本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件》，本節(jié)課通過(guò)對(duì)具體事例，幫助學(xué)生建立隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的概念，并通過(guò)對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量表示，建立樣本空間的概念，為概率的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。并加深對(duì)概率思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
1.教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的概念及特點(diǎn)；
2.教學(xué)難點(diǎn)： 理解樣本點(diǎn)和樣本空間，會(huì)求所給試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間；
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本節(jié)課通過(guò)對(duì)具體事例，幫助學(xué)生建立隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的概念，并通過(guò)對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量表示，建立樣本空間的概念，為概率的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
A.理解隨機(jī)試驗(yàn)的概念及特點(diǎn)
B.理解樣本點(diǎn)和樣本空間，會(huì)求所給試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間
C.理解隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的概念，并會(huì)判斷某一事件的性質(zhì)
1.數(shù)學(xué)建模：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)及樣本空間的概念
2.邏輯推理：分析隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：計(jì)算隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間
4.數(shù)據(jù)分析：會(huì)求所給試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間；
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)設(shè)計(jì)意圖
核心素養(yǎng)目標(biāo)
一、溫故知新
概率論的產(chǎn)生和發(fā)展
概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來(lái)是由保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的， 但是來(lái)自于賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論問(wèn)題的源泉。 傳說(shuō)早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就獲得全部賭金。賭了半天， A贏了4局， B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分才理？
這個(gè)問(wèn)題讓帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷蘭著名的數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)果寫(xiě)成了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，這就是概率論最早的一部著作。近幾十年來(lái)，隨著科技的蓬勃發(fā)展概率論大量應(yīng)用到國(guó)民經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對(duì)策論、排隊(duì)論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。
在初中，我們已經(jīng)初步了解了隨機(jī)事件的概念，并學(xué)習(xí)了在試驗(yàn)結(jié)果等可能的情形下求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.
本節(jié)我們將進(jìn)一步研究隨機(jī)事件及其概率的計(jì)算，探究隨機(jī)事件概率的性質(zhì).
隨機(jī)現(xiàn)象普遍存在，有的簡(jiǎn)單有的復(fù)雜，有的只有有限個(gè)可能結(jié)果，有的有無(wú)窮個(gè)可能結(jié)果；這里的無(wú)窮又分為兩種，即可列無(wú)窮和不可列無(wú)窮，例如，對(duì)擲硬幣試驗(yàn)，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗(yàn)次數(shù)，具有可列無(wú)窮個(gè)可能結(jié)果；而預(yù)測(cè)某地7月份的的降水量，可能結(jié)果則充滿某個(gè)區(qū)間，其可能結(jié)果不能一一列舉，即有不可列無(wú)窮個(gè)可能結(jié)果.所以，常見(jiàn)的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.
研究某種隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結(jié)果.例如，將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；從班級(jí)隨機(jī)選擇10名學(xué)生，觀察近視的人數(shù)；在一批燈管中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命；從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機(jī)選取一些，觀察分囊數(shù)；記錄某地區(qū)7月份的降雨量等等.
我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)（randm experiment),簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：
(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè)；
(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.
思考1：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí),將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0,1,2，…，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀察這個(gè)球的號(hào)碼，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？如何表示這些結(jié)果？
共有10種可能結(jié)果.
所有可能結(jié)果可用集合表示為:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
樣本點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點(diǎn)的集合.關(guān)于什么是基本結(jié)果,只能直觀描述,無(wú)法嚴(yán)格定義.
我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1, ω2,..., ωn,則稱樣本空間Ω={ω1, ω2,..., ωn,}為有限樣本空間.
我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間（sample space).
一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn).
例如，拋擲一對(duì)骰子，建立包含36個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每個(gè)結(jié)果就是基本結(jié)果，
如果建立只包含4個(gè)可能結(jié)果的樣本空間
Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},
其中每個(gè)元素就不能認(rèn)為是基本結(jié)果.
因?yàn)樵跇颖究臻gΩ2中無(wú)法求“點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率.
例1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間。
解：因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω =(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，
t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω ={h,t}.
例2 .拋擲一枚骰子（tuzi),觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.
解：用i表示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”，
因?yàn)槁涞貢r(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個(gè)可能的基本結(jié)果，
所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω ={1,2,3,4,5,6}.
構(gòu)建樣本空間，這是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語(yǔ)言）描述概率問(wèn)題，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格刻畫(huà)隨機(jī)事件的概念，通過(guò)與集合關(guān)系與運(yùn)算的類比，可以更好地理解隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算意義.可以用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確而簡(jiǎn)練地表示求解概率問(wèn)題的過(guò)程.
解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，
第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用（x,y)表示.于是，試驗(yàn)的樣本空間
Ω ={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}
例3.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間
如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡(jiǎn)單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
如圖所示，畫(huà)樹(shù)狀圖可以幫助我們理解例3的解答過(guò)程.
對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，一般用1和0表示這兩個(gè)結(jié)果.一方面數(shù)學(xué)追求最簡(jiǎn)潔地表示，另一方面，這種表示有其實(shí)際意義，在后面的研究中會(huì)帶來(lái)很大的方便.
1.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)．
(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；
(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；
(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“x1”呢？
(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“x＝y(tǒng)”呢？
解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．
(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)為16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；
“x1”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn)：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y(tǒng)”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．
思考2. 在體育彩票搖號(hào)實(shí)驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼是奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎？搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件？如果用集合的形式來(lái)表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？
顯然，“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件.
我們用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1,3,5,7,9}.
因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機(jī)事件A.
類似地，可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”
一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件（randm event),簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementary event).
隨機(jī)事件一般用大寫(xiě)字母A,B,C,···表示，在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.
Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.
而空集Φ不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們?chǔ)捣Q為不可能事件.
必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形。這樣，每個(gè)事件都是樣本空間。Ω的一個(gè)子集.
隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。
必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。
不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。
1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機(jī)事件：
（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；（2）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí),
(3)手電筒的電池沒(méi)電,燈泡發(fā)亮；
（4）一個(gè)電影院某天的上座率超過(guò)50%。
（5）如果a＞b，那么a一b＞0；
（6）從分別標(biāo)有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號(hào)簽;
（7）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；
（8）隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，得|x|

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10.1 隨機(jī)事件與概率

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