＝時，“＝”成立．所以m＋2<8，解得m<6.三、解答題10．若正數(shù)a、b滿足：＋＝1，求＋的最小值．[解析]　正數(shù)a、b滿足＋＝1，則＝1－＝，則＝，由正數(shù)a、b滿足＋＝1，則＝1－＝，則＝，＋＝＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號，故＋的最小值為2.11．某公司今年3月欲抽調(diào)一批銷售員推銷A產(chǎn)品，根據(jù)過去的經(jīng)驗，每月A產(chǎn)品銷售數(shù)量y(萬件)與銷售員的數(shù)量x(人)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝(x>0)．在該月內(nèi)，銷售員數(shù)量為多少時，銷售的數(shù)量最大？最大銷售量為多少？(精確到0.1萬件)[解析]　依題意得y＝(x∈N*)．因為x＋≥2＝80，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40時上式等號成立，所以ymax＝≈11.1(萬件)．所以當(dāng)銷售員為40人時，銷售量最大，最大銷售量約為11.1萬件．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，則mn的最大值是(　B　)A．100 B．50C．20 D．10[解析]　由m2＋n2≥2mn得mn≤＝50，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝±5時等號成立．2．已知0<x<1，a，b為常數(shù)，且ab>0，則y＝＋的最小值為(　A　)A．(a＋b)2 B．(a－b)2C．a＋b D．a－b[解析]　y＝＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號．3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(　B　)A．2 B．4C．6 D．8[解析]　(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y＝x時取等號．依題意得1＋a＋2≥9，即(－2)(＋4)≥0，又＋4>0，∴≥2，解得a≥4，故a的最小值為4，故選B．4．(多選題)已知集合U＝R，A＝{p|p＝a＋，a>2}，B＝{q|q＝－x2＋8，x∈R}，則下列正確的是(　ABD　)A．A∩B＝{x|4≤x≤8} B．A∪B＝RC．A?B D．?UA?B[解析]　由a>2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時取等號．所以A＝{p|p≥4}，B＝{q|q≤8}．二、填空題5．已知x≥，則f(x)＝的最小值是__1__.[解析]　f(x)＝＝＋＝＋≥2＝1.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝3時取“＝”．6．已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為__36__.[解析]　∵正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋)＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋≥14＋2＋2＋2＝36，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝時取等號．故答案為36.7．(2019·湖南湘潭高二期末)一批救災(zāi)物資隨51輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長400 km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于 km，那么這批物資全部到達災(zāi)區(qū)，最少需要__10__h.[解析]　當(dāng)最后一輛汽車出發(fā)，第一輛汽車走了＝小時，最后一輛車走完全程共需要小時，所以一共需要＋小時，結(jié)合基本不等式，計算最值，可得＋≥2＝10，故最小值為10小時．三、解答題8．(2019·福建廈門雙十中學(xué)高二上第二次月考)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.(1)求a＋b的最小值；(2)證明：a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．[解析]　由a＋b＝＋＝，且a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，故a＋b的最小值為2.(2)證明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則a2＋b2＋a＋b<4，②①②兩式矛盾，故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．9．某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量(也即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？[解析]　(1)由題意知，當(dāng)m＝0時，x＝1，∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，∴2020年該產(chǎn)品的利潤y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1，即m＝3時，ymax＝21.故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大利潤為21萬元．  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

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