課時作業(yè)13　基本不等式的應(yīng)用時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——1．設(shè)a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，則c的最大值是(　D　)A.   B．2C.   D．4解析：∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4.又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4.故選D.2．已知x≥，則f(x)＝有(　D　)A．最大值   B．最小值C．最大值1   D．最小值1解析：f(x)＝＝＝≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝3時等號成立，故f(x)有最小值1，故選D.3．設(shè)x>0，則y＝3－3x－的最大值是(　D　)A．3   B．3－2C．－1   D．3－2解析：∵x>0，∴3x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號，∴－≤－2，則y＝3－3x－≤3－2，故選D.4．已知a，b，c滿足a>b>c時，不等式＋＋>0恒成立，則λ的取值范圍是(　C　)A．λ≤0   B．λ<1C．λ<4   D．λ>4解析：由題意知，原不等式可變形為λ<(a－c)·＝[(a－b)＋(b－c)]·＝1＋＋＋1，而1＋＋＋1≥4(當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)2＝(b－c)2時等號成立)，則λ<4.故選C.5．高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，上、下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高，已知當(dāng)教室在第n層樓時，上、下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜聲較小，環(huán)境較好，因此隨著教室所在樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)教室在第n層樓時，環(huán)境不滿意度為，則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室所在的樓層應(yīng)為(　B　)A．2   B．3C．4   D．8解析：由題意知，教室在第n層樓時，同學(xué)們總的不滿意度y＝n＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝2時，不滿意度最小，又n∈N*，分別把n＝2,3代入y＝n＋，易知n＝3時，y最小，故最適宜的教室應(yīng)在3樓．6．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是(　A　)A．a1b1＋a2b2   B．a2a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1   D.解析：由0<a1<a2,0<b1<b2，易知a1a2＋b1b2<2＋2＝.又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0，所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>.綜上可知a1b1＋a2b2最大．7．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是a≥.解析：因為x>0，所以x＋≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以有＝≤＝即的最大值為，故a≥.8．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是.解析：注意到消元有難度，而目標(biāo)式為x＋y，且條件可以構(gòu)造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以－≤x＋y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y＝時取最大值.9．已知a>0，b>0，且h＝min{a，}，其中min{a，b}表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)，則h的最大值為.解析：由題意知，0<h≤a,0<h≤，所以h2≤＝≤，所以h≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2b時取等號．故h的最大值為.10．已知正常數(shù)a，b和正變數(shù)x，y滿足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值為18，求a，b的值．解：因為x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即＝時，等號成立，所以x＋y的最小值為(＋)2＝18，又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的兩根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.11．如圖，如在公園建一塊面積為144平方米的矩形草地，一邊靠墻，另外三邊用鐵絲網(wǎng)圍住，現(xiàn)有44米鐵絲網(wǎng)可供使用(鐵絲網(wǎng)可以剩余)，若利用x米墻，(1)求x的取值范圍；(2)求最少需要多少米鐵絲網(wǎng)(精確到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面積是144平方米，一邊長是x米，則另一邊長為米，則矩形草地所需鐵絲網(wǎng)長度為y＝x＋2×.令y＝x＋2×≤44(x>0)，解得8≤x≤36，則x的取值范圍是8≤x≤36.(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x≈17.0時，等號成立，則y最小值＝24≈34.0，即最少需要34.0米鐵絲網(wǎng)．——能力提升類——12．已知x>0，y>0，且＋＝1，若對任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　B　)A．－8<m<0   B．－9<m<1C．1<m<   D．－8<m<1解析：∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4≥9(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y＝6時取等號)，∴(x＋y)min＝9.又∵對任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，∴m2＋8m<9，解得－9<m<1.故選B.13．已知0<a，b<1，不等式ax2＋x＋b≥0對于一切實數(shù)x恒成立，又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，則＋的最小值為(　B　)A.   B．4＋C．4＋   D．4解析：因為不等式ax2＋x＋b≥0對于一切實數(shù)x恒成立，所以對應(yīng)方程的根的判別式Δ1＝1－4ab≤0，即4ab≥1.又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，所以Δ2＝1－4ab≥0，即4ab≤1，所以4ab＝1，即b＝.所以＋＝＋＝＋＋2＝·(4－4a＋4a－1)×＋(4－4a＋4a－1)×＋2＝2＋＋2≥4＋×2＝4＋(當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立)．所以＋的最小值為4＋.14．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為：F＝.(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為1_900輛/時；(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加100輛/時．解析：(1)F1＝≤＝1 900，當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝11時等號成立．(2)F2＝≤＝2 000，當(dāng)且僅當(dāng)v＝，即v＝10時等號成立，2 000－1 900＝100.15．設(shè)a，b為正實數(shù)，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解：(1)∵a，b為正實數(shù)，且＋＝2≥2(a＝b時等號成立)．即ab≥(a＝b時等號成立)．∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1(a＝b時等號成立)．∴a2＋b2的最小值為1.(2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3即(2ab)2－4ab≥4(ab)3.即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，∵a，b為正實數(shù)，∴ab＝1.  

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2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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