26.1.1 反比例函數(shù)
【知識與技能】
1.理解并掌握反比例函數(shù)的概念.
2.能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù).
3.能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式及自變量的取值范圍.【過程與方法】
1.讓學(xué)生從實際問題情景中經(jīng)歷探索、分析和建立兩個變量之間的反比例函數(shù)關(guān)系的過程.
2.用類比的思想方法,從實際問題中抽象出反比例函數(shù)概念,發(fā)展學(xué)生的觀察能力、探究能力及交流總結(jié)能力.
3.經(jīng)歷探索具體問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過程,體會建立函數(shù)模型的思想.
【情感態(tài)度與價值觀】
1.通過對一些實際問題的探究,發(fā)展學(xué)生合理的猜想、推理能力,增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
2.通過探索具體問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過程,體驗數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

1.理解并掌握反比例函數(shù)的定義,掌握反比例函數(shù)的一般形式.
2.能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式.

經(jīng)歷探索和表示反比例函數(shù)關(guān)系的過程,體驗用反比例函數(shù)表示變量之間的關(guān)系.

多媒體課件.

（導(dǎo)入一:
【課件1】 同一條鐵路線上,由于不同車次列車運行時間有長有短,所以它們的平均速度有快有慢.
(1)如果速度v一定,那么路程s與時間t是什么關(guān)系?
(s=vt,是正比例函數(shù))
(2)如果時間t一定,那么路程s與速度v又是什么關(guān)系呢?
(s=vt,是正比例函數(shù))
(3)如果路程s一定,那么速度v和時間t又是什么關(guān)系呢?
【思考】 以上關(guān)系是函數(shù)嗎?這個函數(shù)是不是我們前邊學(xué)過的函數(shù)?
【導(dǎo)入語】 問題(1)(2)中的函數(shù)是一次函數(shù)(正比例函數(shù)),(3)中的函數(shù)不是前邊學(xué)過的函數(shù),這類函數(shù)就是本章要研究的反比例函數(shù).
[設(shè)計意圖] 通過生活中的情景問題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同于以往學(xué)過的新的函數(shù)關(guān)系,喚起學(xué)生對本課時的學(xué)習(xí)欲望,使學(xué)生帶著問題進入新課的學(xué)習(xí).
導(dǎo)入二:
【課件2】 我們知道,導(dǎo)體中的電流I與導(dǎo)體的電阻R、導(dǎo)體兩端的電壓U之間滿足關(guān)系式U=IR,當(dāng)U=220 V時:
(1)你能用含有R的代數(shù)式表示I嗎?
(2)利用寫出的關(guān)系式完成下表:
當(dāng)R越來越大時,I怎樣變化?當(dāng)R越來越小呢?
(3)變量I是R的函數(shù)嗎?為什么?
[設(shè)計意圖] 從學(xué)生身邊的生活和已有知識出發(fā),創(chuàng)設(shè)情景,目的是讓學(xué)生感受到生活當(dāng)中處處有數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和愿望,同時也為抽象出反比例函數(shù)的概念做鋪墊.同時,這個事例的引入也有助于學(xué)生從學(xué)科綜合的角度進行學(xué)習(xí).
導(dǎo)入三:
【復(fù)習(xí)提問】
(1)什么是函數(shù)?什么是一次函數(shù)、二次函數(shù)?
(2)一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程是怎樣的?
【課件3】 出示以往研究函數(shù)的基本思路:
【師生活動】 學(xué)生思考回答,教師點撥.
[設(shè)計意圖] 通過復(fù)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)的概念,讓學(xué)生從已有的知識體系中自然地構(gòu)建出新知識.回憶學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究思路,引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法學(xué)習(xí)本章的反比例函數(shù),初步了解本章的基本內(nèi)容和研究思路,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

