8.5　空間中直線、平面的平行
8.5.2　直線與平面平行
直線與平面平行的判定定理
a?α，b?α，且a∥b　
直線與平面平行的性質(zhì)定理
[知識(shí)解讀]　直線與平面平行的判定(證明)1．定義法：判定(證明)直線與平面無公共點(diǎn).2．判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.用符號(hào)表示：a?α，b?α且a∥b?a∥α.3．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想此定理將證明線面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線線平行.此定理可簡(jiǎn)記為：線線平行?線面平行.
　如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是(　　)A．相交　　B．b∥αC．b?α　　D．b∥α或b?α[解析]　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
[歸納提升]　線面平行的判定定理必須具備三個(gè)條件(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　下列說法正確的是(　　)A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥αD．若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線[解析]　A錯(cuò)誤，直線l還可以在平面α內(nèi)；B錯(cuò)誤，直線a在平面α外，包括平行和相交；C錯(cuò)誤，a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi).故選D．
　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
[證明]　連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1．又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1．又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(1)在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是_________________.(2)如果四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).求證：MN∥平面PAD.
平面ABD、平面ABC　
[解析]　(1)如圖所示，取CD的中點(diǎn)E.則EM︰MA＝1︰2，EN︰BN＝1︰2，所以MN∥AB.又MN?平面ABD，MN?平面ABC，AB?平面ABD，AB?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
[分析]　根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，要證AP∥GH，只需證AP∥平面BDM，只需證AP與平面BDM中的某一條直線平行.
[證明]　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴AP∥平面BMD.又∵AP?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.
[歸納提升]　(1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　如圖，用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形.[證明]　因?yàn)锳B∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.
　證明：已知平面外的兩條直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于該平面.已知：a∥b，a?β，b?β，a∥β.求證：b∥β.
[錯(cuò)解]　因?yàn)閍∥b，所以直線a，b確定平面γ，設(shè)β∩γ＝c.因?yàn)閍∥β，所以a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，又因?yàn)閏?β，b?β，所以b∥β.出錯(cuò)的原因是此時(shí)直線a，b確定的平面γ與β不一定相交，也可能平行，所以直線c也可能不存在.[錯(cuò)因分析]　使用定理證明或判斷線線平行或線面平行時(shí)，一定要注意定理成立的條件，缺一不可.
[正解]　證明：在平面β內(nèi)任一點(diǎn)A，因?yàn)閍∥β，所以A?a.設(shè)點(diǎn)A與直線a確定平面γ，β∩γ＝c.又a∥β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，又a∥b，所以b∥c，又c?β，b?β，所以b∥β.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　b是平面α外的一條直線，可以推出b∥α的條件是(　　)A．b與α內(nèi)的一條直線不相交B．b與α內(nèi)的兩條直線不相交C．b與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D．b與α內(nèi)的任何一條直線都不相交[解析]　∵b∥α，∴b與α無公共點(diǎn)，從而b與α內(nèi)任何一條直線無公共點(diǎn).

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

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