1. 會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題. （重點）2.能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián) 系，并進(jìn)一步求出未知邊長.（難點）
數(shù)學(xué)來源于生活，勾股定理的應(yīng)用在生活中無處不在，觀看下面視頻，你們能理解曾小賢和胡一菲的做法嗎？
問題 觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進(jìn)門的情況，并結(jié)合曾小賢和胡一菲的做法，對于長竹竿進(jìn)門之類的問題你有什么啟發(fā)？
這個跟我們學(xué)的勾股定理有關(guān)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題
例1 一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?
解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.
分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.
解：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.
例2 如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?
例3 在一次臺風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？
解：根據(jù)題意可以構(gòu)建一直角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得
∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.
利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：
（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；
（2）構(gòu)造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
1.湖的兩端有A、B兩點，從與BA方向成直角的BC方向上的點C測得CA=130米,CB=120米,則AB為 ( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
2.如圖，學(xué)校教學(xué)樓前有一塊長為4米，寬為3米的長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”的長；（2）他們僅僅少走了幾步(假設(shè)2步為1米)？
解：(1)在Rt△ ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”的長為5米.
（2）他們僅僅少走了 (3+4-5)×2=4(步).
例4 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點間的距離.
解：如圖，過點A作x軸的垂線,過點B作x,y軸的垂線.相交于點C,連接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B兩點間的距離為5.
方法總結(jié)：兩點之間的距離公式：一般地，設(shè)平面上任意兩點
思考 在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？
　　已知：如圖，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．　　求證：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
　　證明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中， ∠C=∠C′=90°， 根據(jù)勾股定理得
AC+CB >AB（兩點之間線段最短）
思考 在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？
想一想：螞蟻走哪一條路線最近？
問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想沿側(cè)面從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？
根據(jù)兩點之間線段最短易知第三個路線最近.
若已知圓柱體高為12 cm，底面半徑為3 cm，π取3.
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.
例5 有一個圓柱形油罐，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2 m，高AB是5 m，π取3）?
解：油罐的展開圖如圖，則AB'為梯子的最短距離. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
【變式題】看到小螞蟻終于喝到飲料的興奮勁兒，小明又靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在了點A處，并在點B處放上了點兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找到完成任務(wù)的最短路程么？
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360，
解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得
∴AB1＜AB2＜AB3.
例5 如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？
解：如圖，作出點A關(guān)于河岸的對稱點A′，連接A′B則A′B就是最短路線.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得
求直線同側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和的最短路徑的方法：先找到其中一點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一點的線段就是最短路徑長，以連接對稱點與另一個點的線段為斜邊，構(gòu)造出直角三角形，再運用勾股定理求最短路徑.
如圖是一個邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達(dá)B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.
解：由題意得AC =2，BC=1,在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=22+12=5∴AB= ，即最短路程為 .
1.從電線桿上離地面5m的C處向地面拉一條長為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（　　）A.24m B.12m C. m D. m
2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（　?。〢.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
3.已知點(2,5),(-4,-3),則這兩點的距離為_______.
4.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵 樹相距8米. 一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少米？
解：如圖，過點A作AC⊥BC于點C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， 答：小鳥至少飛行10米.
5.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？
解：臺階的展開圖如圖，連接AB.
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
6. 為籌備迎接新生晚會，同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長的油紙？
解：如右下圖，在Rt△ABC中，∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，∴AB＝45cm，∴整個油紙的長為45×4＝180(cm)．

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17.1 勾股定理

版本： 人教版

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