第1課時 找次品


【教學(xué)內(nèi)容】


教科書第111頁例1、第112頁例2的內(nèi)容。


【教學(xué)目標(biāo)】


1.通過觀察、猜測、實(shí)驗(yàn)、推理等活動，體會解決問題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化的方法解決問題的有效性。


2.嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實(shí)際生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和解決實(shí)際問題的能力。


【教學(xué)重點(diǎn)】


理解用天平找次品的方法。


【教學(xué)難點(diǎn)】


嘗試用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際生活中的簡單實(shí)際問題。


【教學(xué)準(zhǔn)備】


天平、3瓶鈣片（其中一瓶少3片）。


【教學(xué)過程】


一、弄清問題題意，激發(fā)探究愿望


（演示課件并提出問題）今天這節(jié)課我們就從某公司招聘員工的一道題目開始。假定你就是應(yīng)聘者，想不想接受一下智慧的挑戰(zhàn)？問題是：


假定你有81個玻璃球，其中有1個球比其他球稍輕，如果只能利用沒有砝碼的天平來斷定哪一個球輕，請問你最少要稱幾次才能保證找到較輕的那個球？


1.初步嘗試：給每位同學(xué)1分鐘獨(dú)立思考的時間。


2.匯報交流。


學(xué)生匯報可能的次數(shù)是：1次、4次、6次、40次……


教師：請只用1次的同學(xué)說一說，你是怎樣想的。


學(xué)生1：在天平的兩邊各放40個玻璃球，如果天平右邊下沉，就說明最輕的球在左邊；但如果天平平衡的話，就說明多出來的那一個就是最輕的。（學(xué)生邊說，教師邊把他的思路記錄下來）


學(xué)生2（質(zhì)疑）：我不同意他的想法。他說如果一邊往下沉的話，就說明輕的球就在另一邊?？蛇@道題問的是稱幾次能保證找到那個輕的球，如果按他說的稱1次只能說明那個輕球在那一堆球里，并不能確定是哪一個。


教師（小結(jié)）：看來，1次雖少，但只是有可能，不能保證找到較輕的那個球。所以我們在思考這個問題時，不光要最少，還要以“保證能找到”為前提。


3.揭示課題。


教師：如果以“保證能找到”為前提，在同學(xué)們這么多答案中，哪一個次數(shù)是最少的呢？這節(jié)課我們就一起來研究這個問題。這個問題在數(shù)學(xué)中叫“找次品”問題。


(教師板書課題。)


二、簡化問題，經(jīng)歷問題解決基本過程


教師：對于從81個小球中找到次品的問題，比較復(fù)雜，那么怎樣開始我們的研究呢？


學(xué)生：可以從最少的試一試。


(學(xué)生如果沒有想法，可以提示：能不能從小一些的數(shù)目著手研究，因?yàn)閿?shù)目小比較好操作，便于發(fā)現(xiàn)一些方法。)


1.2個。


教師：如果從最簡單的入手研究，2個小球至少稱幾次？


學(xué)生：1次，把兩個小球分別放在天平兩邊上，哪邊輕就是哪個。2.3個。


教師：如果是3個呢？


學(xué)生猜測：2次？1次？（學(xué)生意見不統(tǒng)一。過一會兒有些學(xué)生又非常堅(jiān)定地說“1次”。）


教師：老師這里有3瓶鈣片，其中有一瓶少了3片。你覺得應(yīng)該怎樣稱？


學(xué)生：先把其中的2瓶放在天平的兩側(cè)，如果左邊下沉，就說明右邊的是次品；如果右邊下沉，就說明左邊的是次品；如果天平平衡，則沒稱的是次品。（學(xué)生邊說，教師邊配合進(jìn)行稱量演示。）


教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步感受推理過程：雖然有3瓶，而天平只有兩個托盤，但是只需要把其中的2瓶放入天平的兩側(cè)，可能平衡，也可能不平衡，如果平衡……如果不平衡……不論是否平衡，利用推理，只要稱1次肯定能將那個次品找出來。