[過渡語] 函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)模型,我們學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)時,在理解定義的基礎(chǔ)上,研究它們的圖象和性質(zhì),并用之解決實際問題,本章將用類似的方法研究一種新的函數(shù)——反比例函數(shù).
思路一
1.感知反比例函數(shù)
【出示課件4】
(1)京滬線鐵路全程為1463 km,某次列車的平均速度v(單位:km/h)隨此次列車的全程運行時間t(單位:h)的變化而變化；
(2)某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000 m2的矩形草坪,草坪的長y(單位:m)隨寬x(單位:m)的變化而變化；
(3)已知北京市的總面積為1.68×104 km2,人均占有面積S(單位:km2/人)隨全市總?cè)丝趎(單位:人)的變化而變化.
教師引導(dǎo)學(xué)生針對上面三個事例思考:
(1)每個事例中的兩個變量是什么?
(2)當(dāng)一個量變化時,另一個量怎樣變化?
(3)有幾個值與變化的量相對應(yīng)?這種變化說明變量之間是什么關(guān)系?
(4)題目中的等量關(guān)系是什么?如果是函數(shù)關(guān)系,其解析式是什么?
(5)所列出的函數(shù)關(guān)系式有什么特點?
[設(shè)計意圖] 通過問題組的形式,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些變量之間的關(guān)系是一種函數(shù)關(guān)系,并且這種函數(shù)的解析式不同于以往的一次函數(shù)和二次函數(shù),為進一步研究反比例函數(shù)做知識準(zhǔn)備,同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望,實現(xiàn)了讓學(xué)生感知反比例函數(shù)的目的.
【學(xué)生活動】 獨立思考后,小組合作交流,確定三個問題中的變量關(guān)系都是函數(shù)關(guān)系,并列出具體的函數(shù)解析式.
【參考答案】 (1)v= (2)y= (3)S=.
2.反比例函數(shù)的概念
[過渡語] 剛才同學(xué)們總結(jié)的函數(shù)關(guān)系式,既不是一次函數(shù),也不是二次函數(shù),接下來讓我們一起研究這類函數(shù)的特征吧.
觀察前面的三個函數(shù)關(guān)系式,思考:
(1)這三個函數(shù)是一次函數(shù)或二次函數(shù)嗎?
(2)這三個函數(shù)與前邊學(xué)過的函數(shù)有什么不同?你能說出它們的共同特征嗎?
(3)通過觀察,你能歸納出這種函數(shù)的一般形式嗎?
(4)你能給這類函數(shù)下一個定義嗎?
【師生活動】 學(xué)生思考后,逐一回答所提問題,教師適時啟發(fā),共同歸納結(jié)論.
教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個方面思考:與一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式對比；給出的三個函數(shù)關(guān)系式等號右面是整式還是分式；三個函數(shù)關(guān)系式中的k值有什么特點.
【總結(jié)(出示課件5)】
一般地,形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù),叫做反比例函數(shù),其中x是自變量,y是函數(shù).自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).
思考:(1)你身邊哪些量之間存在著反比例函數(shù)關(guān)系?
(2)在反比例函數(shù)y=中,k,x,y可以取任意實數(shù)嗎?
(3)反比例函數(shù)y=中,自變量x的指數(shù)是1嗎?為什么?
(4)反比例函數(shù)除了這種分式的形式外,還有其他表示方法嗎?
【師生活動】 學(xué)生獨立思考后,小組交流,學(xué)生回答時教師及時點評和引導(dǎo),師生共同歸納反比例函數(shù)的概念的有關(guān)特點:
反比例函數(shù)y=，等號右邊是分式形式.
反比例函數(shù)中,比例系數(shù)k≠0,自變量x≠0,函數(shù)值y≠0.
反比例函數(shù)的三種表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.
[設(shè)計意圖] 通過學(xué)生觀察討論,依據(jù)老師設(shè)計的問題串,類比已學(xué)函數(shù),抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征,歸納出反比例函數(shù)的特征,學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程,從而達到真正理解定義的目的,同時培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力.
思路二
1.認(rèn)識新的函數(shù)——反比例函數(shù)
【出示課件6】 下列五個事例:
(1)某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000 m2的矩形草坪,草坪的長y(單位:m)與寬x(單位:m)有何關(guān)系?
(2)物理學(xué)中電流I、電阻R、電壓U之間滿足關(guān)系式U=IR.當(dāng)U=220 V時,R與I有何關(guān)系?當(dāng)R=10 Ω時,I與U有何關(guān)系?
(3)京滬線鐵路全程為1463 km,某次列車的平均速度v(單位:km/h)與此次列車的全程運行時間t(單位:h)有何關(guān)系?
(4)用10 m長的籬笆圍成矩形的小花園.
①如果花園的長為y m,寬為x m,那么y與x有何關(guān)系?
②如果花園的長為x m,面積為y m2,那么y與x又有何關(guān)系?
(5)已知北京市的總面積為1.68×104 km2,人均占有面積S(單位:km2/人)與全市總?cè)丝趎(單位:人)有何關(guān)系?
教師引導(dǎo)學(xué)生針對上面五個事例思考:
(1)每個事例中的兩個變量是什么?
(2)當(dāng)一個量變化時,另一個量隨著怎樣變化?這種變化說明變量之間是什么關(guān)系?
(3)題目中的等量關(guān)系是什么?如果是函數(shù)關(guān)系,其解析式是什么?
(4)所列出的函數(shù)關(guān)系式有什么特點?
[設(shè)計意圖] 問題情景既有教材“思考”欄目的問題,又有新增設(shè)的跨學(xué)科的物理問題,這些事例都要求學(xué)生從實際問題中找到兩個變量,確定函數(shù)解析式.使已學(xué)函數(shù)和要研究的新函數(shù)都呈現(xiàn)在學(xué)生面前,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)識沖突,為形成反比例函數(shù)的概念、辨析反比例函數(shù)做好準(zhǔn)備.
【總結(jié)】 經(jīng)過學(xué)生交流研討,確認(rèn)五個問題中的變量關(guān)系都是函數(shù)關(guān)系,并列出具體的函數(shù)解析式.
(1)y=. (2)R=;I=. (3)v=. (4)y=5-x；y=5x-x2. (5)S=.
2.反比例函數(shù)的概念
[過渡語] 剛才同學(xué)們列出了相關(guān)的7個函數(shù)關(guān)系式,接下來我們開始研究這些函數(shù)解析式的特征吧.
(1)反比例函數(shù)的一般形式
【出示課件7】 思考下列問題:
【問題1】 哪些是正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)?
【問題2】 哪些函數(shù)與問題1中的函數(shù)不同?能給這類函數(shù)下定義嗎?
【問題3】 你能嘗試寫出類似問題1中這種函數(shù)的一般形式嗎?
【問題4】 上述函數(shù)中的常數(shù)k分別是多少?
【問題提示】 上述情景中給出七個函數(shù),其中第一、二、三、四個及第七個函數(shù)不是以往學(xué)習(xí)過的函數(shù).通常情況下,我們用y表示函數(shù),用k表示常量,用x表示自變量.這幾個特殊的函數(shù)學(xué)生可以初步總結(jié)為y=.
(2)理解反比例函數(shù)的概念
【問題1】 反比例函數(shù)的一般式y(tǒng)=的等號右邊是什么式子?
(提示:分式,其他的函數(shù)都是單項式或多項式)
【問題2】 反比例函數(shù)y=的比例系數(shù)k、自變量x取值有什么要求?
(提示:都是不能為0的實數(shù))
【問題3】 反比例函數(shù)的解析式還可以寫成其他形式嗎?
(提示:兩個變量的乘積為定值；自變量x的指數(shù)為-1)
[設(shè)計意圖] 通過前面的三個問題,觀察學(xué)生是否能理解反比例函數(shù)的意義,是否能用數(shù)學(xué)語言表達反比例函數(shù)的解析式,是否理解自變量的取值范圍(實際問題中自變量取值有所不同),是否掌握判斷反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)和方法. 通過學(xué)生的觀察、思考、合作、交流,反比例函數(shù)的概念及模型的建立也就會水到渠成.
3.例題講解
[過渡語] 我們通過實例歸納總結(jié)了反比例函數(shù)的概念,試試能不能解決下列問題.
下列函數(shù):(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=；(5)xy=2；(6)y=.其中是反比例函數(shù)的
是 (填序號),它們的比例系數(shù)分別是 .
〔解析〕 根據(jù)反比例函數(shù)的概念進行判斷,易得(1)(2)(4)(5)是反比例函數(shù),其中k分別為5,0.4,,2.
〔答案〕 (1)(2)(4)(5) 5,0.4,,2
若y=(a-2)x|a|-3是反比例函數(shù),則a的值為 .
【師生活動】 學(xué)生獨立思考后,小組交流答案,教師對學(xué)生的答案進行點評,并強調(diào)易錯點.
〔解析〕 根據(jù)反比例函數(shù)的概念可得,反比例函數(shù)滿足兩個條件:(1)常數(shù)k≠0；(2)自變量x的指數(shù)為-1.由題意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.
[設(shè)計意圖] 通過練習(xí)讓學(xué)生進一步理解和掌握反比例函數(shù)的一般形式及特點,特別是忽略考慮k≠0這一易錯點.
已知y是x的反比例函數(shù),并且當(dāng)x=2時,y=6.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)x=4時,求y的值.
【師生活動】 師生共同復(fù)習(xí)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,然后學(xué)生獨立完成,并板書過程,學(xué)生之間互相糾正錯誤答案,教師點評,并歸納待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟.
〔解析〕 類比一次函數(shù)、二次函數(shù)求解析式的方法——待定系數(shù)法,設(shè)出函數(shù)解析式,將一對x,y的值代入,求出待定系數(shù)k.
解:(1)設(shè)所求函數(shù)解析式為y=.
因為當(dāng)x=2時,y=6,所以有6=，解得k=12.
因此所求函數(shù)解析式為y=.
(2)把x=4代入y=,得y==3.
[設(shè)計意圖] 通過復(fù)習(xí)待定系數(shù)法,再次用這一方法求反比例函數(shù)的解析式,并讓學(xué)生體會反比例函數(shù)解析式中只有一個待定系數(shù),所以代入一組值即可求出函數(shù)解析式.同時讓學(xué)生體會建模思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,提高學(xué)生的歸納能力.
[知識拓展] (1)反比例函數(shù)y=(k≠0)，等號右邊分式的分母不能是多項式,只能是x的一次單項式,如y=,y=等都是反比例函數(shù),但y=中,y就不是x的反比例函數(shù).
(2)反比例函數(shù)可以理解為兩個變量的乘積是一個不為0的常數(shù),因此可以寫成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.

