我們知道直線與平面的位置關(guān)系有三個(gè)兒子。同學(xué)們大兒子很重要，二兒子和小兒子先放一邊。我們這節(jié)課來判斷這個(gè)東西是不是它的大兒子。
怎樣判定直線與平面平行呢？
在直線與平面的位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的關(guān)系，它不僅應(yīng)用廣泛，而且是學(xué)習(xí)平面與平面平行的基礎(chǔ).怎樣判定直線與平面平行呢？根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點(diǎn)，但是，直線是無限延伸的，平面是無限延展的，如何保證直線與平面沒有公共點(diǎn)呢?
如圖門扇的兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊與墻面有公共點(diǎn)嗎？此時(shí)門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與墻面平行嗎？
如圖將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉(zhuǎn)動(dòng).在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中（AB離開桌面）,DC的對邊AB與桌面有公共點(diǎn)嗎？邊AB與桌面平行嗎？
可以發(fā)現(xiàn)，無論門扇轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)的一邊與固定的一邊總是平行的，所以它與墻面是平行的；硬紙板的邊AB與DC平行，只要邊DC緊貼著桌面，邊AB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)就不可能與桌面有公共點(diǎn)，所以它與桌面平行
直線和平面平行的判定定理：
如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。
注意：使用定理時(shí)，必須具備三個(gè)條件：
（1）直線a在平面α外，（2）直線b在平面α內(nèi)，（3）兩條直線a、b平行
三個(gè)條件缺一不可，缺少其中任何一條，則結(jié)論就不一定成立了。
1、同學(xué)們，雖然這個(gè)定理是從生活生產(chǎn)實(shí)踐中總結(jié)出來也是非常顯然非常明顯的，是我們發(fā)現(xiàn)的，但它不是公理而是定理，因?yàn)槲覀兛梢园阉C明出來。 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)西方人沒事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國這些是經(jīng)驗(yàn)，沒有證明的跡象。
2、同學(xué)們，我們判斷線面平行的思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題即線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行。
經(jīng)過a，b確定一個(gè)平面
假設(shè) 與 有公共點(diǎn)P，則 ，點(diǎn)P是a與b的公共點(diǎn)，這與 矛盾，
1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？
荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的，他說：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’；與其說是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，還不如說是學(xué)習(xí)‘公理化’；與其說是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說是學(xué)習(xí)‘形式化’。”
數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有機(jī)會(huì)應(yīng)用它們在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用?！?br/> 所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)忘記了，但數(shù)學(xué)化不會(huì)忘記，學(xué)習(xí)公理，公理忘記了，但公理化不會(huì)忘記，學(xué)習(xí)形式體系，形式體系忘記了，但形式化不會(huì)忘記。也就是數(shù)學(xué)化、公理化、形式化一輩子都對你產(chǎn)生影響。
中國人的思維缺陷
1、不證而論 比如不懂邏輯學(xué)上的“充足理由律”，給出論點(diǎn)來往往不證而論，只有論點(diǎn)，沒有論據(jù)。
2、以“經(jīng)典、經(jīng)驗(yàn)、想當(dāng)然”作為論據(jù)
參考文章：《中國人思維的五大缺陷》作者：蘆笛
總結(jié)：中國數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)型的，結(jié)構(gòu)松散毫無邏輯，中國人做事也不講邏輯。
