本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第九章《統(tǒng)計》的第一節(jié)《隨機抽樣》。以下是本節(jié)的課時安排：
前面學(xué)習(xí)了簡單隨機抽樣，本節(jié)分層抽樣是對上一節(jié)的繼續(xù)，主要讓學(xué)生理解分層隨機抽樣的概念，了解分層隨機抽樣的特點、適用范圍和必要性;掌握各層樣本量比例分配的方法，會用分層抽樣得到的樣本均值估計總體均值。
1.理解分層隨機抽樣的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.掌握用分層隨機抽樣從總體中抽取樣本，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。
1.重點：正確理解分層抽樣的定義，靈活應(yīng)用分層抽樣抽取樣本。
2.難點：恰當(dāng)?shù)倪x擇兩種抽樣方法解決現(xiàn)實生活中的抽樣問題
（一）新知導(dǎo)入
某市為調(diào)查中小學(xué)生的近視情況，在全市范圍內(nèi)對小學(xué)生、初中生、高中生三個群體抽樣，進而了解中小學(xué)生的總體情況和三個群體近視情況的差異大小.
【問題】 1.上述問題中總體有什么特征？
2.采用抽簽法合適嗎？若不合適，應(yīng)該用什么方法抽取樣本？
提示 1.該總體中，小學(xué)生、初中生、高中生三個群體在年齡、體質(zhì)等方面存在著明顯的差異.
2.不合適，若用抽簽法，抽取的樣本可能集中于某一個群體，不具有代表性.應(yīng)該用分層隨機抽樣抽取樣本.
（二）分層抽樣
分層隨機抽樣總體是由差異明顯的各層組成的
(1)分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.
(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.
2.樣本平均數(shù)的計算公式
在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分別為eq \(x,\s\up6(－))和eq \(y,\s\up6(－))，則樣本的平均數(shù)eq \(ω,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－)) .
【探究1】分層隨機抽樣的總體具有什么特性？
【提示】分層隨機抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體．
【探究2】簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣有什么區(qū)別和聯(lián)系？
【提示】區(qū)別：簡單隨機抽樣是從總體中逐個抽取樣本；分層隨機抽樣則首先將總體分成幾層，在各層中按比例分配抽取樣本．
聯(lián)系：(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；
(2)每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣．
【探究3】 在分層隨機抽樣中，N為總樣本量，n為樣本量，如何確定各層的個體數(shù)？
【提示】 每層抽取的個體的個數(shù)為ni＝Ni×eq \f(n,N)，其中Ni為第i(i＝1，2，…，k)層的個體數(shù)，eq \f(n,N)為抽樣比.
【探究4】 在分層隨機抽樣中，總體的個體數(shù)、樣本量、各層的個體數(shù)、各層抽取的樣本數(shù)這四者之間有何關(guān)系？
【提示】 設(shè)總體的個體數(shù)為N，樣本量為n，第i(i＝1，2，…，k)層的個體數(shù)為Ni，各層抽取的樣本量為ni，則eq \f(ni,Ni)＝eq \f(n,N)，這四者中，已知其中三個可以求出另外一個.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
1.在統(tǒng)計實踐中選擇哪種抽樣方法關(guān)鍵是看總體的個體數(shù)的大小.(×)
2.分層隨機抽樣中，個體數(shù)量較少的層抽取的樣本量較少，這是不公平的.(×)
3.從全班50名同學(xué)中抽取5人調(diào)查作業(yè)完成情況適合用分層隨機抽樣.(×)
【做一做】某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查.這種抽樣方法是( )
A.簡單隨機抽樣 B.抽簽法
C.隨機數(shù)法 D.分層隨機抽樣
解析：從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機抽樣.
答案：D
（三）典型例題
1.分層抽樣的理解
例1. (1)某政府機關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關(guān)對政府機構(gòu)改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適( )
A．抽簽法法 B．隨機數(shù)法
C．簡單隨機抽樣法 D．分層隨機抽樣法
(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行( )
A．每層等可能抽樣 B．每層可以不等可能抽樣
C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣 D．所有層抽取的個體數(shù)量相同
解析：(1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機抽樣法．
保證每個個體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。?br>答案：(1)D (2)C
【類題通法】1．使用分層隨機抽樣的前提
分層隨機抽樣的總體按一個或多個變量劃分成若干個子總體，并且每一個個體屬于且僅屬于一個子總體，而層內(nèi)個體間差異較小．
2．使用分層隨機抽樣應(yīng)遵循的原則
(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；
(2)分層隨機抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．
【鞏固練習(xí)1】下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是( )
A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會
B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本
C．從1 000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用時間
D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量
解析：A中總體所含個體無差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數(shù)較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．
答案：B
2.分層抽樣的應(yīng)用
例2.某學(xué)校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對學(xué)校機構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程.
解：抽樣過程如下：
第一步，確定抽樣比，樣本量與總體的個體數(shù)的比為eq \f(20,160)＝eq \f(1,8).
第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取16×eq \f(1,8)＝2(人)；
從教師中抽取112×eq \f(1,8)＝14(人)；從后勤人員中抽取32×eq \f(1,8)＝4(人).
第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤人員4人.
第四步，把抽取的個體組合在一起構(gòu)成所需樣本.
【類題通法】分層隨機抽樣的步驟
【鞏固練習(xí)2】一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什么樣的方法？并寫出具體過程.
解：因為疾病與地理位置和水土均有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采用分層隨機抽樣的方法.
具體過程如下：
第一步，將3萬人分為5層，一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.
第二步，按照抽樣比求得各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為60，40，100，40，60.
第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，按照各層抽取的人數(shù)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的樣本.
第四步，將300人合到一起，即得到一個樣本.
3.分層抽樣中的計算問題
例3.(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層隨機抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為( )
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數(shù)之比為5∶3∶2.若用分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取 個個體．
(3)分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20，樣本平均數(shù)為3，第2層的樣本量為30，樣本平均數(shù)為8，則該樣本的平均數(shù)為 ．
解析：(1)因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)為12人，
所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為eq \f(12,96)＝eq \f(1,8)，
所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12＋21＋25＋43)÷eq \f(1,8)＝808(人)．
(2)∵A，B，C三層個體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，∴分層隨機抽樣應(yīng)從C中抽取100×eq \f(2,10)＝20(個)個體．
(3)eq \x\t(ω)＝eq \f(20,20＋30)×3＋eq \f(30,20＋30)×8＝6.
答案：(1)B (2)20 (3)6
【類題通法】(1)進行分層隨機抽樣的相關(guān)計算時，常用到的兩個關(guān)系
①eq \f(樣本量n,總體的個數(shù)N)＝eq \f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；
②總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.
(2)樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：
eq \(ω,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－)).
【鞏固練習(xí)3】甲校有3 600名學(xué)生，乙校有5 400名學(xué)生，丙校有1 800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層隨機抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生( )
A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人
C.20人，30人，40人 D.30人，50人，10人
解析：先求抽樣比eq \f(n,N)＝eq \f(90,3 600＋5 400＋1 800)＝eq \f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3 600×eq \f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5 400×eq \f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1 800×eq \f(1,120)＝15(人)，故選B.
答案：B
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.某學(xué)校為了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)情況，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是( )
A.抽簽法 B.簡單隨機抽樣
C.分層隨機抽樣 D.隨機數(shù)法
2.某林場有樹苗30 000棵，其中松樹苗4 000棵.為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為( )
A.30 B.25 C.20 D.15
3.某高中高一年級、高二年級、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別是1500、2000、2500人，現(xiàn)用分層抽樣方法在全校抽取一個容量為120人的樣本，則高二年級應(yīng)該抽_______人．
4.某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1 200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本.已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取________名學(xué)生.
答案：1.C 2.C 3.40 4.40