教師板書：


教師小結(jié)：看來2個和3個雖然數(shù)量不同，但是都只稱1次就可以將次品找到。


三、再次探究“關(guān)鍵數(shù)目”，初步感知、歸納規(guī)律


1.探究8個小球的情況。


（1）小組討論，歸納分組規(guī)律。


教師：如果小球數(shù)是8個，需要稱幾次呢？


學(xué)生猜測：4次？3次？


教師：似乎不太容易很快得出結(jié)論，那么請同學(xué)們以小組為單位，共同討論一下。


合作建議：可以借用棋子幫助思考，也可以像老師這樣在紙上畫一畫。不論用什么樣的方式，都要將思考過程簡要記錄下來。


學(xué)生分小組研究。


（2）匯報交流。


教師：8個小球時你們各稱了幾次？


學(xué)生1（小組1）：先將8個球放在天平的兩側(cè)，每邊各4個，如果左邊輕的話，將這4個再分成2組，每邊2個，再找出較輕的那一組，將其再放到天平的兩側(cè)，每邊放1個，至少需要稱3次。


學(xué)生2（小組2）：我們用了2次。天平兩邊先各放3個，剩下2個。最好的情況，天平平衡了，將剩下的兩個再稱，這樣用2次；如果不平衡，就將輕的那一邊的3個再稱，挑出其中的2個放到天平上，另一個放一邊，如果平衡，天平外的就是次品，如果不平衡，輕的小球就是次品。所以只需2次。（兩個同學(xué)到黑板前，一生寫，一生解釋，合作默契。）


教師：有的小組稱了2次，是把8分成了幾組？每組分別是幾個？有的小組稱了3次，是把8分成了幾組？每組分別是幾個？


（板書：8：（3,3,2）2次；（4,4）3次。）教師：其他小組還有不同的方法嗎？（如果有，請小組代表匯報。）


教師：經(jīng)過大家的討論，看來最少的次數(shù)是2次。如果有9個小球呢？


2.探究9個小球的情況。


教師：9個比8個多了1個，怎樣稱用的次數(shù)是最少呢?小組討論一下吧！


小組3匯報如下：小組4匯報如下：


［教師板書：9：（4,4,1）3次；（3,3,3）2次。］


3.對比總結(jié)。


教師：大家回過頭來比較一下，我們將8個小球分成（3,3,2）三組稱2次，可是把8個分成（4,4）兩組卻稱了3次，多稱了1次。多稱的1次多在哪兒呢？


學(xué)生1：小球數(shù)是2個和3個只用1次，把8個分成（3,3,2）每組是3個或2個，3個或2個都只需要稱1次就能找出次品。


教師：你們明白他的意思嗎？你們看，稱（3,3）或（4，4），都只稱一次就能確定次品在哪邊?？山酉聛?，第一種是要在3個里找，只需1次；第二種要在4個里找，要用2次，所以會多1次。


教師：那9分成（4,4,1）也比分成（3,3,3）多用1次，多的1次在哪兒呢？（生答略）


教師：大家最后稱的次數(shù)不同，原因是什么呢？


學(xué)生2：分組的組數(shù)不同，每組的數(shù)量也不同。


教師：那到底怎么分，才能既保證找到次品，又能使稱的次數(shù)盡可能少呢？小組討論一下！


學(xué)生3：我覺得應(yīng)該分3組。因?yàn)樘炱接?個托盤，在天平兩邊各放1份，剩下的就是第3份。如果天平平衡，那么次品肯定在旁邊的一份里；如果天平不平衡，那么次品肯定在輕的那份中。


學(xué)生4：我還認(rèn)為他分的這3組，每一組的數(shù)目還要少，否則就會影響整體的次數(shù)。


學(xué)生5：也就是盡可能讓每組的數(shù)目比較接近，這樣每次稱完，次品就被確定在更小的范圍內(nèi)了，稱的次數(shù)也就少了。


教師小結(jié)：你們太了不起了！通過我們剛才的實(shí)驗(yàn)、討論、交流，不僅解決了問題，而且發(fā)現(xiàn)了其中分組的秘密和規(guī)律。


(教師板書：分3組，每組數(shù)量盡量接近。)


四、運(yùn)用策略，解決更復(fù)雜的問題，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”