擅長邏輯，比如平面幾何的公理系統(tǒng)，從幾個(gè)公理出發(fā)當(dāng)成起點(diǎn)推出定理、性質(zhì)、推論?；蛴梢远ɡ?、性質(zhì)、推論為依據(jù)推出定理、性質(zhì)、推論，每一步都有論據(jù)，這論據(jù)要么是公理要么是定理、性質(zhì)、推論。最后形成嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)，注意是嚴(yán)密，或嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)。邏輯學(xué)就是發(fā)達(dá)于西方. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有點(diǎn)就是學(xué)習(xí)西方人如何思維,高考大部分考西方的思維方式。只有算法是考中國人思維方式
同學(xué)們，書上只介紹了三個(gè)基本事實(shí)即公理，為什么？ 那是因?yàn)橐⒘Ⅲw幾何公理系統(tǒng)，有這三個(gè)公理就足夠了，其它都可以把它推導(dǎo)出來，可以當(dāng)推論或當(dāng)性質(zhì)等。其實(shí)加上公理4就真的夠了，其他任何事實(shí)都可以由著四個(gè)公理加平面幾何的公理和定理推導(dǎo)出來。。
有的同學(xué)馬上想知道這三個(gè)事實(shí)即三個(gè)公理還有推導(dǎo)到底用在哪里？
公理系統(tǒng)是什么？我們前面提過。 什么是公理？那就是不證自明非常顯然的事實(shí)，公理是我們證明的原點(diǎn)或起點(diǎn)，從原點(diǎn)或起點(diǎn)出發(fā)到達(dá)我們要到的地方。證明先從公理開始。證明的起點(diǎn)是顯而易見的事實(shí)，這事實(shí)就是公理。公理是去證別人而自己是不能證明的。 同學(xué)們很多立體幾何定理結(jié)論實(shí)在是太明顯太顯然了，比公理還顯然，但注意它不是公理而是可以證明出來的性質(zhì)或定理，我們中國人覺得拿過來用就可以了，但西方不然,要證明出它。這在平時(shí)的證明中可以當(dāng)定理使用。注意我們證明題目時(shí)的論據(jù)都是來自于教材，教材之外的不會(huì)考到，雖然教材之外補(bǔ)充了許多定理、性質(zhì)。 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)西方人沒事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國這些是經(jīng)驗(yàn)，沒有證明的跡象。 雖然結(jié)論很顯然但證明卻是不容易。 定理：兩條平行線一條垂直一個(gè)平面另一條也垂直這個(gè)平面 這樣的定理很多。 同學(xué)們注意，以上的定理其實(shí)我們都是不知不覺無意識的在使用它們了，在中國這是顯然的經(jīng)驗(yàn)，在使用這些定理時(shí)我們自己都沒有意識到。西方人不這么干，他把這些不知不覺無意識使用的經(jīng)驗(yàn)?zāi)贸鰜碛霉砘枷胱C明,形成一個(gè)極其嚴(yán)密不是松散的系統(tǒng)。這造就了西方發(fā)達(dá)的科技。 如果我們不學(xué)習(xí)其實(shí)同學(xué)們在證明命題時(shí)自己自動(dòng)會(huì)使用它們，連自己都沒有意識到。因?yàn)樘@然了，比公理還顯然，太常識了，以至于我們沒有注意它們,是熟視無睹啊。 我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)這幾個(gè)定理就是讓無意識的東西進(jìn)入我們的意識。
如果同學(xué)們還想知道公理系統(tǒng)更多的有關(guān)知識，請百度：公理系統(tǒng)的相容性、獨(dú)立性和完備性。 或百度百科：幾何公理體系的基本問題，地址鏈接：%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%85%AC%E7%90%86%E4%BD%93%E7%B3%BB%E7%9A%84%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E9%97%AE%E9%A2%98/5557001?fr=aladdin。 如果還想了解更多，請百度百科：哥德爾不完備性定理。鏈接地址：%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86/4116640?frmtitle=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86&frmid=11039894&fr=aladdin。
例1、求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線，平行于經(jīng)過另兩邊的平面。
已知：空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)。 求證：EF ∥ 平面BCD
分析：EF在面BCD外，要證明EF∥面BCD，只要證明EF和面BCD內(nèi)一條直線平行即可。EF和面BCD哪一條直線平行呢？連結(jié)BD立刻就清楚了。
例2 如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn).
(3)你能說出圖中滿足線面平行位置 關(guān)系的所有情況嗎？
(1)E、F、G、H四點(diǎn)是否共面？
(2)試判斷AC與平面EFGH的位置關(guān)系；
解：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面。
∵在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn).
