8.5　空間中直線、平面的平行
8.5.3　平面與平面平行
兩個(gè)平面平行的判定定理
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
[知識(shí)解讀]　1．剖析平面與平面平行的判定定理(1)具備兩個(gè)條件判定平面α與平面β平行時(shí)，必須具備兩個(gè)條件.①平面β內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.②兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.(2)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想此定理將證明面面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線面平行.(3)此定理可簡(jiǎn)記為：線面平行?面面平行.
2．解讀平面與平面平行的性質(zhì)定理(1)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理揭示了“兩個(gè)平面平行之后它們具有什么樣的性質(zhì)”.該性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理.可簡(jiǎn)述為“若面面平行，則線線平行”.(2)用該定理判斷直線a與b平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三個(gè)條件缺一不可.
(3)在應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)，要防止出現(xiàn)“兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面一切直線”的錯(cuò)誤.3．兩個(gè)平面平行的一些常見結(jié)論(1)如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都與另一個(gè)平面平行.(2)如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它也和另一個(gè)平面相交.(3)夾在兩個(gè)平行平面間的所有平行線段相等.
　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D，E分別是BC與B1C1的中點(diǎn).求證：平面A1EB∥平面ADC1．
[分析]　要證平面A1EB∥平面ADC1，只需證平面A1EB內(nèi)有兩條相交直線平行于平面ADC1即可.
[解析]　如圖，由棱柱的性質(zhì)知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以C1E∥DB，C1E＝DB，則四邊形C1DBE為平行四邊形，因此EB∥C1D.又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．
連接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ED∥B1B，ED＝B1B.因?yàn)锽1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性質(zhì))，所以ED∥A1A，ED＝A1A，則四邊形EDAA1為平行四邊形，所以A1E∥AD.又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．
[歸納提升]　平面與平面平行的判定方法：(1)定義法：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)；(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β；(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.
[解析]　∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.又底面ABCD是平行四邊形，則AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.而MQ∩NQ＝Q，MQ?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.
(2020·河南鄭州高一檢測(cè))如圖，兩條異面直線AB，CD與三個(gè)平行平面α，β，γ分別相交于A，E，B及C，F(xiàn)，D，又AD，BC與平面β的交點(diǎn)為H，G.求證：四邊形EHFG為平行四邊形.
[分析]　利用面面平行的性質(zhì)說明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.從而說明四邊形EHFG為平行四邊形.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(2020·山東濟(jì)南聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn).M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF，求證：NF∥CM.
[證明]　因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分別是棱AD，AA1上的點(diǎn).設(shè)F是棱AB的中點(diǎn).求證：直線EE1∥平面FCC1．
[證明]　因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AF又因?yàn)锳B＝2CD，所以CD＝AF，因?yàn)锳B∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD為平行四邊形，所以FC∥AD，又FC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，因?yàn)镃C1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1．又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．
[歸納提升]　空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(1)將本例改為：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)是棱C1D1，A1D1的中點(diǎn).求證：AF∥平面BDE.(2)將本例改為：如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，M，N分別是AE，CD1的中點(diǎn).求證：MN∥平面ADD1A1．
[證明]　(1)法一：如圖，連接EF，AC，AC∩BD＝G，顯然四邊形EFAG為平行四邊形，又AF?平面BDE，EG?平面BDE，所以AF∥平面BDE.法二：取A1B1中點(diǎn)H，連接AH，F(xiàn)H，證明平面AFH∥平面BDE即可.
(2)如圖所示，取CD的中點(diǎn)K，連接MK，NK.因?yàn)镸，N，K分別為AE，CD1，CD的中點(diǎn)，因?yàn)镸K∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1．而NK與MK相交，所以平面MNK∥平面ADD1A1．因?yàn)镸N?平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．
　在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)，求證：平面EFGH∥平面ABCD.
應(yīng)用定理?xiàng)l件不足，推理論證不嚴(yán)密致誤
[錯(cuò)解]　∵E、F分別是AA1和BB1的中點(diǎn)，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理可證，HG∥平面ABCD.又EF?平面 EG，HG?平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD.[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中，EF與HG是平面EG內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，不符合面面平行的判定定理的條件，因此證明不正確.
[正解]　∵E、F分別是AA1和BB1的中點(diǎn)，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.同理可證EH∥平面ABCD.又EF?平面EG，EH?平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD.[誤區(qū)警示]　利用面面平行的判定定理證明兩個(gè)平面平行時(shí)，所滿足的條件必須是明顯或已經(jīng)證明成立的，并且要與定理?xiàng)l件保持一致，否則容易導(dǎo)致錯(cuò)誤.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖所示，設(shè)E、F、E1、F1分別是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中點(diǎn)，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是(　　)A．平行　　B．相交　　C．異面　　D．不確定

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8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

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