1.研究10個小球。


教師：那么我們就應(yīng)用分組的規(guī)律，再來一次實(shí)驗(yàn)。如果小球個數(shù)是10個，那么該分幾組？怎么分？稱幾次？


學(xué)生1：應(yīng)該分三組，分成兩個3個和一個4，稱3次。


［教師板書：10：（3,3,4）3次］


教師：如果是27個呢？


學(xué)生2：先分成三組，每組有9個。然后再按照前面9個小球的方法找就可以了！


教師：這位同學(xué)說得太好了！他還是先分成3組，然后用轉(zhuǎn)化的思想把問題變成我們前面解決的9個小球的找次品問題了。2.分組研究更大數(shù)目。


教師：看來大家都掌握了分組規(guī)律，最開始的招聘問題81個小球大家能解決嗎？接下來，我們以小組為單位進(jìn)行競賽，哪個小組有了結(jié)果，哪個小組就把結(jié)果直接寫到黑板上。你能發(fā)現(xiàn)它和前面我們解決的27個、9個、3個有什么關(guān)系嗎？


（小組研究之后，匯報結(jié)果）


學(xué)生1：我們組發(fā)現(xiàn)3、9、27它們之間依次有3倍關(guān)系。3×3=9，9×3=27，下一個是81……


學(xué)生2：被測小球數(shù)目是幾個3相乘就是稱幾次。比如，4個3相乘是81,81個小球只需稱4次。


教師：你們很了不起，既解決了公司“招聘”問題，81個小球時，保證找到次品至少需要稱4次，又發(fā)現(xiàn)了“被測物品數(shù)目與稱的最少次數(shù)之間”神秘的規(guī)律。


教師：隨著招聘問題的解決，今天的課也即將結(jié)束。回顧我們整節(jié)課的經(jīng)歷，從最初的招聘問題，回歸到解決2、3的問題，再到研究8、9發(fā)現(xiàn)分組規(guī)律，直至研究了更大的像27、81這樣的數(shù)，發(fā)現(xiàn)了被測物品數(shù)目與稱的最少次數(shù)之間的一些關(guān)系。在這一路的探究過程中，我們不斷思考、不斷實(shí)踐、不斷發(fā)現(xiàn)，是不是有點(diǎn)“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的感覺！我想大家在收獲知識的同時，一定收獲了更多的智慧。最后有兩句話與大家共勉（多媒體呈現(xiàn)）。


探究問題：學(xué)會化繁為簡（轉(zhuǎn)化）。


解決問題：要有優(yōu)化意識（統(tǒng)籌）。


【教學(xué)反思】


教科書雖然給我們提供了基本的教學(xué)思路：先研究在3個零件中找次品，再研究8個和9個中找次品的方法，然后延伸到10個、11個零件，但是教學(xué)過程如何展開？從幾個零件開始研究？研究不同個數(shù)的零件時，各自的教學(xué)意圖是什么？要不要總結(jié)發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的規(guī)律？怎么總結(jié)？是否要求運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決零件個數(shù)更多的問題？這么多內(nèi)容如何在40分鐘內(nèi)得到落實(shí)？是否所有的學(xué)生都能理解？可以說，本課的教學(xué)有很大的難度和挑戰(zhàn)性。本節(jié)課內(nèi)容完整，環(huán)節(jié)設(shè)置流暢，在以下幾個方面值得我們借鑒：（1）精心選取數(shù)據(jù)，明確選擇每一數(shù)據(jù)的意圖，使學(xué)生初步感知保證最快找到次品的原理，還要初步感知“物品總數(shù)與最少次數(shù)之間的關(guān)系（規(guī)律）；”（2）用符號記錄問題解決的過程，將思維過程外顯化，便于學(xué)生、教師之間的溝通交流，使不同層次的學(xué)生以這種符號語言為依托，為研究更為復(fù)雜的找次品問題提供了有效的交流保證；（3）體驗(yàn)“從簡單問題入手”是問題解決的重要策略，讓學(xué)生先陷入“一籌莫展”的境地，充分體驗(yàn)到直接解決這個問題幾乎不可能，直觀感受到這個問題太復(fù)雜，如此學(xué)生才有將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的需求。





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