EH ∥GF且EH＝GF
∴E、F、G、H四點(diǎn)共面。
（2） AC ∥平面EFGH
（3）由EF ∥HG ∥AC，得
由BD ∥EH ∥FG，得
反思：其實(shí)例1、例2題目類似，因?yàn)榘芽臻g四邊形添加幾條邊就能成為四面體。我們這么安排是想做到精解一題，通一大片，達(dá)到舉一反三，一通百通的目的。
2.如圖，四棱錐A-DBCE中，O為底面正方形DBCE對角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn). 求證: AB//平面DCF.
反思：同學(xué)們，這個(gè)圖你能畫出來嗎？立體幾何題，如果你能畫出圖，那一般就會(huì)證出來。今天因?yàn)槲覀兘佑|立體幾何不久，所以先給出成圖。
如圖，正方體 中，P 是棱 的中點(diǎn)，過點(diǎn) P 畫一條直線使之與截面 平行.
1．證明直線與平面平行的方法：
2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想
（1）如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的直線有怎樣的位置關(guān)系？
（2）已知直線 a∥平面α，如何在平面α內(nèi)找出和直線a 平行的一條直線？
如果一條直線與一個(gè)平面平行，能推出哪些結(jié)論呢？這就是要研究直線與平面平行的性質(zhì)，也就是研究直線與平面平行的必要條件.
假設(shè)a與α內(nèi)的直線b平行，那么由基本事實(shí)的推論3,過直線a,b有唯一的平面β.這樣，我們可以把直線b看成是過直線a的平面β與平面α的交線.
直線和平面平行的性質(zhì)定理
如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。
1、定理三個(gè)條件缺一不可。
2、簡記:線面平行,則線線平行。
同學(xué)們，雖然這個(gè)定理是從生活生產(chǎn)實(shí)踐中總結(jié)出來也是比較非常顯然比較非常明顯的，是我們發(fā)現(xiàn)的，但它不是公理而是定理，因?yàn)槲覀兛梢园阉C明出來。 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)西方人沒事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國這些是經(jīng)驗(yàn)，沒有證明的跡象。
同學(xué)們，書上只介紹了三個(gè)基本事實(shí)即公理，為什么？ 那是因?yàn)橐⒘Ⅲw幾何公理系統(tǒng)，有這三個(gè)公理就足夠了，其它都可以把它推導(dǎo)出來，可以當(dāng)推論或當(dāng)性質(zhì)等。其實(shí)加上公理4就真的夠了，其他任何事實(shí)都可以由著四個(gè)公理加平面幾何的公理和定理推導(dǎo)出來。
例題1 有一塊木料，棱BC平行于面A'C' (1)要經(jīng)過面A'C'內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC鋸開木料，應(yīng)該怎樣畫線？ (2)這線與平面AC有怎樣的關(guān)系？
例題2 已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，求證：另一條也平行于這個(gè)平面。
注：同學(xué)們拿兩支筆當(dāng)直線，把桌面當(dāng)平面做實(shí)驗(yàn)看看，這性質(zhì)顯然不顯然？
同學(xué)們這個(gè)結(jié)論實(shí)在是太明顯太顯然了，比公理3還顯然，但注意它不是公理而是可以證明出來的性質(zhì)，這在平時(shí)的證明中可以當(dāng)定理使用。注意我們證明題目時(shí)的論據(jù)都是來自于教材，教材之外的不會(huì)考到，雖然教材之外補(bǔ)充了許多定理、性質(zhì)。 同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)西方人沒事找事做，吃飽了撐著？正因?yàn)槲鞣饺说倪@種刨根究底的精神造就了西方發(fā)達(dá)的科學(xué)。在中國這些是經(jīng)驗(yàn)，沒有證明的跡象。
轉(zhuǎn)化是立體幾何的一種重要的思想方法
利用相似三角形對應(yīng)邊成比例及平行線分線段成比例的性質(zhì)
如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行。
如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

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