本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第五節(jié)《空間直線、平面的平行》。以下是本節(jié)的課時安排：
上一節(jié)我們知道了如何證明線面平行及線面平行的性質(zhì)，本節(jié)課繼續(xù)研究兩個平面平行，即通過兩個平面沒有公共點而得到兩個平面平行，由于平面的無限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點，因此很難直接利用定義判斷，那應(yīng)該如何簡化平面與平面平行的判定方法進入本節(jié)課。
1. 掌握空間平面與平面平行的判定定理，并能應(yīng)用這個定理解決問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；
2.理解平面和平面平行的性質(zhì)定理，提升直觀想象的核心素養(yǎng)。
1.重點：空間平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
2.難點：應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理解決問題
（一）新知導(dǎo)入
貼瓷磚的工人在檢驗地面是否水平時，只需將水準器交叉放兩次，若水準器的氣泡都居中就能判定地面是水平的.
【問題】 (1)這個實例給出了判斷兩平面平行的一種怎樣的方法？
(2)若一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行嗎？
【提示】 (1)在一個平面內(nèi)找兩條相交線，分別平行于另一個平面即可.
(2)不一定，這兩個平面也可能相交.
（二）平面與平面平行
知識點一 平面與平面平行的判定定理
【探究1】三角板的一條邊所在平面與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？
【提示】 不一定.
【探究2】三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？
【提示】 平行.
【探究3】如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行嗎？
【提示】 平行
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
1.若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行.(×)
2.若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行.(√)
3.若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(√)
4.若a?α，α∥β，則a∥β.(√)
知識點二 平面與平面平行的性質(zhì)定理
【探究1】如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面嗎？
【提示】一個平面內(nèi)的直線必平行另一個平面（無公共點）
【探究2】如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面的直線是什么位置關(guān)系？
【提示】一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線沒有公共點，它們或者是異面直線，或者是平行直線。
【探究3】如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行嗎？
【提示】當?shù)谌齻€平面和兩個平行平面都相交時，兩條交線共面且無公共點，所以兩條交線平行，
拓展：常用的面面平行的性質(zhì)：
(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面；
(2)平行于同一個平面的兩個平面平行；
(3)兩條直線被三個平行平面所截，截得的線段長成比例；
(4)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．( )
(2)若α∥β，則平面α內(nèi)有無數(shù)條互相平行的直線平行于平面β.( )
(3)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線異面．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
（三）典型例題
1.平面與平面平行的判定
例1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點，
求證：平面MNP∥平面A1BD.
證明：如圖所示，連接B1D1、B1C.
∵P、N分別是D1C1、B1C1的中點，∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
又PN?平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
【類題通法】判定平面與平面平行的常用方法
(1)定義法：證明兩個平面沒有公共點，通常采用反證法．
(2)利用判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．證明時應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．
【鞏固練習(xí)1】已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.
證明：因為PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP?平面PBC，NQ?平面PBC，所以NQ∥平面PBC，
又因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC∥AD，
所以MQ∥BC.而BC?平面PBC，MQ ?平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.
2.平面與平面平行的性質(zhì)
例2.如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點B，A和D，C，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN∥平面α.
證明：如圖，過點A作AE∥CD交α于點E，取AE的中點P，連接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因為AE∥CD，所以AE，CD確定平面AEDC.
則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因為α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分別為AE，CD的中點，
所以PN∥DE，PN?α，DE?α，所以PN∥α.
又M，P分別為AB，AE的中點，
所以MP∥BE，且MP?α，BE?α.
所以MP∥α，因為MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.
又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.
【類題通法】 1.面面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵
(1)成立的條件：兩平面平行，第三個平面與這兩個平面均相交．
(2)定理的實質(zhì)：面面平行?線線平行，其應(yīng)用過程是構(gòu)造與兩個平行平面都相交的一個平面，由定理可知，兩條交線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理交替使用，可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．
2．應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟
【鞏固練習(xí)2】如圖，已知α∥β，點P是平面α、β外的一點(不在α與β之間)，直線PB、PD分別與α、β相交于點A、B和C、D.
(1)求證：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的長．
(1)證明：因為PB∩PD＝P，所以直線PB和PD確定一個平面γ，
則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.
(2)解：由(1)得AC∥BD，所以eq \f(PA,AB)＝eq \f(PC,CD)，所以eq \f(4,5)＝eq \f(3,CD)，
所以CD＝eq \f(15,4)(cm)，所以PD＝PC＋CD＝eq \f(27,4)(cm)．
3.平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
例3.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN.
求證：MN∥平面AA1B1B.
證明：如圖，作MP∥BB1交BC于點P，連接NP，
因為MP∥BB1，所以eq \f(CM,MB1)＝eq \f(CP,PB).
因為BD＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，
所以eq \f(CM,MB1)＝eq \f(DN,NB)，所以eq \f(CP,PB)＝eq \f(DN,NB)，所以NP∥CD∥AB.
因為NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B.
因為MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.
又因為MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B.
因為MN?平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B.
【類題通法】解決平行關(guān)系的綜合問題的方法
(1)在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì)．
(2)要靈活應(yīng)用線線平行、線面平行和面面平行的性質(zhì)，實現(xiàn)相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法．
【鞏固練習(xí)3】如圖，正方體的棱長為2， 是棱的中點， 是側(cè)面內(nèi)一點，若平面 ，則的長度的范圍為__________.
【解析】如圖所示：
分別取的中點M，N，連接EM，EN，MN，
因為E為AB的中點，所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，所以平面平面，
又是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，所以點F的軌跡為線段MN，
故EF的最小值為,最大值為，
所以的長度的范圍為，
【答案】
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.下列命題中正確的是( )
A.一個平面內(nèi)三條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行
B.如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行
D.如果一個平面內(nèi)有幾條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行
2.P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5
3.已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，那么a與b的位置關(guān)系可能是( )
A.平行或相交 B.相交或異面
C.平行或異面 D.平行、相交或異面
4.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則eq \f(MN,AC)＝________.
答案：1.B 2.B 3.D 4.eq \f(1,2)
【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第142頁 練習(xí) 第1，2,3,4題
第144 頁 習(xí)題8.5 第8,13,14,15題










8.5空間直線、平面的平行
課時內(nèi)容
8.5.1直線與直線平行
8.5.2直線與平面平行
8.5.3平面與平面平行
所在位置
教材第133頁
教材第135頁
教材第139頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是空間直線平行的傳遞性和等角定理，由平面圖形推廣到立體圖形得到，直線與直線平行是研究空間直線、平面平行的基礎(chǔ)。
本節(jié)內(nèi)容是空間直線平面平行，按照“判定--性質(zhì)”展開內(nèi)容，通過直觀感知和操作確認，歸納出直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面平行，與研究直線與平面平行一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過基本事實4和等角定理的應(yīng)用，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).
通過典型實例的觀察與分析，概括出直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。
通過平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助平行關(guān)系的綜合問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).
教學(xué)主線
平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
文字語言
如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行
符號語言
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α
圖形語言

文字語言
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
符號語言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
圖形語言

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8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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