
前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形,知道了如果平行四邊形有一個角是直角時,成為什么圖形?
(矩形,由角變化得到)
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的四邊形叫什么呢?
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形.
在平行四邊形中,如果內(nèi)角大小保持不變,僅改變邊的長度,請仔細(xì)觀察和思考,在這變化過程中,哪些關(guān)系沒變?哪些關(guān)系變了?
如果改變了邊的長度,使兩鄰邊相等,那么這個平行四邊形成為怎樣的四邊形?
將一張長方形的紙對折、再對折,然后沿圖中的虛線剪下,打開即可得到一個菱形.
通過折疊制作的菱形,你發(fā)現(xiàn)菱形具有怎樣的性質(zhì)哪?
(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì);
(2)菱形的四條邊都相等;
(3)菱形的兩條對角線互相垂直, 并且每一條對角線平分一組對角;
(4)菱形是軸對對稱圖形;
已知:如圖,四邊形ABCD是菱形.
菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角.
證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴DA=AB(菱形的定義),
OD=OB (平行四邊形的對角線互相平分),
∴ AC ⊥ DB ,AC平分∠DAB(為什么?).
同理: AC平分∠DCB ;DB平分∠ADC和∠ABC.
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
菱形的 兩條對角線互相平分
菱形的兩組對邊平行且相等
菱形的兩組對角分別相等
菱形的兩條對角線互相垂直平,每一條對角線平分一組對角。
菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,分別是兩條對角線的所在的直線
∴AB=DC,AD=BC AB∥DC,AD∥BC
∴AB=BC=CD=AD
∴∠DAB=∠DCB∠ADC=∠ABC
∴∠DAB+∠ABC=1800∠DAB+∠DCB=1800
∴OA=OC,OD=OB
∴AC⊥BD∠1=∠2∠3=∠4∠5=∠6∠7=∠8
已知四邊形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
有關(guān)菱形問題可轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決
思考:計算菱形的面積除了上式方法外,利用對角線能 計算菱形的面積公式嗎?
菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半
5.菱形ABCD的兩條對角線BD、AC長分別是6cm和8cm,求菱形的周長和面積.
4.菱形ABCD中,O是兩條對角線的交點,已知AB=5cm,AO=4cm,求兩對角線AC、BD的長.
解: ∵四邊形ABCD是菱形, ∴OA=OC,OB=OD, AC⊥BD. ∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2, AB=5cm,AO=4cm,
∴OB=3cm.∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm.
例題 如圖,菱形花壇ABCD的邊長為20m, ∠ABC=600,沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD,求兩條小路的長和花壇的面積.(分別精確到0.01m 和0.1m2 )
4、已知如圖,菱形ABCD中,E是AB的中點,且DE⊥AB,AE=2.求(1)∠ABC的度數(shù); (2)對角線AC、BD的長; (3)菱形ABCD的面積.
定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形
菱形面積公式:S菱形=底×高 S菱形= 對角線乘積的一
活動5:作業(yè)必做題:練習(xí)1課外探索題:已知菱形的周長為40cm,兩條對角線之比為3:4,則菱形的面積為 cm2.
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