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第182頁 練習(xí) 第1，2,3,4題
第189頁 習(xí)題9.1 第5,7題










9.1隨機抽樣
課時內(nèi)容
9.1.1簡單隨機抽樣
9.1.2分層抽樣
9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑
所在位置
教材第173頁
教材第181頁
教材第186頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是統(tǒng)計的初步內(nèi)容——簡單隨機抽樣，是其他抽樣方法的基礎(chǔ)，也是估計總體結(jié)果的前提，同時也是初中頻率知識的延伸。
本節(jié)內(nèi)容是在簡單隨機抽樣的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)另外一種抽樣方法——分層隨機抽樣，是比簡單隨機抽樣更加具有代表性的一種抽樣方法，也是將簡單隨機抽樣進行的拓展延伸。
統(tǒng)計學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認識未知現(xiàn)象，因此如何收集數(shù)據(jù)，是統(tǒng)計學(xué)研究的重要內(nèi)容。在實踐中，獲取數(shù)據(jù)的途徑多種多樣，像統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)、試驗設(shè)計等等都是常見的。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過對簡單隨機抽樣的概念和應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
通過對分層隨機抽樣的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過對分層隨機抽樣的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
通過對獲取數(shù)據(jù)的途徑的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)；在獲取數(shù)據(jù)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
教學(xué)主線
抽樣方法的選擇

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9.1 隨機抽樣

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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