本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第五節(jié)《空間直線、平面的平行》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
上節(jié)課類比平面內(nèi)直線的傳遞性，學(xué)習(xí)了空間兩直線的特殊位置關(guān)系—平行，得到了基本事實(shí)4.今天，我們將在此基礎(chǔ)上展開對(duì)空間直線與平面的位置關(guān)系展開研究.
1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線與平面平行的判定定理，并加以證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線和平面平行的性質(zhì)定理，并加以證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
3.會(huì)應(yīng)用直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用。
2.難點(diǎn)：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的探索過(guò)程及其應(yīng)用。
（一）新知導(dǎo)入
門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)只要門扇不被關(guān)閉，不論轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置，它能活動(dòng)的豎直一邊所在直線都與固定的豎直邊所在平面(墻面)存在不變的位置關(guān)系.
問(wèn)題 (1)上述問(wèn)題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？
(2)若判斷直線與平面平行，由上述問(wèn)題你能得出一種方法嗎？
提示 (1)平行.
(2)可以，只需在平面內(nèi)找一條與平面外直線平行的直線即可.
（二）直線與平面平行
知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面平行的判定定理
用判定定理判定直線a和平面α平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件
(1)直線a在平面α外，即a ?α；
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；
(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可.
【思考1】若一直線與平面內(nèi)的直線平行，一定有直線與平面平行嗎？
【提示】不一定.要強(qiáng)調(diào)直線在平面外.
【思考2】如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都平行，那么該直線和平面之間具有什么關(guān)系？
【提示】 平行或直線在平面內(nèi).
【做一做】如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.b∥α
C.b?α D.b∥α或b?α
解析 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
答案 D
知識(shí)點(diǎn)二 直線與平面平行的性質(zhì)定理
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．( )
(2)若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α.( )
(3)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．( )
(4)若直線a∥平面α，直線a∥直線b，則直線b∥平面α.( )
(5)若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無(wú)公共點(diǎn)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
（三）典型例題
1.直線與平面平行的判定
例1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B.
證明：如圖，作ME∥BC，交BB1于點(diǎn)E，作NF∥AD，交AB于點(diǎn)F，連接EF，
則EF?平面AA1B1B，且eq \f(ME,BC)＝eq \f(B1M,B1C)，eq \f(NF,AD)＝eq \f(BN,BD).
∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB.
∴eq \f(ME,BC)＝eq \f(BN,BD)＝eq \f(NF,AD).又AD＝BC，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四邊形MEFN為平行四邊形，∴MN∥EF.
∵M(jìn)N ?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.
【類題通法】用判定定理證明直線與平面平行的步驟如下：
(1)找：在平面內(nèi)找到一條直線或作出一條直線與已知直線平行；
(2)證：證明已知直線與該直線平行；
(3)結(jié)論：由判定定理得出結(jié)論．
【鞏固練習(xí)1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).
求證：MN∥平面PAD.
證明：如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接GA，GN.
∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點(diǎn)，∴GN∥DC，GN＝eq \f(1,2)DC.
∵M(jìn)為平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，∴AM＝eq \f(1,2)DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.
又∵M(jìn)N ?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.
2.直線與平面平行的性質(zhì)
例2.如圖所示，已知異面直線AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的兩側(cè)，若AC，BD分別與α相交于M，N兩點(diǎn)，求證eq \f(AM,MC)＝eq \f(BN,ND).
證明：如圖所示，連接AD，交平面α于點(diǎn)P，連接PM，PN.
因?yàn)镃D∥α，平面ACD∩α＝PM，
所以CD∥PM，所以在△ACD中，有eq \f(AM,MC)＝eq \f(AP,PD).
同理，在△DAB中，有eq \f(AP,PD)＝eq \f(BN,ND)，所以eq \f(AM,MC)＝eq \f(BN,ND).
【類題通法】 (1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟
(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過(guò)已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行.
【鞏固練習(xí)2】如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.
證明：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，
所以AP∥OM.
又因?yàn)锳P?平面BDM，OM?平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BDM＝GH，
AP?平面PAHG，所以AP∥GH.
3.線面平行性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用
例3.求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么該直線與相交平面的交線平行．
已知：a，l是直線，α，β是平面．
a∥α，a∥β，且α∩β＝l.
求證：a∥l.
證明：如圖，在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)A，且使A?l.
∵a∥α，∴A?a.
故點(diǎn)A和直線a確定一個(gè)平面γ，
設(shè)γ∩α＝m.
同理，在平面β內(nèi)任取一點(diǎn)B，且使B?l，
則點(diǎn)B和直線a確定平面δ，設(shè)δ∩β＝n.
∵a∥α，a?γ，γ∩α＝m，
∴a∥m.同理a∥n，則m∥n.
又m ?β，n?β，∴m∥β.
又∵m?α，α∩β＝l，∴m∥l.又a∥m，∴a∥l.
【類題通法】利用線面平行的判定和性質(zhì)定理，可以完成線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是一種重要數(shù)學(xué)思想．該轉(zhuǎn)化過(guò)程可概括為：
eq \x(\a\al(線線,平行))eq \(――→,\s\up11(在平面內(nèi)作或),\s\d4(找一條直線))eq \x(\a\al(線面,平行))eq \(――→,\s\up11(經(jīng)過(guò)直線作或找平面),\s\d4(與平面相交的直線))eq \x(\a\al(線線,平行))
【鞏固練習(xí)3】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn).記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明.
解：直線l∥平面PAC.證明如下：
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，
所以EF∥AC.
又EF ?平面ABC，且AC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因?yàn)閘 ?平面PAC，EF?平面PAC，
所以l∥平面PAC.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.下列說(shuō)法正確的是( )
A.若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α
B.若直線a在平面α外，則a∥α
C.若直線a與直線b不相交，直線b?α，則a∥α
D.若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線
2.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為________.
3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面EFGH分別交BC和AD于點(diǎn)G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
4.如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是________.
答案：1.D 2.平行 3.A 4.平行四邊形
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第138頁(yè) 練習(xí) 第1，2,3,4題
第143 頁(yè) 習(xí)題8.5 第1,2,3,4,5,6,7，10,11,12題










8.5空間直線、平面的平行
課時(shí)內(nèi)容
8.5.1直線與直線平行
8.5.2直線與平面平行
8.5.3平面與平面平行
所在位置
教材第133頁(yè)
教材第135頁(yè)
教材第139頁(yè)
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是空間直線平行的傳遞性和等角定理，由平面圖形推廣到立體圖形得到，直線與直線平行是研究空間直線、平面平行的基礎(chǔ)。
本節(jié)內(nèi)容是空間直線平面平行，按照“判定--性質(zhì)”展開內(nèi)容，通過(guò)直觀感知和操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面平行，與研究直線與平面平行一樣，借助長(zhǎng)方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過(guò)基本事實(shí)4和等角定理的應(yīng)用，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).
通過(guò)典型實(shí)例的觀察與分析，概括出直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。
通過(guò)平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助平行關(guān)系的綜合問(wèn)題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).
教學(xué)主線
平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
文字語(yǔ)言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語(yǔ)言
a ?α，b?α，且a∥b?a∥α
圖形語(yǔ)言
文字語(yǔ)言
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號(hào)語(yǔ)言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
圖形語(yǔ)言

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8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

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