1.反比例函數(shù)的定義:形如y=(k為常數(shù),且k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù).
2.反比例函數(shù)滿足的條件:
(1)函數(shù)右邊是分式形式；
(2)自變量的指數(shù)是-1；
(3)比例系數(shù)不為0.
3.反比例函數(shù)的三種表示形式:y=(k≠0);xy=k(k≠0);y=kx-1(k≠0).
4.反比例函數(shù)自變量的取值范圍:x≠0.

26.1.1 反比例函數(shù)
思路一
1.感知反比例函數(shù)
2.反比例函數(shù)的概念
3.例題講解
例1
例2
例3

一、教材作業(yè)
二、課后作業(yè)
【基礎(chǔ)鞏固】
1.下列函數(shù),不是反比例函數(shù)的是 ( )
A.y=- B.y=
C.y= D.3xy=2
2.下列反比例函數(shù),當(dāng)x=2時,y的值為-3的是 ( )
A.y= B.y=-
C.y=- D.y=-
3.若y=(a+1)是反比例函數(shù),則a的值為 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.任意實數(shù)
4.若一個矩形的面積為10,則這個矩形的長與寬之間的函數(shù)關(guān)系是 ( )
A.正比例函數(shù)關(guān)系 B.反比例函數(shù)關(guān)系
C.一次函數(shù)關(guān)系 D.不能確定
5.下列函數(shù):①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=.其中y是x的反比例函數(shù)的有 (填序號).
6.若反比例函數(shù)y=,當(dāng)x=-1時,y=2,則k的值是 .
7.已知y是x的反比例函數(shù),且當(dāng)x=3時,y=8,那么當(dāng)x=4時,y= .
8.若梯形的下底長為x,上底長為下底長的,高為y,面積為60,則y與x的函數(shù)解析式是 (不考慮x的取值范圍).
9.分別寫出下列函數(shù)的解析式,指出是哪種函數(shù),并確定其自變量的取值范圍.
(1)在路程為60 km的運動中,速度v(單位:km/h)關(guān)于運動時間t(單位:h)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)某校要在校園中開辟出一塊面積為84 m2的矩形土地做花圃,這個花圃的長y(單位:m)關(guān)于寬x(單位:m)的函數(shù)關(guān)系式.
(3)市政府計劃建設(shè)一項水利工程,工程需要運送的土石總量為106米3,某運輸公司承辦了該項工程運送土石的任務(wù),運輸公司的平均工作量V(單位:米3/天)與完成運送任務(wù)所需要的時間t(單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式.
10.已知y與x的反比例函數(shù)的解析式為y=.
(1)請完成下表:
(2)求當(dāng)x=-10時函數(shù)y的值.
(3)求當(dāng)y=6時自變量x的值.
【能力提升】
11.將x=代入反比例函數(shù)y=-中,所得函數(shù)值記為y1,又將x=y1+1代入原反比例函數(shù)中,所得函數(shù)值記為y2,再將x=y2+1代入原反比例函數(shù)中,所得函數(shù)值記為y3,…,如此繼續(xù)下去,則y2018= .
12.已知一個長方體的體積是100 cm3,它的長是y cm,寬是5 cm,高是xcm.
(1)寫出用高表示長的解析式；(不用寫出自變量的取值范圍)
(2)當(dāng)x=3時,求y的值.
【拓展探究】
13.已知y=y1+y2,y1與x2成正比例關(guān)系,y2與x成反比例,且當(dāng)x=1時,y=3；當(dāng)x=-1時,y=1.求當(dāng)x=時y的值.
【答案與解析】
1.C解析:A,B,D符合反比例函數(shù)的定義,C函數(shù)中的分母不是關(guān)于x的單項式,所以不是反比例函數(shù).故選C.
2.B解析:把x=2分別代入各選項求出y的值,只有B中y的值為-3.故選B.
