?事件的相互獨(dú)立性

【教學(xué)重難點(diǎn)】
【教學(xué)目標(biāo)】
【核心素養(yǎng)】
相互獨(dú)立事件的概念
理解相互獨(dú)立事件的概念及意義
數(shù)學(xué)抽象
相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概念
能記住相互獨(dú)立事件概率的乘法公式；
能綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式
及獨(dú)立事件的乘法公式解題
數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模
【教學(xué)過(guò)程】
一、問(wèn)題導(dǎo)入
預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：
1．事件的相互獨(dú)立性的定義是什么？
2．相互獨(dú)立事件有哪些性質(zhì)？
3．相互獨(dú)立事件與互斥事件有什么區(qū)別？
二、基礎(chǔ)知識(shí)
1．相互獨(dú)立的概念
設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P（A）P（B），則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．
2．相互獨(dú)立的性質(zhì)
若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立．
■名師點(diǎn)撥 （1）必然事件Ω，不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立．
（2）事件A，B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)＝P（A）·P（B）．
三、合作探究
1．相互獨(dú)立事件的判斷
一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}．對(duì)下述兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：
（1）家庭中有兩個(gè)小孩；
（2）家庭中有三個(gè)小孩．
【解】（1）有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率都為.
這時(shí)A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P（A）＝，P（B）＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P（A）P（B），
所以事件A，B不相互獨(dú)立．
（2）有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件．
于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P(AB)＝，
顯然有P(AB)＝＝P（A）P（B）成立．
從而事件A與B是相互獨(dú)立的．

判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法
（1）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率來(lái)判斷，若沒(méi)有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件；
（2）定義法：通過(guò)式子P(AB)＝P（A）P（B）來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這是定量判斷.
2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
王敏某天乘火車(chē)從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：
（1）這三列火車(chē)恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；
（2）這三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率．
【解】 用A，B，C分別表示這三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的事件．
則P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
（1）由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝
P()P（B）P（C）＋P（A）P()P（C）＋P（A）P（B）P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
（2）三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為
P2＝1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．

1．[變問(wèn)法]在本例條件下，求恰有一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率．
解：恰有一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率為
P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P（A）P()P()＋P()P（B）P()＋P()P()P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．
2．[變條件]若一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)記10分，用ξ表示三列火車(chē)的總得分，求P(ξ≤20)．
解：事件“ξ≤20”表示“至多兩列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)”，其對(duì)立事件為“三列火車(chē)都正點(diǎn)到達(dá)”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．

與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問(wèn)題的求解策略
明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義．
一般地，已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率分別為P（A），P（B），那么：
（1）A，B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B．
（2）A，B都發(fā)生為事件AB．
（3）A，B都不發(fā)生為事件.
（4）A，B恰有一個(gè)發(fā)生為事件A＋ B．
（5）A，B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B＋ .
它們之間的概率關(guān)系如表所示：

A，B互斥
A，B相互獨(dú)立
P(A＋B)
P（A）＋P（B）
1－P()P()
P(AB)
0
P（A）P（B）
P(A B)
1－[P（A）＋P（B）]
P()P()
3．相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用
本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多．某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租用時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游(各租一車(chē)一次)．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為，，超過(guò)兩小時(shí)但不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為，，兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．
（1）求甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)用相同的概率；
（2）設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
【解】（1）由題意可得甲、乙兩人超過(guò)三小時(shí)但不超過(guò)四小時(shí)還車(chē)的概率分別為，.
記甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同為事件A，則P（A）＝×＋×＋×＝.所以甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)用相同的概率為.
（2）P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.

概率問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想
（1）正難則反．靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P（A）＋P()＝1)簡(jiǎn)化問(wèn)題，是求解概率問(wèn)題最常用的方法．
（2）化繁為簡(jiǎn)．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(lèi)(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)．
（3）方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過(guò)解方程(組)使問(wèn)題獲解．
四、課堂檢測(cè)
1．如圖，在兩個(gè)圓盤(pán)中，指針落在圓盤(pán)每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是( )

A． B．
C． D．
解析：選A．左邊圓盤(pán)指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為＝，右邊圓盤(pán)指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率也為，所以?xún)蓚€(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為×＝.
2．已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P（A）＝，P（B）＝，則P(A)＝________；P( )＝________．
解析：因?yàn)镻（A）＝，P（B）＝.
所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P（A）P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.
答案：
3．某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過(guò)了的號(hào)碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：
（1）第3次撥號(hào)才接通電話；
（2）撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話．
解：設(shè)Ai＝{第i次撥號(hào)接通電話}，i＝1，2，3．
（1）第3次才接通電話可表示為 A3，
于是所求概率為P(A3)＝××＝.
（2）撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話可表示為A1＋ A2＋A3，
于是所求概率為P(A1＋A2＋A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋×＋××＝.

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10.2 事件的相互獨(dú)立性

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