3.A解析:根據(jù)反比例函數(shù)的定義,得a2-2=-1,且a+1≠0,解得a2=1,a≠-1,∴a=1.故選A.
4.B解析:題目中的等量關(guān)系為長×寬=矩形面積,所以長×寬=10,即長等于10除以寬,所以長與寬是反比例函數(shù)關(guān)系.故選B.
5.②⑤解析:①是一次函數(shù),不是反比例函數(shù)；③y=x2+8x-2是二次函數(shù),不是反比例函數(shù)；④的分母中x的指數(shù)是3,不是反比例函數(shù)；⑥y=,a≠0時,是反比例函數(shù),沒有此條件則不一定是反比例函數(shù).只有②⑤符合反比例函數(shù)的定義.故填②⑤.
6.-2解析:把x=-1,y=2代入可得k=(-1)×2=-2.故填-2.)
7.6解析:設(shè)y=,把x=3,y=8代入,得k=24,所以y與x之間的函數(shù)解析式為y=,把x=4代入得y=6.故填6.
8.y=解析:根據(jù)梯形的面積公式可得y=60,化簡得y=.故填y=.
9.解:(1)v=,是反比例函數(shù),t>0. (2)y=,是反比例函數(shù),x>0. (3)V=,是反比例函數(shù),t>0.
10.解:(1)-1 -3 3 1 (2)當(dāng)x=-10時,y=-. (3)當(dāng)y=6時,6=,解得x=.
11.2 解析:把x=代入得y1=-,則 x2=-+1=-,所以y2=2,則 x3=2+1=3,所以y3=-,則x4=-+1=,所以y4=
-,….觀察y1=y4 ,所以三組一循環(huán),2018除以3余2,所以y2018=y2= 2.
12.解:(1)y=. (2)當(dāng)x=3時,y=.
13.解:設(shè)y1=k1x2,y2=,則y=y1+y2=k1x2+.把x=1,y=3；x=-1,y=1分別代入得解得所以y=2x2+.當(dāng)x=時,y=2×+2=.

本課時精心設(shè)計了課程導(dǎo)入環(huán)節(jié),順利地把學(xué)生帶入課時學(xué)習(xí)的情景之中,為學(xué)好本課時的內(nèi)容做了很好的鋪墊.
在教學(xué)設(shè)計思路上,不是把概念直接交給學(xué)生,而是讓學(xué)生通過比較反比例函數(shù)與其他函數(shù)區(qū)別的基礎(chǔ)上得出結(jié)論,這樣既鞏固了先前的知識,又很好地做到了知識的遷移和延伸.
依托教材的素材對教材進行了開發(fā),依據(jù)教材的情景,設(shè)計了對學(xué)生具有啟發(fā)性和引導(dǎo)性的問題,精心設(shè)置了教材例題之外的例題,更好地為實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)服務(wù).
在復(fù)習(xí)一次函數(shù)和二次函數(shù)等函數(shù)知識的時候,給學(xué)生的時間較少,部分同學(xué)還沒有很好地回憶和總結(jié)先前的知識,這在一定程度上造成了學(xué)生理解知識存在銜接的困難.在討論問題組的時候,讓學(xué)生自我學(xué)習(xí)和交流做得不夠深入,老師過早地把問題結(jié)論提示給學(xué)生,對學(xué)生的思維活動沒有做到很好的引導(dǎo).在習(xí)題處理環(huán)節(jié)上,第一個例題可以讓學(xué)生通過交流合作去完成.
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
思路二
1.認(rèn)識新的函數(shù)——反比例函數(shù)
2.反比例函數(shù)的概念
x
-3
-1
1
3
y

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初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊電子課本

26.1.1 反比例函數(shù)

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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